Кіріспе
Кванттық теориядағы энтропияның түрі Физикада Джон фон Нейманның есімімен аталған фон Нейман энтропиясы, Гиббс энтропиясының классикалық статистикалық механикадан кванттық статистикалық механикаға кеңейтілген түрі болып табылады. Тығыздық матрицасы ρ арқылы сипатталған кванттық механикалық жүйе үшін фон Нейман энтропиясы:
In physics, the von Neumann entropy, named after John von Neumann, is an extension of the concept of Gibbs entropy from classical statistical mechanics to quantum statistical mechanics. For a quantum mechanical system described by a density matrix ρ, the von Neumann entropy is
where denotes the trace and ln denotes the (natural) matrix logarithm. If the density matrix ρ is written in a basis of its eigenvectors as
then the von Neumann entropy is merely
мұндағы - із, ал ln – (табиғи) матрица логарифмін білдіреді. Егер тығыздық матрицасы ρ өзіндік векторларының негізінде жазылса, онда фон Нейман энтропиясы тек:
In physics, the von Neumann entropy, named after John von Neumann, is an extension of the concept of Gibbs entropy from classical statistical mechanics to quantum statistical mechanics. For a quantum mechanical system described by a density matrix ρ, the von Neumann entropy is
where denotes the trace and ln denotes the (natural) matrix logarithm. If the density matrix ρ is written in a basis of its eigenvectors as
then the von Neumann entropy is merely
Анықтама
Пығыздық матрицасын ескере отырып ρ, фон Нейман энтропияны анықтады. Шеннонның теориясында композициялық жүйенің энтропиясы оның кез келген бөлігінің энтропиясынан төмен болмайды, бірақ кванттық теорияда бұл жағдай осылай емес, яғни , болуы мүмкін, ал . Интуитивті түрде, мұны былай түсінуге болады: Кванттық механикада біріккен жүйенің энтропиясы оның компоненттерінің энтропиясы қосындысынан кем болуы мүмкін, себебі компоненттер өзара байланысқан болуы мүмкін. Мысалы, екі спиннің 1⁄2 Белл күйі, нөлдік энтропиясы бар таза күй, бірақ әрбір спиннің жеке қарастырылғандағы азайтылған тығыздық матрицасындағы энтропиясы максималды болады. Бір спиннің энтропиясы екінші спиннің энтропиясымен корреляция арқылы "көтерілуі" мүмкін. Сол жақ теңсіздікті энтропияны тең мөлшердегі энтропия ғана жоя алатыны ретінде түсіндіруге болады. Егер A және B жүйелерінің энтропиясы әртүрлі болса, кішірек жүйе үлкенінен тек бір бөлігін ғана жоя алады, ал қалған энтропия белгілі бір деңгейде сақталады. Сол сияқты, оң жақ теңсіздікті композициялық жүйенің энтропиясы оның компоненттері корреляцияланбаған кезде максималды болатыны ретінде түсіндіруге болады, онда жалпы энтропия субэнтропиялардың қосындысына тең болады. Бұл фазалық кеңістікте, Гильберт кеңістігі орнына, көрініс тапқанда түсініктірек болуы мүмкін, онда фон Нейман энтропиясы Вигнер функциясының ★ логарифмінің күтілетін мәніне тең, −∫ f ★ log★ f dx dp, ауытқуға дейін. Бұл нормалау ауытқуына дейін энтропия классикалық лимитінен жоғарылайды.
Intuitively, this can be understood as follows: In quantum mechanics, the entropy of the joint system can be less than the sum of the entropy of its components because the components may be entangled. For instance, as seen explicitly, the Bell state of two spin ½s,
is a pure state with zero entropy, but each spin has maximum entropy when considered individually in its reduced density matrix. The entropy in one spin can be "cancelled" by being correlated with the entropy of the other. The left hand inequality can be roughly interpreted as saying that entropy can only be cancelled by an equal amount of entropy. If system A and system B have different amounts of entropy, the smaller can only partially cancel the greater, and some entropy must be left over. Likewise, the right hand inequality can be interpreted as saying that the entropy of a composite system is maximized when its components are uncorrelated, in which case the total entropy is just a sum of the sub entropies. This may be more intuitive in the phase space formulation, instead of Hilbert space one, where the Von Neumann entropy amounts to minus the expected value of the ★ logarithm of the Wigner function, −∫ f ★ log★ f dx dp, up to an offset shift. Up to this normalization offset shift, the entropy is majorized by that of its classical limit.
Қатты қосалқы қосылу
Фон Нейман энтропиясы да күшті қосалқы болып табылады. Үш Гильберт кеңістігін қарастыра отырып, A, B, C,
Бұл теорема одан қиын және алғаш рет 1959 жылы Дж. Кифер дәлелдеді, ал 1973 жылы Эллиотт Х. Либ пен Мэри Бет Рускай 1973 жылы Эллиотт Х. Либ дәлелдеген матрицалық теңсіздікті пайдаланып тәуелсіз түрде дәлелдеді. Жоғарыдағы үшбұрыш теңсіздігінің сол жағын белгілейтін дәлелдеу әдісін қолдану арқылы күшті қосалқы теңсіздік келесі теңсіздікке эквивалентті екенін көрсетуге болады. ρAB және т.б. – ρABC тығыздық матрицасының қысқартылған тығыздық матрицалары. Егер біз осы теңсіздіктің сол жағына қарапайым қосалқылықты қолдансақ және A, B, C-нің барлық мүмкіндіктерін қарастырсақ, ρABC үшін үшбұрыш теңсіздігін аламыз: S(ρAB), S(ρBC), S(ρAC) сандарының әрқайсысы қалған екеуінің қосындысынан кем немесе тең болады.