Введение
Четырехмерный геометрический объект
5-ячейкаРанцинированная 5-ячейкаРанцитрунсированная 5-ячейкаОмниусеченная 5-ячейка (Ранцикантитрунсированная 5-ячейка)Ортогональные проекции в плоскости А4 Коксетера
В четырехмерной геометрии, ранцинированная 5-ячейка является выпуклым однородным 4-политопом, будучи ранцинацией (усечением 3-го порядка, до плоскости грани) правильной 5-ячейки. Существует 3 уникальных степени ранцинирования 5-ячейки, включая варианты с перестановками, усечениями и кантелляциями.
5 cellRuncinated 5 cellRuncitruncated 5 cellOmnitruncated 5 cell(Runcicantitruncated 5 cell)Orthogonal projections in A4 Coxeter plane
In four dimensional geometry, a runcinated 5 cell is a convex uniform 4 polytope, being a runcination (a 3rd order truncation, up to face planing) of the regular 5 cell. There are 3 unique degrees of runcinations of the 5 cell, including with permutations, truncations, and cantellations.
5-клеточный рунцинтационный
Рунцинированная 5-ячейка схема Шлегеля с половиной видимых тетраэдрических ячеек. Тип: Униформный 4-политоп. Символ Шлафли: t0,3{3,3,3}. Диаграмма Коксетера: Ячейки: 3010 (3.3.3) 20 (3.4.4). Грани: 7040 {3} 30 {4}. Рёбра: 60. Вершины: 20. Вершинная фигура: (Удлинённая равносторонняя треугольная антипризма). Группа симметрии: Aut(A4), порядок 240. Свойства: выпуклый, изогональный, изотоксальный. Униформный индекс: 4 5 6.
The runcinated 5 cell or small prismatodecachoron is constructed by expanding the cells of a 5 cell radially and filling in the gaps with triangular prisms (which are the face prisms and edge figures) and tetrahedra (cells of the dual 5 cell). It consists of 10 tetrahedra and 20 triangular prisms. The 10 tetrahedra correspond with the cells of a 5 cell and its dual. Topologically, under its highest symmetry, [[3,3,3]], there is only one geometrical form, containing 10 tetrahedra and 20 uniform triangular prisms. The rectangles are always squares because the two pairs of edges correspond to the edges of the two sets of 5 regular tetrahedra each in dual orientation, which are made equal under extended symmetry. E. L. Elte identified it in 1912 as a semiregular polytope.
Рунцинированная 5-ячейка, или малый призматодекахорон, строится путём радиального расширения ячеек 5-ячейки и заполнения образовавшихся промежутков треугольными призмами (которые являются призмами граней и фигур ребер) и тетраэдрами (ячейками двойственной 5-ячейки). Она состоит из 10 тетраэдров и 20 треугольных призм. 10 тетраэдров соответствуют ячейкам 5-ячейки и её двойственной. Топологически, при наивысшей симметрии [[3,3,3]], существует только одна геометрическая форма, содержащая 10 тетраэдров и 20 однородных треугольных призм. Прямоугольники всегда являются квадратами, поскольку две пары рёбер соответствуют рёбрам двух наборов из 5 правильных тетраэдров, каждый из которых имеет двойственную ориентацию, и эти рёбра становятся равными при расширенной симметрии. Э. Л. Элте идентифицировал её в 1912 году как полуправильный политоп.
The runcinated 5 cell or small prismatodecachoron is constructed by expanding the cells of a 5 cell radially and filling in the gaps with triangular prisms (which are the face prisms and edge figures) and tetrahedra (cells of the dual 5 cell). It consists of 10 tetrahedra and 20 triangular prisms. The 10 tetrahedra correspond with the cells of a 5 cell and its dual. Topologically, under its highest symmetry, [[3,3,3]], there is only one geometrical form, containing 10 tetrahedra and 20 uniform triangular prisms. The rectangles are always squares because the two pairs of edges correspond to the edges of the two sets of 5 regular tetrahedra each in dual orientation, which are made equal under extended symmetry. E. L. Elte identified it in 1912 as a semiregular polytope.
Структура
Две из десяти тетраэдрических ячеек встречаются в каждой вершине. Треугольные призмы расположены между ними, соединены с ними своими треугольными гранями и друг с другом квадратными гранями. Каждая треугольная призма соединена со своими соседними треугольными призмами в антиориентации (то есть, если рёбра A и B в общей квадратной грани соединены с треугольными гранями одной призмы, то к треугольным граням другой призмы присоединены два других ребра); таким образом, каждая пара соседних призм, если их повернуть в одну и ту же гиперплоскость, образовала бы гиробифастигиум.
Дисекция
Рунцинированная 5-я ячейка может быть разделена центральным кубоктаэдром на два тетраэдрических купола. Это разделение аналогично тому, как 3D-кубоктаэдр разделяется центральным шестиугольником на два треугольных купола.
Корневые векторы
Его 20 вершин представляют корневые векторы простой группы Ли A4. Это также вершинная фигура для пятиклеточного сота в 4-мерном пространстве.
Поперечные сечения
Максимальное поперечное сечение рунцинированной 5-ячейки трехмерной гиперплоскостью является кубоктаэдром. Это сечение разделяет рунцинированную 5-ячейку на две тетраэдрические гиперкуполы, каждая из которых состоит из 5 тетраэдров и 10 треугольных призм.
