Principle of restricted choice

Кіріспе

Контракт бриджінде шектеулі таңдау принципі "Бірдей ойнаулардың таңдауы ретінде таңдалған картаны ойнау ойыншының таңдауы шектелген ұстаныммен бастау мүмкіндігін арттырады" деп айтады. Ең бастысы, бұл "бұрынғы уақытта болжау ретінде қарастырылатын жағдайларда" ойнауға көмектеседі. Мысалы, оңтүстік төменгі қазықты, батыс төменгі қазықты, солтүстік патшаны, шығыс патшаны ойнайды. Ас пен патша - тең карталар; Шығыс патшаны ойнаса, Шығыс асаны ұстап тұру ықтималдығы төмендейді және Батыс асаны ұстап тұру ықтималдығы артады. Бұл принцип басқа ойыншыларға корольді байқағаннан кейін, пик тузы сияқты байқалмаған тең карталардың орналасуын анықтауға көмектеседі. Ықтималдықтың өсуі немесе азаюы - дәлелдер жинақталған сайын Байес жаңартуының мысалы және шектеулі таңдаудың белгілі бір қолданбалары Монти Холл проблемасына ұқсас. Мұндай жағдайларда, қағидадан алынған ереже - екі есеге ойнау. Бір тең картаны байқағаннан кейін, ойынды екі тең ойыншы арасында екі тең ойыншы бөлінгендей жалғастыру керек, сондықтан қайсысын ойнауға болатынын таңдау мүмкін емес. Біріншісін ойнағанның екіншісі жоқ. Егер тең карталардың саны екіден көп болса, онда принцип күрделі болады, өйткені олардың теңдігі айқын болмауы мүмкін. Егер бір әріптес Q және 10 ұстаса, ал екіншісі J ұстаса, бұл әдетте осы үш карта тең, бірақ екеуін ұстаған адам мұны білмейді. Шектелген таңдау әрқашан бір костюмдегі екі жанасатын карталар бірізді қатарлар, мысалы QJ немесе KQ бойынша енгізіледі, онда баламалық көрінеді. Егер белгілі бір картаны артық көруге себеп болмаса (мысалы, серіктесіне белгі беру үшін), екі немесе одан да көп тең картаны ұстайтын ойыншы кейде олардың ойын тәртібін кездейсоқ таңдауы керек (Нэш тепе-теңдігі туралы ескертуді қараңыз). Шектелген таңдауды қамтудағы ықтималдық есептеулері біркелкі кездейсоқ болуды жиі қабылдайды, бірақ бұл проблемалық. Шектелген таңдау принципі қарсыластың тең костюмнен бастауды таңдауына да қолданылады. Келси мен Глауерт (1980 ж.) қараңыз.

States that play of a particular card decreases the probability its player holds any equivalent card
In contract bridge, the principle of restricted choice states that "The play of a card which may have been selected as a choice of equal plays increases the chance that the player started with a holding in which his choice was restricted." Crucially, it helps play "in situations which used to be thought of as guesswork." For example, South leads a low spade, West plays a low one, North plays the queen, East wins with the king. The ace and king are equivalent cards; East's play of the king decreases the probability East holds the ace – and increases the probability West holds the ace. The principle helps other players infer the locations of unobserved equivalent cards such as that spade ace after observing the king. The increase or decrease in probability is an example of Bayesian updating as evidence accumulates and particular applications of restricted choice are similar to the Monty Hall problem. In many of those situations the rule derived from the principle is to play for split honors. After observing one equivalent card, that is, one should continue play as if two equivalents were split between the opposing players, so that there was no choice about which one to play. Whoever played the first one doesn't have the other one. When the number of equivalent cards is greater than two, the principle is complicated because their equivalence may not be manifest. When one partner holds Q and 10, say, and the other holds J, it is usually true that those three cards are equivalent but the one who holds two of them does not know it. Restricted choice is always introduced in terms of two touching cards – consecutive ranks in the same suit, such as QJ or KQ – where equivalence is manifest. If there is no reason to prefer a specific card (for example to signal to partner), a player holding two or more equivalent cards should sometimes randomize their order of play (see the note on Nash equilibrium). The probability calculations in coverage of restricted choice often take uniform randomization for granted but that is problematic. The principle of restricted choice even applies to an opponent's choice of an opening lead from equivalent suits. See Kelsey & Glauert (1980).

