Кіріспе
Төрт өлшемді геометриялық нысан
5 ұяшықтың 3 ерекше дәрежедегі рунцинациялары бар, соның ішінде өзгешеліктері, кесілулері және кантелляциялары бар.
A4 Коксеттер жазықтығындағы ортогоналды проекциялар
Төрт өлшемді геометрияда, рунцинацияланған 5 ұяшық – дөңгелек біртектес 4 политоп, ол 5 ұяшықтың рунцинациясы (бет жазылымдарына дейін 3-реттік қиылу) болып табылады. 5 ұяшықтың рунцинациясының 3 ерекше дәрежесі бар, соның ішінде өзгешеліктері, кесілулері және кантелляциялары бар.
5 cellRuncinated 5 cellRuncitruncated 5 cellOmnitruncated 5 cell(Runcicantitruncated 5 cell)Orthogonal projections in A4 Coxeter plane
In four dimensional geometry, a runcinated 5 cell is a convex uniform 4 polytope, being a runcination (a 3rd order truncation, up to face planing) of the regular 5 cell. There are 3 unique degrees of runcinations of the 5 cell, including with permutations, truncations, and cantellations.
5 ұялы, сумен күйдірілген
5 жасушалы Шлегель диаграммасы, тетраэдрлі жасушалардың жартысы көрінеді. ТүріБірыңғай 4 политопШлефли символыt0,3{3,3,3}Коксетер диаграммасыКелдер3010 (3.3.3) 20 (3.4.4) Беттер7040 {3}30 {4}Шеттері60Төбелер20Төбелік фигура (Ұзындығы тең жақты үшбұрышты антипризма) Симметрия тобыAut(A4), реті 240ҚасиеттеріДөңес, изогоналды изотоксалБірыңғай индекс4 5 6 Рунцинтелген 5 жасуша немесе кіші призматодекахорон 5 жасушаның жасушаларын радиалды түрде кеңейту арқылы және бос кеңістіктерді үшбұрышты призмалармен (беттік призмалар және шеттік фигуралар) және тетраэдрлермен (қос 5 жасушаның жасушалары) толтыру арқылы құрастырылады. Ол 10 тетраэдр және 20 үшбұрышты призмадан тұрады. 10 тетраэдр 5 жасушаның және оның қосымша жасушаларына сәйкес келеді. Топологиялық тұрғыдан, ең жоғары симметриясы [[3,3,3]] бойынша, 10 тетраэдр және 20 біркелкі үшбұрышты призмадан тұратын бір ғана геометриялық форма бар. Тіктөртбұрыштар әрқашан квадраттар болады, себебі екі жұп қабырғалары екі жиын 5 реттеулі тетраэдрлердің қабырғаларына сәйкес келеді, олар кеңейтілген симметрияда тең болады. Е. Л. Эльте 1912 жылы оны жартылай реттеулі политоп ретінде анықтады.
The runcinated 5 cell or small prismatodecachoron is constructed by expanding the cells of a 5 cell radially and filling in the gaps with triangular prisms (which are the face prisms and edge figures) and tetrahedra (cells of the dual 5 cell). It consists of 10 tetrahedra and 20 triangular prisms. The 10 tetrahedra correspond with the cells of a 5 cell and its dual. Topologically, under its highest symmetry, [[3,3,3]], there is only one geometrical form, containing 10 tetrahedra and 20 uniform triangular prisms. The rectangles are always squares because the two pairs of edges correspond to the edges of the two sets of 5 regular tetrahedra each in dual orientation, which are made equal under extended symmetry. E. L. Elte identified it in 1912 as a semiregular polytope.
Құрылымы
Кез келген төбеде он тетраэдрлі жасушаның екеуі түйіседі. Үшбұрышты призмалар олардың арасында орналасқан, үшбұрышты жақтары арқылы оларға және квадрат жақтары арқылы бір-біріне қосылған. Әрбір үшбұрышты призма көршілес үшбұрышты призмаларға қарама-қарсы бағытта қосылады (яғни, егер ортақ квадрат жақтағы A және B қабырғалары бір призманың үшбұрышты жақтарына қосылса, онда екінші призманың үшбұрышты жақтарына қалған екі қабырға қосылады); осылайша, жанындағы призмалардың әр жұбы бір жазықтықта бұрылса, гиробифастигиум құратын болады.
Дисекция
Рунцинирленген 5 ұяшықты орталық кубоктаэдрге бөлу арқылы екі тетраэдрлік күмбезге жіктеуге болады. Бұл жіктеу 3D кубоктаэдрдің орталық алтыбұрышпен екі үшбұрышты күмбезге бөлінуіне ұқсас.
Түбір векторлары
Оның 20 төбесі қарапайым Лай тобының A4 түбірлік векторларын көрсетеді. Бұл сонымен қатар 4 өлшемді кеңістіктегі 5 ұялы бал арасының төбелік фигурасы болып табылады.
Көлденең қималар
3 өлшемді гипержазықтықпен қиылған 5 ұяшықтың ең үлкен қимасы кубоктаэдр болып табылады. Бұл қима қиылған 5 ұяшықты 5 тетраэдрден және әрқайсысы 10 үшбұрышты призмадан тұратын екі тетраэдрлік гиперкуполаға бөледі.
