Principle of restricted choice

Введение

Государства, которые играют определенной картой, уменьшают вероятность того, что ее игрок имеет любую эквивалентную карту В контрактном бридже принцип ограниченного выбора гласит, что "игра карты, которая может быть выбрана как выбор равных игр, увеличивает вероятность того, что игрок начал с позиции, в которой его выбор был ограничен". Главное, что игра помогает "в ситуациях, которые раньше считались просто догадками". Например, Юг ведет низкий пик, Запад играет низкий, Север играет королеву, Восток побеждает с королем. Туз и король - эквивалентные карты; игра востока на короле уменьшает вероятность того, что восток держит туз и увеличивает вероятность того, что запад держит туз. Принцип помогает другим игрокам вычислить местоположение не наблюдаемых эквивалентных карт, таких как туз пика, после наблюдения за королем. Увеличение или уменьшение вероятности является примером байесовского обновления по мере накопления доказательств, а конкретные приложения ограниченного выбора похожи на проблему Монти Холла. Во многих из этих ситуаций правило, вытекающее из принципа, заключается в том, чтобы играть за разделение почет. После того, как вы увидите одну эквивалентную карту, вы должны продолжать игру так, как если бы две эквиваленты были разделены между противоположными игроками, так что не было выбора, какую из них играть. У того, кто сыграл в первом, нет вторых. Когда количество эквивалентных карт больше двух, принцип усложняется, потому что их эквивалентность может не быть очевидной. Когда один из партнеров держит Q и 10, скажем, а другой держит J, обычно верно, что эти три карты эквивалентны, но тот, у кого есть две из них, не знает этого. Ограниченный выбор всегда представлен в виде двух касающихся карт последовательных рангов в одном и том же костюме, таких как QJ или KQ , где проявляется эквивалентность. Если нет причин отдавать предпочтение определенной карте (например, чтобы дать сигнал партнеру), игрок, имеющий две или более эквивалентных карты, иногда должен рандомизировать порядок их игры (см. примечание к равновесию Нэша). Расчеты вероятности в охвате ограниченного выбора часто принимают однородную рандомизацию как должное, но это проблематично. Принцип ограниченного выбора даже применяется к выбору соперником первой линии из эквивалентных костюмов. См. Kelsey & Glauert (1980).

States that play of a particular card decreases the probability its player holds any equivalent card
In contract bridge, the principle of restricted choice states that "The play of a card which may have been selected as a choice of equal plays increases the chance that the player started with a holding in which his choice was restricted." Crucially, it helps play "in situations which used to be thought of as guesswork." For example, South leads a low spade, West plays a low one, North plays the queen, East wins with the king. The ace and king are equivalent cards; East's play of the king decreases the probability East holds the ace – and increases the probability West holds the ace. The principle helps other players infer the locations of unobserved equivalent cards such as that spade ace after observing the king. The increase or decrease in probability is an example of Bayesian updating as evidence accumulates and particular applications of restricted choice are similar to the Monty Hall problem. In many of those situations the rule derived from the principle is to play for split honors. After observing one equivalent card, that is, one should continue play as if two equivalents were split between the opposing players, so that there was no choice about which one to play. Whoever played the first one doesn't have the other one. When the number of equivalent cards is greater than two, the principle is complicated because their equivalence may not be manifest. When one partner holds Q and 10, say, and the other holds J, it is usually true that those three cards are equivalent but the one who holds two of them does not know it. Restricted choice is always introduced in terms of two touching cards – consecutive ranks in the same suit, such as QJ or KQ – where equivalence is manifest. If there is no reason to prefer a specific card (for example to signal to partner), a player holding two or more equivalent cards should sometimes randomize their order of play (see the note on Nash equilibrium). The probability calculations in coverage of restricted choice often take uniform randomization for granted but that is problematic. The principle of restricted choice even applies to an opponent's choice of an opening lead from equivalent suits. See Kelsey & Glauert (1980).

