Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық логикада, әсіресе модельдер теориясы мен стандартты емес талдауда, ішкі жиын – модельге тиесілі жиын. Ішкі жиындар түсінігі – R нақты сандарының қасиеттері мен *R деп белгіленетін үлкен өрістің қасиеттері арасындағы логикалық байланысқа қатысты трансферт принципін формулирлеудегі құрал. *R өрісіне, атап айтқанда, инфинитезималь ("шегінсіз кішкентай") сандар кіреді, бұл олардың қолданылуына қатаң математикалық негіз береді. Толық айтқанда, идея – R-ге қатысты талдауды математикалық логиканың тиісті тілінде беру, содан кейін осы тілдің *R-ге де жақсы қолданылатынын көрсету. Мұндай тілдегі тұжырымдар жиындық теориялық деңгейде барлық жиындарға емес, тек ішкі жиындарға ғана қатысты түсіндіріледі, сондықтан бұл мүмкін болады (жоғарыда "тіл" термині кең мағынада қолданылатынын ескеріңіз). Эдвард Нельсонның ішкі жиындық теориясы – стандартты емес талдауға аксиоматикалық тәсіл (сонымен қатар, конструктивті стандартты емес талдау бойынша Палмгренге де қараңыз). Стандартты емес талдаудың дәстүрлі инфинитарлық тәсілдері де ішкі жиындар түсінігін пайдаланады.
In mathematical logic, in particular in model theory and nonstandard analysis, an internal set is a set that is a member of a model. The concept of internal sets is a tool in formulating the transfer principle, which concerns the logical relation between the properties of the real numbers R, and the properties of a larger field denoted *R called the hyperreal numbers. The field *R includes, in particular, infinitesimal ("infinitely small") numbers, providing a rigorous mathematical justification for their use. Roughly speaking, the idea is to express analysis over R in a suitable language of mathematical logic, and then point out that this language applies equally well to *R. This turns out to be possible because at the set theoretic level, the propositions in such a language are interpreted to apply only to internal sets rather than to all sets (note that the term "language" is used in a loose sense in the above). Edward Nelson's internal set theory is an axiomatic approach to nonstandard analysis (see also Palmgren at constructive nonstandard analysis). Conventional infinitary accounts of nonstandard analysis also use the concept of internal sets.
Қуаттылық құрылысындағы ішкі жиынтықтар
Гиперреал сандардың гиперреал сандар тізбектерінің эквиваленттілік кластары ретіндегі суперкүш құрылысына қатысты, *R ішкі жиыны [An] – нақты жиындар тізбегімен анықталатын жиын, мұнда гиперреал жиынға жатады, егер және тек қана егер n индекстері жиыны, осындай болса, *R құрылымында қолданылатын ультрафильтрдің мүшесі болса.
Relative to the ultrapower construction of the hyperreal numbers as equivalence classes of sequences of reals, an internal subset [An] of *R is one defined by a sequence of real sets , where a hyperreal is said to belong to the set if and only if the set of indices n such that , is a member of the ultrafilter used in the construction of *R.
Жалпы алғанда, ішкі объекті – нақты объектінің табиғи кеңейтуінің мүшесі. Осылайша, *R-дің әрбір элементе ішкі болып табылады; *R-дің ішкі жиыны ішкі болып табылады, егер және тек қана егер ол R-дің қуат жиынының табиғи кеңейтуінің мүшесі болса; және т.б.
More generally, an internal entity is a member of the natural extension of a real entity. Thus, every element of *R is internal; a subset of *R is internal if and only if it is a member of the natural extension of the power set of R; etc.
Реалдардың ішкі кіші жиынтығы
Кез келген ішкі жиынтық *R-дің, (R-дің енгізілген көшірмесінің) ішкі жиынтығы болса, ол міндетті түрде шекті болады (Goldblatt, 1998, 3.9.1 теореманы қараңыз). Яғни, гипернақты сандардың кез келген шексіз ішкі жиынтығында міндетті түрде стандартты емес элементтер болады.
Every internal subset of *R that is a subset of (the embedded copy of) R is necessarily finite (see Theorem 3.9.1 Goldblatt, 1998). In other words, every internal infinite subset of the hyperreals necessarily contains nonstandard elements.