Байланысты қисық көпбұрышты
Үлгілі қисық көпбұрыш {4,6|3} 4-ші өлшемде бар, әр төбесінде 6 шаршы орналасқан, зигзаг тәрізді, жазық емес төбелік фигурасы бар. Бұл шаршы беттерді 60 қабырғасы мен 20 төбесін пайдаланып, 5 жасушаның қиылысқан түрінде көруге болады. 5 жасушаның 40 үшбұрышты беттері алынып тасталғандай көрінеді. Двойной (қос) үлгілі қисық көпбұрыш {6,4|3} де осылайша 5 жасушаның екі рет қиылысқан түрінің алтыбұрышты беттерімен байланысты.
5 ұялы Runcitruncated
5 ұяшықты Шлегель диаграммасы кубоктаэдрлі ұяшықтармен көрсетілген. Бірыңғай 4-өлшемді политоп, Шлефли символы t0,1,3{3,3,3}, Коксетер диаграммасы. Ұяшықтар: 305 (3.6.6), 10 (4.4.6), 10 (3.4.4), 5 (3.4.3.4). Беттер: 120, оның ішінде 40 {3}, 60 {4}, 20 {6}. Жиектер: 150. Төбелер: 60. Төбелік фигура (Тікбұрышты пирамида). Коксетер тобы: A4, [3,3,3], 120 рет. Қасиеттері: дөңес, теңбұрышты. Бірыңғай индексі: 7 8 9.
Рунситрұнқаланған 5 ұяшық немесе призматорхомбатталған пентахорон 60 төбеден, 150 жиектен, 120 беттен және 30 ұяшықтан тұрады. Ұяшықтар: 5 қысқартылған тетраэдр, 10 алтыбұрышты призма, 10 үшбұрышты призма және 5 кубоктаэдр. Әр төбе бес ұяшықпен қоршалған: бір қысқартылған тетраэдр, екі алтыбұрышты призма, бір үшбұрышты призма және бір кубоктаэдр; төбелік фигура тікбұрышты пирамида.
Суреттер
40 көк үшбұрышты және 60 жасыл төртбұрышты жақтары бар Шлегель диаграммасы. Шлегель диаграммасының орталық бөлігі.
5-жасушалы, омнитрункалы
5 ұяшықтың толық қиылысқан Шлегель диаграммасы, қиылысқан октаэдрлі ұяшықтардың жартысы көрсетілген. ТүріБірыңғай 4-өлшемді политопШлефли символы t0,1,2,3{3,3,3}Коксетер диаграммасыҰяшықтар3010 (4.6.6) 20 (4.4.6) Беттер15090 {4} 60 {6} Қырлар240 Төбелер120 Төбелік фигура Филликалық дисфеноидКоксетер тобыAut(A4), , 240 рет Сүйектер дөңес, теңбұрышты, аймақтық Бірыңғай индекс8 9 10 Толық қиылысқан 5 ұяшық немесе үлкен призма-декахорон 120 төбеден, 240 қырдан, 150 беттен (90 квадраттан және 60 алтыбұрыштан) және 30 ұяшықтан тұрады. Ұяшықтар: 10 қиылысқан октаэдр және 20 алтыбұрышты призма. Әр төбе төрт ұяшықпен қоршалған: екі қиылысқан октаэдр және екі алтыбұрышты призма, екі филликалық дисфеноидтық төбелік фигуралар түрінде орналасқан. Коксетер осы политопты К.Х. Хинтонның есімімен атады, ол оны 1906 жылы шыққан "Төртінші өлшем" кітабында сипаттаған. Ол біркелкі ұяшық құрайды, Коксетер оны Хинтонның ұяшығы деп атайды.
The omnitruncated 5 cell or great prismatodecachoron is composed of 120 vertices, 240 edges, 150 faces (90 squares and 60 hexagons), and 30 cells. The cells are: 10 truncated octahedra, and 20 hexagonal prisms. Each vertex is surrounded by four cells: two truncated octahedra, and two hexagonal prisms, arranged in two phyllic disphenoidal vertex figures. Coxeter calls this Hinton's polytope after C. H. Hinton, who described it in his book The Fourth Dimension in 1906. It forms a uniform honeycomb which Coxeter calls Hinton's honeycomb.
Пермутоэдр
Тіктөртбұрышты октаэдр 4-ретті пермутоэдр болғандай, толық қырлы 5-ұяшық 5-ретті пермутоэдр болып табылады. Толық қырлы 5-ұяшық – бұл зонотоп, бастауынан және 5-ұяшықтың бес төбесінен өтетін бес түзуге параллель бес сызық сегменттерінің Минковский қосындысы.
Тесселяциялар
5 жасушалы омнитрункалы бал арасы 4 өлшемді кеңістікті осы жасушаның трансляциялық көшірмелері арқылы теселяциялай алады, әрбір бетінің айналасында 3 гипержасуша орналасқан. Бұл бал арасының Коксетер диаграммасы ерекше. Үш өлшемдегі аналогтық бал арасынан – үш түрлі Коксетер тобының Витхофф конструкциялары бар биткалаған кубтық бал арасынан айырмашылығы, бұл бал арасының тек бір ғана конструкциясы бар.
Қарым-қатынас политоптары
Бұл политоптар [3,3,3] Коксетер тобынан құралған 9 біртекті 4-өлшемді политоптар отбасының бір бөлігін құрайды.