Кіріспе
Геометриялық топологиядағы жоққа шығарылған болжам. Геометриялық топологияның бас гипотезасы – үшбұрыштауға болатын кез келген кеңістіктің екі үшбұрыштауын комбинаторлық тұрғыдан эквивалентті бөліністерге ие етеді дейтін, яғни бөлінген үшбұрыштаулардың комбинаторлық құрылымы бірдей болатындығы туралы бұрынғы болжам еді. Бұл гипотеза алғаш рет 1908 жылы Эрнст Штайнциц және Генрих Франц Фридрих Тице тарапынан тұжырымдалған, бірақ қазір оның жалған екені мәлім.
The Hauptvermutung of geometric topology is a now refuted conjecture asking whether any two triangulations of a triangulable space have subdivisions that are combinatorially equivalent, i. e. the subdivided triangulations are built up in the same combinatorial pattern. It was originally formulated as a conjecture in 1908 by Ernst Steinitz and Heinrich Franz Friedrich Tietze, but it is now known to be false.
Тарих
Көптіксіз нұсқасын 1961 жылы Джон Милнор Ридмейстер торсиясын қолдана отырып жоққа шығарды. Көптүрлі нұсқасы өлшемдерде дұрыс. жағдайларын Тибор Радо және Эдвин Э. Моиз 1920 және 1950 жылдары дәлелдеді. Көптүрлі нұсқаға кедергі Эндрю Кассон мен Дэннис Салливан 1967–69 жылдары (алғашқыда жай байланысты жағдайда) Рохлин инвариантын және кохомология тобын пайдаланып жасады. өлшемде, m өлшемді бөлшекті сызықтық көптүрліліктердің гомеоморфизмі инвариантқа ие, және тек қана егер ол сызықты (PL) гомеоморфизмге изотоптық болса. Жай байланысты жағдайда және , егер және тек қана PL гомеоморфизміне гомотоптық болса. Бұл шама қазір 1970 жылы Робион Кирби мен Лоран С. Сибенманның үшбұрышты кедергісінің салыстырмалы нұсқасы ретінде қарастырылады. Кирби–Сибенманн кедергісі кез келген компактті m өлшемді топологиялық көптік M үшін, тағы да Рохлин инвариантын пайдалана отырып анықталады. Атап айтқанда, M-де тек шекті сандағы нақты ерекше PL құрылымдары бар.
In dimension , a homeomorphism of m dimensional piecewise linear manifolds has an invariant such that is isotopic to a piecewise linear (PL) homeomorphism if and only if In the simply connected case and with , is homotopic to a PL homeomorphism if and only if
This quantity is now seen as a relative version of the triangulation obstruction of Robion Kirby and Laurent C. Siebenmann, obtained in 1970. The Kirby–Siebenmann obstruction is defined for any compact m dimensional topological manifold M
again using the Rochlin invariant. For , the manifold M has a PL structure (i. e., it can be triangulated by a PL manifold) if and only if , and if this obstruction is 0, the PL structures are parametrized by In particular there are only a finite number of essentially distinct PL structures on M.
For compact simply connected manifolds of dimension 4, Simon Donaldson found examples with an infinite number of inequivalent PL structures, and Michael Freedman found the E8 manifold which not only has no PL structure, but (by work of Casson) is not even homeomorphic to a simplicial complex. In 2013, Ciprian Manolescu proved that there exist compact topological manifolds of dimension 5 (and hence of any dimension greater than 5) that are not homeomorphic to a simplicial complex. Thus Casson's example illustrates a more general phenomenon that is not merely limited to dimension 4.
4-өлшемді компактті жай ғана байланысқан көптік үшін Саймон Дональдсон шексіз сандағы тең емес PL құрылымдары бар мысалдарды тапты, ал Майкл Фридман PL құрылымы жоқ E8 көптігін тапты, бірақ (Кассонның жұмысы бойынша) тіпті симпликациялық кешенге гомеоморф емес. 2013 жылы Циприан Манолеску 5 өлшемді (осылайша 5 өлшемнен үлкен кез келген өлшемді) компактті топологиялық көптүрліліктердің бар екенін дәлелдеді, олар симпликациялық кешенге гомеоморф емес. Осылайша, Кассонның мысалы 4-өлшеммен ғана шектелмейтін, жалпы құбылысты көрсетеді.
In dimension , a homeomorphism of m dimensional piecewise linear manifolds has an invariant such that is isotopic to a piecewise linear (PL) homeomorphism if and only if In the simply connected case and with , is homotopic to a PL homeomorphism if and only if
This quantity is now seen as a relative version of the triangulation obstruction of Robion Kirby and Laurent C. Siebenmann, obtained in 1970. The Kirby–Siebenmann obstruction is defined for any compact m dimensional topological manifold M
again using the Rochlin invariant. For , the manifold M has a PL structure (i. e., it can be triangulated by a PL manifold) if and only if , and if this obstruction is 0, the PL structures are parametrized by In particular there are only a finite number of essentially distinct PL structures on M.
For compact simply connected manifolds of dimension 4, Simon Donaldson found examples with an infinite number of inequivalent PL structures, and Michael Freedman found the E8 manifold which not only has no PL structure, but (by work of Casson) is not even homeomorphic to a simplicial complex. In 2013, Ciprian Manolescu proved that there exist compact topological manifolds of dimension 5 (and hence of any dimension greater than 5) that are not homeomorphic to a simplicial complex. Thus Casson's example illustrates a more general phenomenon that is not merely limited to dimension 4.