Пример

2 2 Split3 1 Split4 0 Split+ Таблица 1Возможные западно-восточные доли KQ32WestEastWestEastWestKQ32KQ32KQ32K3Q2KQ23KQ32K2Q3K32Q3K2Q32KQ2K3KQ3232KQK3KQ3K23KQ22KQ3 Рассмотрим комбинацию костюмов, представленную слева. На юге четыре карты 8754 (закрытая рука) и пять AJ1096 на севере (думми, видимый для всех игроков). Запад и Восток держат в двух закрытых руках оставшиеся четыре пики KQ32. Перед игрой возможны 16 различных западно-восточных позиций или "ложь" с точки зрения Юга. Они перечислены в таблице 1, упорядоченные сначала по "разделению" от равного до неравного количества карт, затем по удержанию Уэста от сильнейшего до слабейшего. Юг ведет маленький лопатой, Запад играет 2 (или 3), дублированный Север играет J, а Восток побеждает с K. Позже, после победы в трюке с боковым костюмом, Юг ведет другой маленький лопатой, а Запад следует ниже с 3 (или 2). На данный момент, с Северным и Восточным еще не сыграли, местоположение только Q не установлено. Юг находится в точке решения и знает, что только две из первоначальных 16 лжи остаются возможными (начертаны в таблице 1), поскольку Запад сыграл и низкие карты, и Восток короля. На первый взгляд может показаться, что шансы теперь равны, 1:1, так что Юг должен рассчитывать на одинаковую удачу с любым из двух возможных продолжений. Однако принцип ограниченного выбора говорит нам, что, хотя оба варианта возможны, вероятность в 2 к 1 в пользу предположения, что Уэст имеет Q32 и поэтому играет в десять. Если бы у Иста был КК, он мог бы также сыграть королеву вместо короля. Таким образом, некоторые сделки с оригинальной ложью 32 и KQ не достигнут этой стадии; некоторые вместо этого достигнут параллельной стадии, при этом только K будет отсутствовать, а Юг будет наблюдать 32 и Q. В отличие от этого, каждая сделка с оригинальной ложью Q32 и K достигла бы этой стадии, поскольку Восток играл короля по принуждению (без выбора или "ограниченным выбором"). Если Восток выиграет первый трюк с королем или королевой равномерно случайным образом от KQ, тогда эта первоначальная ложь 32 и KQ достигнет этой стадии в половине времени и возьмет другую разветвленную дорогу в половине времени. Таким образом, в реальном порядке игры шансы не равны, а равны половине к одному, или 1:2. Восток сохраняет королеву из оригинального KQ примерно в одной трети времени и не сохраняет пики из оригинального K примерно в двух третей времени. Принцип ограниченного выбора предполагает, что играть на 10 почти в два раза чаще. Важно отметить, что это предполагает, что у защитников нет системы сигнализации, поэтому игра на запад от (скажем) 3 с последующей 2 не сигнализирует о дублеттоне. В ходе многих эквивалентных сделок Восток с КК должен в теории выиграть первый трюк с королем или королевой равномерно по случаю; то есть, пополам каждый без каких-либо шаблонов.

2 2 Split3 1 Split4 0 Split+ Table 1Possible West and East Holdings of KQ32WestEastWestEastWestEastKQ32KQ32KQ32—K3Q2KQ23—KQ32K2Q3K32QQ3K2Q32KQ2K3KQ3232KQQK323KQ22KQ3 Consider the suit combination represented at left. There are four spade cards 8754 in the South (closed hand) and five AJ1096 in the North (dummy, visible to all players). West and East hold the remaining four spades KQ32 in their two closed hands. Prior to play, 16 different West and East spade holdings or "lies" are possible from the perspective of South. These are listed in Table 1, ordered first by "split" from equal to unequal numbers of cards, then by West's holding from strongest to weakest. South leads a small spade, West plays the 2 (or 3), dummy North plays the J, and East wins with the K. Later, after winning a side suit trick, South leads another small spade and West follows low with the 3 (or 2). At this point, with North and East yet to play, the location of only the Q has not been established. South is at a decision point and knows that only two of the original 16 lies remain possible (bolded in Table 1), for West has played both low cards and East the king. At first glance, it may seem that the odds are now even, 1:1, so that South should expect to do equally well with either of the two possible continuations. However, the principle of restricted choice tells us that while both lies of the cards are possible, the probabilities are 2:1 in favour of assuming West holds Q32 and to therefore play the ten. If East had KQ, he could equally well have played the queen instead of the king. Thus some deals with original lie 32 and KQ would not reach this stage; some would instead reach the parallel stage with K alone missing, South having observed 32 and Q. In contrast, every deal with original lie Q32 and K would reach this stage, for East played the king perforce (without choice, or by "restricted choice"). If East would win the first trick with the king or queen uniformly at random from KQ, then that original lie 32 and KQ would reach this stage half the time and would take the other fork in the road half the time. Thus on the actual sequence of play, the odds are not even but one half to one, or 1:2. East would retain queen from original KQ about one third of the time and retain no spades from original K about two thirds of the time. The principle of restricted choice posits that to finesse by playing the 10 is nearly twice as likely to succeed. Importantly, this assumes that the defenders have no signaling system, so that the play by west of (say) the 3 followed by the 2 does not signal a doubleton. During the course of many equivalent deals, East with KQ should in theory win the first trick with the king or queen uniformly at random; that is, half each without any pattern.

