Кіріспе
Дифференциалдық теңдеудің ерекше тұрақсыздығы
Математикада қатаң теңдеу – теңдеуді шешуге арналған кейбір сандық әдістердің сандық тұрақсыз болуы, егер қадам мөлшері өте кішкентай болмаса. Қатаңдықтың нақты анықтамасын беру қиынға соқты, бірақ негізгі идея – теңдеуде шешімнің жылдам өзгеруіне алып келетін шарттар бар. Дифференциалдық теңдеуді сандық түрде интегралдағанда, шешім қисығы күрт өзгеретін аймақта қадам мөлшері салыстырмалы түрде кішкентай, ал шешім қисығы тік түзуге жақындап, көлбеуі нөлге жуық болатын жерде салыстырмалы түрде үлкен болуы күтіледі. Бірақ кейбір жағдайларда мұндай болмайды. Сандық әдіс дифференциалдық жүйеге сенімді шешім беру үшін кейде қадам мөлшері шешім қисығы өте тегіс болатын аймақта қабылдауға болмайтынша кішкентай болуы керек. Осы құбылыс қатаңдық деп аталады. Кейде бірдей шешімі бар екі түрлі мәселе болуы мүмкін, бірақ біреуі қатаң емес, ал екіншісі қатаң. Сондықтан бұл құбылыс нақты шешімнің қасиеті бола алмайды, себебі екі мәселе үшін де шешім бірдей, және бұл дифференциалдық жүйенің өзіне тән қасиет болуы керек. Мұндай жүйелер қатаң жүйелер деп аталады.
In mathematics, a stiff equation is a differential equation for which certain numerical methods for solving the equation are numerically unstable, unless the step size is taken to be extremely small. It has proven difficult to formulate a precise definition of stiffness, but the main idea is that the equation includes some terms that can lead to rapid variation in the solution. When integrating a differential equation numerically, one would expect the requisite step size to be relatively small in a region where the solution curve displays much variation and to be relatively large where the solution curve straightens out to approach a line with slope nearly zero. For some problems this is not the case. In order for a numerical method to give a reliable solution to the differential system sometimes the step size is required to be at an unacceptably small level in a region where the solution curve is very smooth. The phenomenon is known as stiffness. In some cases there may be two different problems with the same solution, yet one is not stiff and the other is. The phenomenon cannot therefore be a property of the exact solution, since this is the same for both problems, and must be a property of the differential system itself. Such systems are thus known as stiff systems.
Қаттылықтың сипаттамасы
Бұл бөлімде біз қаттылық құбылысының әртүрлі аспектілерін қарастырамыз. «Құбылыс» – «қасиет» деген сөзге қарағанда қолайлырақ, себебі соңғысы қаттылықты нақты математикалық терминдермен анықтауға болатындай түйсік береді; бірақ тіпті шектеулі сызықтық тұрақты коэффициентті жүйелер үшін де мұны қанағаттанарлық деңгейде жасау мүмкін емес. Сондай-ақ, қаттылық ұғымын түсіндіруге жасалған, және көбінесе жасалған, бірнеше сапалық тұжырымдарды қарастырамыз, сондай-ақ олардың ішіндегі ең қанағаттанарлығын қаттылықтың «анықтамасы» ретінде жариялаймыз. Ж. Д. Ламберт қаттылықты былай анықтайды:
Егер кез келген бастапқы шарттары бар жүйеге қолданылатын, абсолютті тұрақтылықтың шекті аймағы бар сандық әдіс, белгілі бір интегралдау аралығында дәл шешімнің тегістігіне қатысты тым кішкентай қадам ұзындығын қолдануға мәжбүр болса, онда жүйе сол аралықта қатты деп есептеледі. Қатты проблемалардың көптеген мысалдарында кездесетін басқа да сипаттамалар бар, бірақ олардың әрқайсысына қарсы мысалдар бар, сондықтан бұл сипаттамалар қаттылықтың жақсы анықтамасын құрамайды. Дегенмен, осы сипаттамаларға негізделген анықтамалар кейбір авторлардың арасында қолданылады және қаттылықтың болуын анықтауға көмектеседі. Ламберт жоғарыда аталған себептерге байланысты оларды анықтамалар емес, «мәлімдемелер» деп атайды. Олардың бірнешеуі: Сызықтық тұрақты коэффициентті жүйе, егер оның барлық өзіндік мәндерінің нақты бөлігі теріс болса және қаттылық коэффициенті жоғары болса, қатты болады. Қаттылық, дәлдік емес, тұрақтылық талаптары қадам ұзындығын шектегенде пайда болады. Қаттылық, егер шешімнің кейбір компоненттері басқаларына қарағанда әлдеқайда жылдам ыдыраса, пайда болады.
A linear constant coefficient system is stiff if all of its eigenvalues have negative real part and the stiffness ratio is large. Stiffness occurs when stability requirements, rather than those of accuracy, constrain the step length. Stiffness occurs when some components of the solution decay much more rapidly than others.
А-тұрақтылық
Сандық әдістердің қатаң мәселелердегі мінез-құлқын осы әдістерді бастапқы шартыға сәйкес сынақ теңдеуіне қолдану арқылы талдауға болады. Бұл теңдеудің шешімі: Бұл шешім , егер сандық әдіс те осындай мінез-құлықты көрсетсе (белгілі бір қадам өлшемі үшін), онда әдіс тұрақты деп аталады. L-тұрақты сандық әдіс (төменде қараңыз) шешімнің бір қадамда нөлге жақындауының күшті қасиетіне ие, яғни қадам өлшемі шексізге дейін артқанда. Тұрақты әдістерлер мотивациялық мысалда сипатталған тұрақсыздық проблемаларын көрсетпейді.
Рунге-Кутта әдістері
Рунге-Кутта әдістері сынақ теңдеуіне қолданғанда , және индукция бойынша функция тұрақтылық функциясы деп аталады. Осылайша, шарт, тең келеді. Бұл абсолюттік тұрақтылық аймағының (кейде жай ғана тұрақтылық аймағы деп аталады) анықтамасын қадағалайды, ол жиынтықтан тұрады. Әдіс A тұрақты болып есептеледі, егер абсолюттік тұрақтылық аймағы жиынтықты қамтыса, яғни сол жақ жарты жазықтықты.
Мысал: Эйлер әдістері
Жоғарыда келтірілген Эйлер әдістерін қарастырайық. Сынақ теңдеуіне қолданылатын эксплицитті Эйлер әдісі:
Осылайша, , мұндағы . Осы әдістің абсолютті тұрақтылық аймағы – оң жақта көрсетілген диск, яғни . Эйлер әдісі А тұрақты емес. Мысал келтіру үшін, қадам өлшемі болғанда z мәні тең болады, бұл тұрақтылық аймағынан тыс. Дейін, сандық нәтижелер нөлге жақындамайды. Бірақ, қадам өлшемі болғанда, бізде теңдік орнатылады, бұл тұрақтылық аймағының ішінде, және сандық нәтижелер нөлге жақындайды, бірақ өте баяу.
Жалпы теория
Көп қадамды әдістер ешқашан A тұрақты бола алмайды, дәл Runge-Kutta әдістері сияқты. Көп қадамды имплицитті әдістер тек олардың реті 2-ден аспаса ғана A тұрақты бола алады. Бұл нәтиже екінші Дальквист кедергісі деп аталады; ол қатаң теңдеулер үшін сызықтық көп қадамды әдістердің қолданылуын шектейді. Екінші реттік A тұрақты әдістің мысалы – жоғарыда айтылған трапеция тәсілі, оны сызықтық көп қадамды әдіс ретінде де қарастыруға болады.