Связанный полиэдр
Регулярный скошенный многогранник {4,6|3} существует в 4-мерном пространстве, с 6 квадратами вокруг каждой вершины, образующими зигзагообразную неплоскую фигуру вершины. Эти квадратные грани можно увидеть на рунцинированной 5-ячейке, используя все 60 ребер и 20 вершин. 40 треугольных граней рунцинированной 5-ячейки можно рассматривать как удаленные. Двойственный регулярный скошенный многогранник {6,4|3} аналогичным образом связан с гексагональными гранями би-усеченной 5-ячейки.
Ранцитронированный 5-клеточный
Рунцитрунгированная 5-ячейка, диаграмма Шлегеля с кубоктаэдрическими ячейками. Тип: Равномерный 4-мерный политоп. Символ Шлефли: t0,1,3{3,3,3}. Диаграмма Коксетера. Ячейки: 305 (3.6.6), 10 (4.4.6), 10 (3.4.4), 5 (3.4.3.4). Грани: 120, 40 {3}, 60 {4}, 20 {6}. Рёбра: 150. Вершины: 60. Фигура вершины: (Прямоугольная пирамида). Группа Коксетера: A4, [3,3,3], порядок 120. Свойства: выпуклая, изогональная. Равномерный индекс: 7 8 9.
Рунцитрунгированная 5-ячейка, или призморомбовый пентахорон, состоит из 60 вершин, 150 рёбер, 120 граней и 30 ячеек. Ячейки состоят из: 5 усечённых тетраэдров, 10 шестиугольных призм, 10 треугольных призм и 5 кубоктаэдров. Каждая вершина окружена пятью ячейками: одним усечённым тетраэдром, двумя шестиугольными призмами, одной треугольной призмой и одним кубоктаэдром; фигура вершины представляет собой прямоугольную пирамиду.
Изображения
Диаграмма Шлегеля с 40 синими треугольными гранями и 60 зелеными четырёхугольными гранями. Центральная часть диаграммы Шлегеля.
Обнитронкированная 5-клеточная
Всеобъемлющая схема Шлегеля 5-ячейки, на которой показана половина усечённых октаэдрических ячеек. Тип: Униформный 4-мерный политоп. Символ Шлефли: t0,1,2,3{3,3,3}. Диаграмма Коксетера. Ячейки: 30 – 10 (4.6.6), 20 (4.4.6). Грани: 150 – 90 {4}, 60 {6}. Рёбра: 240. Вершины: 120. Фигура вершины: Филлический дисфеноид. Группа Коксетера: Aut(A4), порядок 240. Свойства: выпуклый, изогональный, зонотоп. Униформный индекс: 8 9 10.
The omnitruncated 5 cell or great prismatodecachoron is composed of 120 vertices, 240 edges, 150 faces (90 squares and 60 hexagons), and 30 cells. The cells are: 10 truncated octahedra, and 20 hexagonal prisms. Each vertex is surrounded by four cells: two truncated octahedra, and two hexagonal prisms, arranged in two phyllic disphenoidal vertex figures. Coxeter calls this Hinton's polytope after C. H. Hinton, who described it in his book The Fourth Dimension in 1906. It forms a uniform honeycomb which Coxeter calls Hinton's honeycomb.
Всеобъемлющая 5-ячейка, или большая призматодекахорон, состоит из 120 вершин, 240 рёбер, 150 граней (90 квадратов и 60 шестиугольников) и 30 ячеек. Ячейки включают 10 усечённых октаэдров и 20 шестиугольных призм. Каждая вершина окружена четырьмя ячейками: двумя усечёнными октаэдрами и двумя шестиугольными призмами, расположенными в двух филлических дисфеноидальных фигурах вершин. Коксетер называет этот политоп политопом Хинтона, в честь К. Х. Хинтона, который описал его в своей книге «Четвёртое измерение» в 1906 году. Он образует однородный сотовидный узор, который Коксетер называет сотовидным узором Хинтона.
The omnitruncated 5 cell or great prismatodecachoron is composed of 120 vertices, 240 edges, 150 faces (90 squares and 60 hexagons), and 30 cells. The cells are: 10 truncated octahedra, and 20 hexagonal prisms. Each vertex is surrounded by four cells: two truncated octahedra, and two hexagonal prisms, arranged in two phyllic disphenoidal vertex figures. Coxeter calls this Hinton's polytope after C. H. Hinton, who described it in his book The Fourth Dimension in 1906. It forms a uniform honeycomb which Coxeter calls Hinton's honeycomb.
Пермутоэдр
Так же, как усечённый октаэдр является пермутоэдром порядка 4, всеусечённая 5-я ячейка является пермутоэдром порядка 5. Всеусечённая 5-я ячейка — это зонотоп, сумма Минковского пяти отрезков, параллельных пяти прямым, проходящим через начало координат, и пяти вершинам 5-й ячейки.
Тесселяции
Всеобъемлющий 5-ячеечный сотовидный узор может заполнять четырёхмерное пространство посредством трансляционных копий этой ячейки, каждая из которых окружена тремя гиперячейками вокруг каждой грани. Диаграмма Коксетера этого сотового узора отличается от аналогичного сотового узора в трёх измерениях – усечённого кубического сотового узора, который имеет три различных построения группы Коксетера и Витхоффа, тогда как данный сотовый узор имеет только одно такое построение.
Связанные политопы
Эти политопы являются частью семейства из 9 однородных 4-мерных политопов, построенных на основе группы Коксетера [3,3,3].