Введение

N-й корень произведения n чисел

В математике геометрическое среднее — это среднее или средняя величина, которая указывает на центральную тенденцию конечного множества действительных чисел, используя произведение их значений (в отличие от арифметического среднего, которое использует их сумму). Геометрическое среднее определяется как n-й корень произведения n чисел, то есть для множества чисел a1, a2, …, an геометрическое среднее определяется как

или, эквивалентно, как арифметическое среднее в логарифмической шкале:

Чаще всего числа ограничиваются неотрицательными, чтобы избежать осложнений, связанных с тем, что отрицательные числа не имеют действительных корней, и часто ограничиваются положительными, чтобы обеспечить возможность использования логарифмов. В любом случае, геометрическое среднее равно нулю для любого набора данных, где одно или несколько значений равно нулю. Геометрическое среднее может быть ненадежной мерой центральной тенденции для набора данных, где одно или несколько значений чрезвычайно близки к нулю по сравнению с другими элементами набора данных. Геометрическое среднее двух чисел, скажем, 2 и 8, — это просто квадратный корень их произведения, то есть, геометрическое среднее трех чисел 4, 1 и 1/32 — это кубический корень их произведения (1/8), что равно 1/2, то есть,

Геометрическое среднее часто используется для набора чисел, значения которых предполагается умножать вместе или которые имеют экспоненциальный характер, например, набор показателей роста: численность населения или процентные ставки финансовых инвестиций с течением времени. Оно также применимо к бенчмаркингу, где особенно полезно для вычисления средних коэффициентов ускорения: поскольку среднее значение 0,5x (вдвое медленнее) и 2x (вдвое быстрее) будет равно 1 (то есть, ускорения в целом нет). Предположим, например, что человек инвестирует 1000 долларов в акции и получает годовую доходность +10%, 12%, +90%, 30% и +25% в течение 5 последовательных лет, что дает конечную стоимость инвестиций в размере 1609 долларов. Среднее арифметическое годовых процентных изменений составляет 16,6%. Однако это значение не является репрезентативным. Если бы первоначальная инвестиция росла на 16,6% в год, то через 5 лет она стоила бы 2155 долларов. Фактически, для определения среднего процентного роста необходимо вычислить геометрическое среднее последовательных годовых коэффициентов роста (1,1, 0,88, 1,9, 0,7, 1,25). Это дает значение 1,0998, что соответствует среднегодовому росту в 9,98%. Легко проверить, что инвестиция в размере 1000 долларов, которая растет на 9,98% в течение пяти лет, достигнет конечной стоимости инвестиций в размере 1609 долларов. В этом случае геометрическое среднее является подходящим, поскольку рост инвестиций является мультипликативным, а не аддитивным. Геометрическое среднее можно понять с точки зрения геометрии. Геометрическое среднее двух чисел, и , — это длина одной стороны квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами длин и . Аналогично, геометрическое среднее трех чисел, , и , — это длина одного ребра куба, объем которого равен объему параллелепипеда с ребрами, длины которых равны трем заданным числам. Геометрическое среднее — одно из трех классических пифагорейских средних, наряду с арифметическим средним и гармоническим средним. Для всех положительных наборов данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений, гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних, а арифметическое среднее всегда является наибольшим из трех, а геометрическое среднее всегда находится между ними (см. Неравенство между арифметическим и геометрическим средними).

Сравнение с арифметической средней

Геометрическое среднее непустого набора данных (положительных) чисел всегда меньше или равно их арифметическому среднему. Равенство достигается только тогда, когда все числа в наборе данных равны; в противном случае геометрическое среднее меньше. Например, геометрическое среднее 2 и 3 равно 2,45, а их арифметическое среднее — 2,5. В частности, это означает, что если набор неидентичных чисел подвергается преобразованию, сохраняющему среднее значение — то есть элементы набора "раздвигаются" друг от друга, при этом арифметическое среднее остаётся неизменным — то их геометрическое среднее уменьшается.

Средний темп роста

Во многих случаях геометрическое среднее является лучшей мерой для определения средней скорости роста некоторой величины. (Например, если в один год продажи увеличиваются на 80%, а в следующем году на 25%, конечный результат будет таким же, как при постоянном темпе роста в 50%, поскольку геометрическое среднее 1,80 и 1,25 равно 1,50.) Для определения средней скорости роста не обязательно вычислять произведение измеренных темпов роста на каждом шаге. Пусть величина задана последовательностью , где – число шагов от начального до конечного состояния. Темп роста между последовательными измерениями и равен . Геометрическое среднее этих темпов роста тогда равно:

