Введение
В математической логике, в частности в теории моделей и нестандартном анализе, внутреннее множество — это множество, являющееся элементом модели. Понятие внутренних множеств служит инструментом для формулировки принципа переноса, который описывает логическую связь между свойствами действительных чисел R и свойствами расширенного поля, обозначаемого *R и называемого гипердействительными числами. Поле *R включает в себя, в частности, бесконечно малые числа, обеспечивая строгое математическое обоснование их использования. В общих чертах, идея заключается в том, чтобы выразить анализ над R на подходящем языке математической логики, а затем показать, что этот язык в равной степени применим к *R. Это становится возможным, поскольку на уровне теории множеств высказывания в таком языке интерпретируются как относящиеся только к внутренним множествам, а не ко всем множествам (следует отметить, что термин "язык" используется здесь в широком смысле). Теория внутренних множеств Эдварда Нельсона представляет собой аксиоматический подход к нестандартному анализу (см. также работы Палмгрена по конструктивному нестандартному анализу). Традиционные методы нестандартного анализа также используют понятие внутренних множеств.
Внутренние комплекты в конструкции сверхмощного
В отношении ультрастепенной конструкции гипердействительных чисел как классов эквивалентности последовательностей действительных чисел, внутреннее подмножество [An] *R определяется последовательностью действительных множеств, где гипердействительное число считается принадлежащим множеству тогда и только тогда, когда множество индексов n, для которых выполняется условие , является элементом ультрафильтра, использованного в построении *R.
В более общем смысле, внутренний объект является элементом естественного расширения реального объекта. Таким образом, каждый элемент *R является внутренним; подмножество *R является внутренним тогда и только тогда, когда оно является элементом естественного расширения множества степеней R; и так далее.
Внутренние подмножества реальных
Каждое внутреннее подмножество *R, являющееся подмножеством (вложенной копии) R, обязательно конечно (см. Теорему 3.9.1 Голдблатта, 1998). Иными словами, каждое внутреннее бесконечное подмножество гипердействительных чисел обязательно содержит нестандартные элементы.