Введение
Метод конечных разностей для численного решения параболических дифференциальных уравнений
В численном анализе метод Кранка — Никольсона является методом конечных разностей, используемым для численного решения уравнения теплопроводности и подобных уравнений в частных производных. Это метод второго порядка по времени. Он неявный по времени, может быть представлен как неявный метод Рунге — Кутты и является численно устойчивым. Метод был разработан Джоном Кранком и Филлис Никольсон в середине XX века. Для уравнений диффузии (и многих других уравнений) можно показать, что метод Кранка — Никольсона безусловно устойчив. Однако приближенные решения все еще могут содержать (затухающие) ложные колебания, если отношение временного шага, умноженного на коэффициент температуропроводности, к квадрату пространственного шага, , велико (обычно больше 1/2 согласно анализу устойчивости фон Неймана). По этой причине, когда необходимы большие временные шаги или высокое пространственное разрешение, часто используется менее точный обратный метод Эйлера, который является одновременно устойчивым и не подвержен колебаниям.
Кранк-Николсон для нелинейных задач
Поскольку метод Кранка-Никольсона является неявным, как правило, невозможно найти его точное решение. Вместо этого следует использовать итерационный метод для достижения сходимости к решению. Один из вариантов – использовать метод Ньютона для уточнения прогноза, однако это требует вычисления якобиана. Для систем высокой размерности, таких как те, что встречаются в вычислительной гидродинамике или численной общей теории относительности, вычисление этого якобиана может быть невыполнимым. Альтернативой, не требующей вычисления якобиана, является итерация по фиксированной точке. Если – скорость системы, то прогноз, полученный методом Кранка-Никольсона, будет фиксированной точкой отображения . Если итерация этого отображения не сходится, то лучшее поведение может демонстрировать параметризованное отображение , с . В развернутом виде формула обновления выглядит следующим образом:
где – текущее приближение, а – предыдущий временной шаг. Даже для систем высокой размерности итерация этого отображения может сходиться удивительно быстро.
Применение в финансовой математике
Поскольку ряд других явлений может быть смоделирован с помощью уравнения теплопроводности (часто называемого уравнением диффузии в финансовой математике), метод Кранка — Никольсона также применяется и в этих областях. В частности, дифференциальное уравнение модели ценообразования опционов Блэка — Шоулза может быть преобразовано в уравнение теплопроводности, что позволяет получать численные решения для ценообразования опционов с помощью метода Кранка — Никольсона. Значимость этого для финансов заключается в том, что задачи ценообразования опционов, выходящие за рамки стандартных предположений (например, учитывающие изменяющиеся дивиденды), не могут быть решены аналитически, но могут быть решены этим методом. Однако следует отметить, что для негладких граничных условий (которые характерны для большинства финансовых инструментов) метод Кранка — Никольсона не обеспечивает удовлетворительных результатов, поскольку численные колебания не затухают. Для ванильных опционов это проявляется в виде колебаний значения гаммы вблизи цены исполнения. Поэтому необходимы специальные шаги инициализации, обеспечивающие демпфирование (например, использование полностью неявной схемы конечных разностей).