Пропорциональный рост

Геометрическое среднее более уместно, чем арифметическое среднее, для описания пропорционального роста, как экспоненциального роста (постоянный пропорциональный рост), так и изменяющегося роста; в бизнесе геометрическое среднее темпов роста известно как сложный годовой темп роста (CAGR). Геометрическое среднее роста за периоды дает эквивалентный постоянный темп роста, который привел бы к той же конечной величине. Предположим, апельсиновое дерево дает 100 апельсинов в один год, а затем 180, 210 и 300 в последующие годы, таким образом, рост составляет 80%, 16,6666% и 42,8571% соответственно для каждого года. Использование арифметического среднего вычисляет (линейный) средний рост в 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, затем сумма делится на 3). Однако, если мы начнем со 100 апельсинов и позволим им расти на 46,5079% каждый год, результат составит 314 апельсинов, а не 300, следовательно, линейное среднее завышает годовой рост. Вместо этого мы можем использовать геометрическое среднее. Рост на 80% соответствует умножению на 1,80, поэтому мы берем геометрическое среднее 1,80, 1,166666 и 1,428571, то есть; таким образом, "средний" рост в год составляет 44,2249%. Если мы начнем со 100 апельсинов и позволим их количеству расти на 44,2249% каждый год, результат составит 300 апельсинов.

Финансовые

Геометрическая средняя время от времени использовалась для расчета финансовых индексов (среднее вычисляется по компонентам индекса). Например, в прошлом индекс FT 30 использовал геометрическую среднюю. Она также используется при расчете ИПЦ и в недавно введенном показателе инфляции "RPIJ" в Соединенном Королевстве и Европейском Союзе. Это приводит к недооценке изменений индекса по сравнению с использованием арифметического среднего. Не все значения, используемые для вычисления ИРЧП (индекса развития человеческого потенциала), нормализованы; некоторые из них имеют вид Это делает выбор геометрической средней менее очевидным, чем можно было бы предположить, исходя из раздела "Свойства" выше. Эквивалентный доход, обеспечивающий одинаковый уровень благосостояния при распределении, связанный с индексом Аткинсона с параметром неприятия неравенства, равным 1,0, является просто геометрической средней доходов. Для значений, отличных от единицы, эквивалентным значением является Lp-норма, деленная на количество элементов, где p равно единице минус параметр неприятия неравенства.

Соотношение сторон

[[Файл:Dr. Kerns Powers, SMPTE вывод из 16 9 соотношения сторон.svg|thumb|right|Сравнение равновеликих площадей соотношений сторон, использованных Кернсом Пауэрсом для вывода стандарта SMPTE 16:9. Значение, найденное Пауэрсом, является точным геометрическим средним крайних соотношений сторон 4:3 (1.33:1) и CinemaScope (2.35:1), что совпадает со значением, близким к… Промежуточные соотношения не влияют на результат, важны только два крайних. Применение той же техники геометрического среднего к 16:9 и 4:3 приблизительно дает соотношение сторон 14:9 (), которое также используется как компромисс между этими соотношениями. В этом случае 14:9 является точным арифметическим средним и , поскольку 14 является средним значением 16 и 12, в то время как точное геометрическое среднее равно , но эти два разных средних – арифметическое и геометрическое – приблизительно равны, потому что оба числа достаточно близки друг к другу (разница менее 2%).

Форматы бумаги

Геометрическая средняя также используется для расчета форматов бумаги серий B и C. Формат имеет площадь, которая является геометрической средней площадей форматов и . Например, площадь бумаги B1 равна , поскольку она является геометрической средней площадей бумаги A0 и A1. Тот же принцип применяется к серии C, площадь которой является геометрической средней площадей серий A и B. Например, формат C4 имеет площадь, которая является геометрической средней площадей A4 и B4. Одним из преимуществ этой взаимосвязи является то, что лист бумаги A4 помещается в конверт C4, а оба листа помещаются в конверт B4.

Другие применения

Спектральная плоскость: в обработке сигналов спектральная плоскость, мера того, насколько плоским или пикообразным является спектр, определяется как отношение геометрического среднего спектра мощности к его арифметическому среднему. Антиотражающие покрытия: в оптических покрытиях, где необходимо минимизировать отражение между двумя средами с показателями преломления n0 и n2, оптимальный показатель преломления n1 антиотражающего покрытия определяется как геометрическое среднее. Субтрактивное смешивание цветов: спектральная кривая отражения для смесей красок (с одинаковой красящей способностью, непрозрачностью и разбавлением) приблизительно равна геометрическому среднему индивидуальных кривых отражения красок, вычисленному для каждой длины волны их спектров. Обработка изображений: геометрический средний фильтр используется как фильтр шума в обработке изображений. Компенсация труда: геометрическое среднее между прожиточным минимумом и рыночной стоимостью труда с использованием капитала работодателя было предложено Иоганном фон Тюненом в 1875 году как естественная заработная плата.