Кіріспе
математикалық ағаштар, шекті тізбектердің префикстерімен сипатталған. Сипаттамалық жиын теориясында, жиын үстіндегі ағаш – жиынның элементтерінен құралған шекті тізбектердің жиыны, мұнда жиын ішіндегі тізбектің кез келген префиксі де сол жиынға жатады.
In descriptive set theory, a tree on a set is a collection of finite sequences of elements of such that every prefix of a sequence in the collection also belongs to the collection.
Филиалдар мен органдар
Ағаш арқылы өтетін тармақ – элементтерінің әрқайсысының шекті алғашқы бөліктеріне жататын , элементтерінің шексіз тізбегі. Барлық тармақтар жиынтығы арқылы белгіленеді және ағаштың денесі деп аталады. Егер ағашта тармақ болмаса, ол негізделген деп аталады; ал ең болмағанда бір тармағы бар ағаш – негізсіз. Кёниг леммасы бойынша, шекті жиынтықтағы шексіз тізбектердің ағашы міндетті түрде негізсіз болады.
A tree that has no branches is called wellfounded; a tree with at least one branch is illfounded. By Kőnig's lemma, a tree on a finite set with an infinite number of sequences must necessarily be illfounded.
Терминал тораптары
Ағашқа жататын шекті тізбек, егер ол ағаштағы ұзын тізбектің префиксі болмаса, терминалды түйін деп аталады. Басқаша айтқанда, тізбек терминалды болып есептеледі, егер оған осы тізбектің алдынан қосылатын элемент болмаса. Терминалды түйіндері жоқ ағаш қырқылған ағаш деп аталады.
Ағаштың басқа түрлеріне қатынасы
Графтар теориясында тамырланған ағаш – бағытталған граф, онда әрбір түйін, ерекше тамыр түйінінен басқа, дәл бір шығу жиегіне ие, ал осы жиектерді кез келген түйінен бастап іздеу нәтижесінде тамыр түйініне жетеді. Егер ағаш сипаттамалық жиын теориясы мағынасында ағаш болса, онда ол графқа сәйкес келеді, онда әрбір тізбек үшін бір түйін болады, ал әрбір бос емес тізбектің шығу жиегі оны соңғы элементін жою арқылы алынған қысқа тізбекке қосады. Бұл граф – графтар теориясы мағынасында ағаш. Ағаштың тамыры – бос тізбек. Рет теориясында ағашқа қатысты басқа ұғым қолданылады: рет ағашы – бұл бір минималды элементі бар жартылай реттелген жиын, онда әрбір элементтің жақсы реттелген алдыңғы элементтерінің жиыны болады. Сипаттамалық жиын теориясындағы әрбір ағаш, сондай-ақ рет ағашы болып табылады, онда екі тізбек және егер ғана егер біреуі екіншісінің дұрыс префиксі болса реттеледі. Бос тізбек – бірегей минималды элемент, және әрбір элементтің шекті және жақсы реттелген алдыңғы элементтері бар (оның барлық префикстерінің жиыны). Рет ағашы, егер және тек қана оның әрбір элементінің шекті биіктігі болса (яғни, алдыңғы элементтерінің шекті жиыны) тізбектердің изоморфты ағашымен бейнелене алады.
Топология
Шексіз тізбектер жиынтығын (белгіленгендей ) өнім топологиясымен жабдықтауға болады, мұнда X дискретті кеңістік ретінде қарастырылады. Бұл топологияда, әрбір жабық ішкі жиынтық белгілі бір қырқылған ағаш түрінде болады. Атап айтқанда, кез келген ағаштың денесі осы топологияда жабық жиынтық құрайды. Картезиан көбейтінділеріндегі ағаштарды жиі қарастырады. Мұндай жағдайда, конвенция бойынша, біз өнім кеңістігінің тек қана кіші жиындығын қарастырамыз, яғни жұп индекстегі элементтері X-тен, ал тақ индекстегі элементтері Y-тен алынған тізбектерді ғана қамтитын кіші жиындықты (мысалы, ). Бұл кіші кеңістіктегі элементтер екі тізбек кеңістігінің көбейтіндісінің кіші жиындығымен табиғи түрде сәйкестендіріледі (бірінші тізбектің ұзындығы екінші тізбектің ұзындығына тең немесе 1-ге артық болатын кіші жиындықпен). Осылайша, біз өнім кеңістігінде -мен сәйкестендіре аламыз. Содан кейін біз , проекциясын құра аламыз.
.