Мысал

2 2 Split3 1 Split4 0 Split+ кесте 1KQ32WestEastWestEastWestEastKQ32KQ32KQ32K3Q2KQ23KQ32K2Q3K32Q3K2Q32KQ2K3KQ3232KQK3KQ3K23KQ22KQ3 мүмкін батыс және шығыс иеліктері сол жақтағы костюм комбинациясын қараңыз. Оңтүстікке 8754 төрт қазық картасы (жабық қол) және Солтүстікке AJ1096 бес (барлық ойыншыларға көрінетін манекен) бар. Батыс пен Шығыс қалған төрт қазықты KQ32 екі жабық қолында ұстайды. Ойын алдында оңтүстік тұрғысынан 16 түрлі батыс және шығыс сабының ұсталуы немесе "жалған" болуы мүмкін. Олар 1-кестеде көрсетілген, алдымен "бөлініс" бойынша теңден тең емес сандағы карталарға, содан кейін Батыс ұстауы бойынша ең күштіден әлсізге дейін. Оңтүстік кішкентай сабымен алға шығады, Батыс 2 (немесе 3) ойнайды, жалған Солтүстік J ойнайды, ал Шығыс K-мен жеңіске жетеді. Кейінірек, қосымша костюмді жеңгеннен кейін, Оңтүстік тағы бір кішкентай сабымен алға шығады, ал Батыс 3 (немесе 2) төменгі сабымен төмен болады. Осы уақытта Солтүстік және Шығыс әлі ойнамағандықтан, тек Q-ның орналасуы анықталмаған. Оңтүстік шешім қабылдау нүктесінде және бастапқы 16 өтіріктің тек екеуі ғана мүмкін екенін біледі (1-кестеде қалың түсті), өйткені Батыс төмен карталарды және Шығыс патшаны ойнады. Бір қарағанда, қазір 1:1 есебімен теңдей, сондықтан Оңтүстік екі мүмкін жалғастырудың бірінде бірдей жақсы нәтижеге қол жеткізеді деп күтуге болады. Алайда, шектеу принципінің негізінде екі картаның да болуы мүмкін, бірақ Уэсттің Q32 қолында екенін және онды ойнату мүмкіндігі 2:1 деп есептеледі. Егер Шығыс КК-мен болса, ол патшаның орнына патшайымның рөлін де ойнаған болар еді. Осылайша кейбір түпнұсқалық 32 және KQ-мен айналысатын кейбір адамдар осы сатыға жетпейді; кейбіреулер K-мен қатар қатар сатыға жетеді, тек қана K-мен, Оңтүстік 32 және Q-ны байқаған. Керісінше, Q32 және K-мен жасалған әрбір келісім осы кезеңге жетеді, өйткені Шығыс патшаны мәжбүрлеп ойнады (талапсыз немесе "шектеулі таңдау" арқылы). Егер Шығыс KQ-дан кездейсоқ түрде патша немесе патшайыммен бірінші трюкты жеңсе, онда бастапқы өтірік 32 және KQ осы кезеңге жартысын уақытқа жетеді және жолдың екінші бұрылысын жартысын уақытқа алады. Ойынның нақты реті бойынша, мүмкіндіктер тең емес, бірақ бір жарымға бір немесе 1: 2. Шығыс шамамен үштен бір бөлігінде түпнұсқа KQ-дан патшаны сақтайды және шамамен үштен екі бөлігінде түпнұсқа K-дан пикаларды сақтамайды. Шектелген таңдау принципі бойынша, 10 ойнап, ойнауға тырысу екі еседен артық нәтиже береді. Бұл қорғаушылардың сигнал беру жүйесі жоқ деп болжайды, сондықтан 3 (айтыңыз) батысынан 2 арқылы ойналған ойын дюблеттонды білдірмейді. Көптеген тең тең сауда-саттық барысында, теория бойынша, KQ-мен Шығыс кездейсоқ түрде патша немесе патшайыммен бірінші трюкты жеңуі керек; яғни, әрқайсысының жартысы ешқандай үлгісіз.

2 2 Split3 1 Split4 0 Split+ Table 1Possible West and East Holdings of KQ32WestEastWestEastWestEastKQ32KQ32KQ32—K3Q2KQ23—KQ32K2Q3K32QQ3K2Q32KQ2K3KQ3232KQQK323KQ22KQ3 Consider the suit combination represented at left. There are four spade cards 8754 in the South (closed hand) and five AJ1096 in the North (dummy, visible to all players). West and East hold the remaining four spades KQ32 in their two closed hands. Prior to play, 16 different West and East spade holdings or "lies" are possible from the perspective of South. These are listed in Table 1, ordered first by "split" from equal to unequal numbers of cards, then by West's holding from strongest to weakest. South leads a small spade, West plays the 2 (or 3), dummy North plays the J, and East wins with the K. Later, after winning a side suit trick, South leads another small spade and West follows low with the 3 (or 2). At this point, with North and East yet to play, the location of only the Q has not been established. South is at a decision point and knows that only two of the original 16 lies remain possible (bolded in Table 1), for West has played both low cards and East the king. At first glance, it may seem that the odds are now even, 1:1, so that South should expect to do equally well with either of the two possible continuations. However, the principle of restricted choice tells us that while both lies of the cards are possible, the probabilities are 2:1 in favour of assuming West holds Q32 and to therefore play the ten. If East had KQ, he could equally well have played the queen instead of the king. Thus some deals with original lie 32 and KQ would not reach this stage; some would instead reach the parallel stage with K alone missing, South having observed 32 and Q. In contrast, every deal with original lie Q32 and K would reach this stage, for East played the king perforce (without choice, or by "restricted choice"). If East would win the first trick with the king or queen uniformly at random from KQ, then that original lie 32 and KQ would reach this stage half the time and would take the other fork in the road half the time. Thus on the actual sequence of play, the odds are not even but one half to one, or 1:2. East would retain queen from original KQ about one third of the time and retain no spades from original K about two thirds of the time. The principle of restricted choice posits that to finesse by playing the 10 is nearly twice as likely to succeed. Importantly, this assumes that the defenders have no signaling system, so that the play by west of (say) the 3 followed by the 2 does not signal a doubleton. During the course of many equivalent deals, East with KQ should in theory win the first trick with the king or queen uniformly at random; that is, half each without any pattern.