Более высокая точность

Априори, четыре выделенных карты "разделенные", как показано в первых двух столбцах таблицы 2 ниже. Например, три карты вместе, а четвертая - одна, "3 1 разделение" с вероятностью 49,74%. Чтобы понять "количество конкретных лжи" обратитесь к предыдущему списку всех лжи в таблице 1. РазделениеВероятность расколаКоличество конкретных ложИвероятность конкретной лож+ Таблица 2Разделение вероятности четырех карт 2 240,70%66,78%3 149,74%86,22%4 09.57%24.78% Последняя колонка дает априорную вероятность любого конкретного исходного положения, такого как 32 и KQ; этот показатель представлен строкой 1, охватывающей раскол 22. Другая ложь, представленная в нашем примере игры в пиковый костюм, Q32 и K, представлена вторым рядом, охватывающим разделение 31. Таким образом, таблица показывает, что априорные шансы на эти две конкретные ложь были не даже, но слегка в пользу первой, около 6,78 к 6,22 для KQ против K. Каковы шансы a posteriori, в момент истины в нашем примере игры в пиковый костюм? Если Восток с KQ выиграет первый трюк равномерно случайным образом с королем или королевой и с K выиграет первый трюк с королем, не имея выбора , то коэффициент последующего выигрыша составляет 3,39 к 6,22, чуть больше чем 1:2, в процентном выражении чуть более 35% для KQ. Играть против туза А из Севера во втором раунде должно выиграть около 35% в то время как снова финес с десятью 10 побеждает около 65%. Принцип ограниченного выбора является общим, но этот конкретный вычисление вероятности предполагает, что Восток выиграет с королем из KQ точно в половине случаев (что лучше всего). Если Восток выигрывает с королем из KQ более или менее половины времени, то Юг выигрывает более или менее 35% играя на тузе. Действительно, если Восток выиграет с королем 92% времени (= 6.22/6.78), то Юг выигрывает 50%, играя тузом и 50%, повторяя тонкость. Если это правда, Юг выигрывает почти на 100%, повторяя тонкость после того, как Восток выигрывает с королевой для королевы от этого игрока Востока почти отрицает короля.

A priori, four outstanding cards "split" as shown in the first two columns of Table 2 below. For example, three cards are together and the fourth is alone, a "3 1 split" with probability 49.74%. To understand the "number of specific lies" refer to the preceding list of all lies in Table 1. SplitProbabilityof SplitNumber of specific liesProbability ofa specific lie+ Table 2Split Probabilities of Four Cards 2 240.70%66.78%3 149.74%86.22%4 09.57%24.78% The last column gives the a priori probability of any specific original holding such as 32 and KQ; that one is represented by row one covering the 2–2 split. The other lie featured in our example play of the spade suit, Q32 and K, is represented by row two covering the 3–1 split. Thus the table shows that the a priori odds on these two specific lies were not even but slightly in favor of the former, about 6.78 to 6.22 for KQ against K.

What are the odds a posteriori, at the moment of truth in our example play of the spade suit? If East does with KQ win the first trick uniformly at random with the king or the queen – and with K win the first trick with the king, having no choice – the posterior odds are 3.39 to 6.22, a little more than 1:2, in percentage terms a little more than 35% for KQ. To play the ace A from North on the second round should win about 35% while to finesse again with the ten 10 wins about 65%. The principle of restricted choice is general but this specific probability calculation does suppose East would win with the king from KQ precisely half the time (which is best). If East would win with the king from KQ more or less than half the time, then South wins more or less than 35% by playing the ace. Indeed, if East would win with the king 92% of the time (=6.22/6.78), then South wins 50% by playing the ace and 50% by repeating the finesse. If that is true, however, South wins almost 100% by repeating the finesse after East wins with the queen – for the queen from that East player almost denies the king.