Введение
Тип энтропии в квантовой теории
В физике энтропия фон Неймана, названная в честь Джона фон Неймана, является обобщением понятия энтропии Гиббса из классической статистической механики на квантовую статистическую механику. Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ, энтропия фон Неймана определяется как
где обозначает след, а ln – (натуральный) матричный логарифм. Если матрица плотности ρ записана в базисе собственных векторов как
то энтропия фон Неймана равна
Определение
Учитывая матрицу плотности ρ, фон Нейман определил энтропию. В то время как в теории Шеннона энтропия составной системы никогда не может быть меньше энтропии любой из её частей, в квантовой теории это не так, то есть возможно, что , в то время как
Intuitively, this can be understood as follows: In quantum mechanics, the entropy of the joint system can be less than the sum of the entropy of its components because the components may be entangled. For instance, as seen explicitly, the Bell state of two spin ½s,
is a pure state with zero entropy, but each spin has maximum entropy when considered individually in its reduced density matrix. The entropy in one spin can be "cancelled" by being correlated with the entropy of the other. The left hand inequality can be roughly interpreted as saying that entropy can only be cancelled by an equal amount of entropy. If system A and system B have different amounts of entropy, the smaller can only partially cancel the greater, and some entropy must be left over. Likewise, the right hand inequality can be interpreted as saying that the entropy of a composite system is maximized when its components are uncorrelated, in which case the total entropy is just a sum of the sub entropies. This may be more intuitive in the phase space formulation, instead of Hilbert space one, where the Von Neumann entropy amounts to minus the expected value of the ★ logarithm of the Wigner function, −∫ f ★ log★ f dx dp, up to an offset shift. Up to this normalization offset shift, the entropy is majorized by that of its classical limit.
Интуитивно это можно понять следующим образом: в квантовой механике энтропия объединенной системы может быть меньше суммы энтропий её компонентов, поскольку компоненты могут быть запутаны. Например, как явно видно, состояние Белла двух спинов ½,
Intuitively, this can be understood as follows: In quantum mechanics, the entropy of the joint system can be less than the sum of the entropy of its components because the components may be entangled. For instance, as seen explicitly, the Bell state of two spin ½s,
is a pure state with zero entropy, but each spin has maximum entropy when considered individually in its reduced density matrix. The entropy in one spin can be "cancelled" by being correlated with the entropy of the other. The left hand inequality can be roughly interpreted as saying that entropy can only be cancelled by an equal amount of entropy. If system A and system B have different amounts of entropy, the smaller can only partially cancel the greater, and some entropy must be left over. Likewise, the right hand inequality can be interpreted as saying that the entropy of a composite system is maximized when its components are uncorrelated, in which case the total entropy is just a sum of the sub entropies. This may be more intuitive in the phase space formulation, instead of Hilbert space one, where the Von Neumann entropy amounts to minus the expected value of the ★ logarithm of the Wigner function, −∫ f ★ log★ f dx dp, up to an offset shift. Up to this normalization offset shift, the entropy is majorized by that of its classical limit.
является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его отдельно в своей приведённой матрице плотности. Энтропия одного спина может быть "скомпенсирована" корреляцией с энтропией другого. Неравенство слева можно грубо интерпретировать как утверждение, что энтропия может быть скомпенсирована только равным количеством энтропии. Если система А и система В имеют разное количество энтропии, меньшее может лишь частично скомпенсировать большее, и некоторая энтропия останется. Аналогично, неравенство справа можно интерпретировать как утверждение, что энтропия составной системы максимизируется, когда её компоненты некоррелированы, в этом случае общая энтропия является просто суммой частных энтропий. Это может быть более интуитивно понятно в фазовом пространстве, а не в пространстве Гильберта, где энтропия фон Неймана равна минус математическое ожидание логарифма функции Вигнера, −∫ f ★ log★ f dx dp, с точностью до сдвига. С точностью до этого нормализационного сдвига, энтропия мажоризуется энтропией её классического предела.
Intuitively, this can be understood as follows: In quantum mechanics, the entropy of the joint system can be less than the sum of the entropy of its components because the components may be entangled. For instance, as seen explicitly, the Bell state of two spin ½s,
is a pure state with zero entropy, but each spin has maximum entropy when considered individually in its reduced density matrix. The entropy in one spin can be "cancelled" by being correlated with the entropy of the other. The left hand inequality can be roughly interpreted as saying that entropy can only be cancelled by an equal amount of entropy. If system A and system B have different amounts of entropy, the smaller can only partially cancel the greater, and some entropy must be left over. Likewise, the right hand inequality can be interpreted as saying that the entropy of a composite system is maximized when its components are uncorrelated, in which case the total entropy is just a sum of the sub entropies. This may be more intuitive in the phase space formulation, instead of Hilbert space one, where the Von Neumann entropy amounts to minus the expected value of the ★ logarithm of the Wigner function, −∫ f ★ log★ f dx dp, up to an offset shift. Up to this normalization offset shift, the entropy is majorized by that of its classical limit.
Сильная субадитивность
Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна. Для трех пространств Гильберта A, B, C, это более сложная теорема, впервые доказанная Дж. Кифером в 1959 году и независимо Эллиотом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 году, с использованием матричного неравенства, доказанного Эллиотом Х. Либом в 1973 году. Используя технику доказательства, устанавливающую левую часть неравенства треугольника, приведенного выше, можно показать, что неравенство сильной субаддитивности эквивалентно следующему неравенству, где ρAB и т.д. – матрицы пониженной плотности матрицы плотности ρABC. Если применить обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотреть все перестановки A, B, C, то получим неравенство треугольника для ρABC: каждое из трех чисел S(ρAB), S(ρBC), S(ρAC) меньше или равно сумме двух других.
This is a more difficult theorem and was proved first by J. Kiefer in 1959 and independently by Elliott H. Lieb and Mary Beth Ruskai in 1973, using a matrix inequality of Elliott H. Lieb proved in 1973. By using the proof technique that establishes the left side of the triangle inequality above, one can show that the strong subadditivity inequality is equivalent to the following inequality. when ρAB, etc. are the reduced density matrices of a density matrix ρABC. If we apply ordinary subadditivity to the left side of this inequality, and consider all permutations of A, B, C, we obtain the triangle inequality for ρABC: Each of the three numbers S(ρAB), S(ρBC), S(ρAC) is less than or equal to the sum of the other two.