Қосымша дәлдік

Априорилік, төмендегі 2-кестедегі алғашқы екі бағанда көрсетілгендей, төрт ерекше карта "бөлініп" тұр. Мысалы, үш карта бірге, ал төртіншісі жалғыз, "3 1 бөліну" ықтималдығы 49,74%. "Аталғандардың саны" дегенді түсіну үшін 1-кестедегі барлық өтіріктердің алдыңғы тізімін қараңыз. SplitProbability of SplitSpecific lies саныSpecific lie ықтималдығы+ 2-кестеSplit Four Card ықтималдығы 2 240.70%66.78%3 149.74%86.22%4 09.57%24.78% Соңғы баған 32 және KQ сияқты кез келген нақты бастапқы иеліктің априорлық ықтималдығын береді; ол 22 бөлінісін қамтитын бірінші жолмен бейнеленеді. Біздің мысалдық кейіпкерімізге тән басқа өтірік, Q32 және K, 31 бөлінуін қамтитын екінші қатармен бейнеленеді. Осылайша кестеде көрсетілгендей, осы екі нақты өтіріктің априорлық ықтималдығы біріншісінің жағында болмады, шамамен 6,78-тен 6,22-ге дейін KQ-ға қарсы K. Біздің мысалдағы шүберек костюмінің шынайы сәтіндегі ықтималдығы қандай? Егер Шығыс KQ-мен бірінші трюкты кездейсоқ түрде патшамен немесе патшайыммен жеңсе, ал K-мен патшамен бірінші трюкты жеңсе, таңдау жоқ, ал кейінірек 3,39-дан 6,22-ге дейін, 1: 2-ден сәл артық, пайыздық мәнде KQ үшін 35% -дан сәл артық. Екінші раундта Солтүстіктен келген "А" асаны ойнату үшін 35%-ға жуық, ал он 10 еселікпен ойнату үшін 65%-ға жуық ұтысқа жету керек. Шектелген таңдау принципі жалпы, бірақ бұл нақты ықтималдық есептеу Шығыс КК-дан патшамен дәл жартысын жеңеді деп болжайды (бұл ең жақсы). Егер шығыс KQ-дан патшаны жартысына жуық уақыт ойнаса, онда оңтүстік 35 пайыздан астам жеңілдікпен жеңеді. Шынында да, егер Шығыс патшамен 92% уақытпен жеңсе (= 6.22/6.78), онда Оңтүстік 50% аса ойнап, 50% финессті қайталаса жеңеді. Егер бұл рас болса, онда Оңтүстік 100% жеңіске жетеді, өйткені Шығыс патшаны жеңгеннен кейін, Шығыс патшаны жеңеді.

A priori, four outstanding cards "split" as shown in the first two columns of Table 2 below. For example, three cards are together and the fourth is alone, a "3 1 split" with probability 49.74%. To understand the "number of specific lies" refer to the preceding list of all lies in Table 1. SplitProbabilityof SplitNumber of specific liesProbability ofa specific lie+ Table 2Split Probabilities of Four Cards 2 240.70%66.78%3 149.74%86.22%4 09.57%24.78% The last column gives the a priori probability of any specific original holding such as 32 and KQ; that one is represented by row one covering the 2–2 split. The other lie featured in our example play of the spade suit, Q32 and K, is represented by row two covering the 3–1 split. Thus the table shows that the a priori odds on these two specific lies were not even but slightly in favor of the former, about 6.78 to 6.22 for KQ against K.

What are the odds a posteriori, at the moment of truth in our example play of the spade suit? If East does with KQ win the first trick uniformly at random with the king or the queen – and with K win the first trick with the king, having no choice – the posterior odds are 3.39 to 6.22, a little more than 1:2, in percentage terms a little more than 35% for KQ. To play the ace A from North on the second round should win about 35% while to finesse again with the ten 10 wins about 65%. The principle of restricted choice is general but this specific probability calculation does suppose East would win with the king from KQ precisely half the time (which is best). If East would win with the king from KQ more or less than half the time, then South wins more or less than 35% by playing the ace. Indeed, if East would win with the king 92% of the time (=6.22/6.78), then South wins 50% by playing the ace and 50% by repeating the finesse. If that is true, however, South wins almost 100% by repeating the finesse after East wins with the queen – for the queen from that East player almost denies the king.