Жай сызықтық регрессия: тәуелсіз айнымалысы бар статистикалық модель. Ең жақсы болжамдарды табу үшін OLS әдісі қолданылады. Корреляция & стандартты ауытқу.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір түсіндірме айнымалысы бар сызықтық регрессия моделі
Linear regression model with a single explanatory variable
Статистикада қарапайым сызықтық регрессия (SLR) – бір түсіндірме айнымалысы бар сызықтық регрессия моделі. Яғни, бұл бір тәуелсіз және бір тәуелді айнымалысы (әдетте, декарт координаталар жүйесіндегі x және y координаттары) бар екі өлшемді үлгілік нүктелерге қатысты, және тәуелсіз айнымалыға байланысты тәуелді айнымалының мәндерін мүмкіндігінше дәл болжауға арналған сызықтық функцияны (тік емес түзуді) табуды қамтиды. "Қарапайым" деген сөз нәтижелік айнымалының бір ғана болжаушымен байланысты екенін көрсетеді. Әдетте, ең кіші квадраттар (OLS) әдісін қолдану шарты қойылады: әрбір болжамның дәлдігі оның квадраттық қалдықтарымен (деректер жиынтығының нүктесі мен сызықтың арасындағы тік қашықтық) өлшенеді, ал мақсат – осы квадраттық ауытқулардың қосындысын ең төменгі деңгейге дейін азайту. Бұл жағдайда, сызықтың еңістігі y мен x арасындағы корреляцияны осы айнымалылардың стандарттық қатесінің қатынасымен түзетілгенге тең болады. Сызықтың қиылысу нүктесі деректер нүктелерінің массалық орталығы арқылы өтетіндей болады.
In statistics, simple linear regression (SLR) is a linear regression model with a single explanatory variable. That is, it concerns two dimensional sample points with one independent variable and one dependent variable (conventionally, the x and y coordinates in a Cartesian coordinate system) and finds a linear function (a non vertical straight line) that, as accurately as possible, predicts the dependent variable values as a function of the independent variable. The adjective simple refers to the fact that the outcome variable is related to a single predictor. It is common to make the additional stipulation that the ordinary least squares (OLS) method should be used: the accuracy of each predicted value is measured by its squared residual (vertical distance between the point of the data set and the fitted line), and the goal is to make the sum of these squared deviations as small as possible. In this case, the slope of the fitted line is equal to the correlation between y and x corrected by the ratio of standard deviations of these variables. The intercept of the fitted line is such that the line passes through the center of mass of the data points.
Кеңейтілген формулалар
Жоғарыда келтірілген теңдеулерді x және y айнымалыларының орташа мәні белгілі болған жағдайда қолдану тиімді. Егер орташа мәндер есептеу кезінде белгісіз болса, теңдеулердің толықтырылған нұсқасын қолдану тиімдірек болуы мүмкін. Бұл толықтырылған теңдеулер регрессиялық полиномиалды 1-дәрежелі деп анықтау арқылы жалпы полиномиалды регрессия теңдеулерінен шығаруға болады. Жоғарыда көрсетілген сызықтық теңдеулер жүйесін тікелей шешуге болады, немесе жоғарыда көрсетілген матрицалық теңдеулерді ашу арқылы жеке теңдеулерді алуға болады. Алынған теңдеулер алгебралық тұрғыдан алдыңғы абзацта көрсетілгендермен сәйкес келеді және дәлелсіз төменде көрсетілген.
The above equations are efficient to use if the mean of the x and y variables are known. If the means are not known at the time of calculation, it may be more efficient to use the expanded version of the equations. These expanded equations may be derived from the more general polynomial regression equations by defining the regression polynomial to be of order 1, as follows. The above system of linear equations may be solved directly, or stand alone equations for may be derived by expanding the matrix equations above. The resultant equations are algebraically equivalent to the ones shown in the prior paragraph, and are shown below without proof.
Сәйкестік туралы түсінік
Жоғарыда келтірілген формулада әрқайсысы тұрақты ("алдын ала белгілі") мән екенін, ал – сызықтық функция мен кездейсоқ мүшеге тәуелді кездейсоқ айнымалылар екенін назарға алыңыз. Осы болжам еңістің стандартты қатесін есептеу және оның бұрмаланбағанын көрсету үшін қолданылады. Егер – нақтыда кездейсоқ айнымалы болмаса, онда эмпирикалық корреляция қандай параметрді бағалайды? Мәселе мынада: әр i мәні үшін: және –тің мүмкін түсіндіруі – біздің үлгідегі x мәндерінің эмпирикалық таралуынан алынған кездейсоқ айнымалыны анықтау болып табылады. Мысалы, егер x-тің 10 мәні табиғи сандардан құралса: [1, 2, 3, 10], онда x-ті дискретті біртекті таралым деп елестете аламыз. Осы түсініктеме бойынша барлық –тың күтілетін мәні бірдей және белгілі бір оң дисперсияға ие. Осы түсініктемемен біз –ті кездейсоқ айнымалы y мен кездейсоқ айнымалы x арасындағы Пирсон корреляциясының бағалаушысы деп қарастыра аламыз (біз оны дәл осылай анықтадық).
In the above formulation, notice that each is a constant ("known upfront") value, while the are random variables that depend on the linear function of and the random term This assumption is used when deriving the standard error of the slope and showing that it is unbiased. In this framing, when is not actually a random variable, what type of parameter does the empirical correlation estimate? The issue is that for each value i we'll have: and A possible interpretation of is to imagine that defines a random variable drawn from the empirical distribution of the x values in our sample. For example, if x had 10 values from the natural numbers: [1,2,3 ,10], then we can imagine x to be a Discrete uniform distribution. Under this interpretation all have the same expectation and some positive variance. With this interpretation we can think of as the estimator of the Pearson's correlation between the random variable y and the random variable x (as we just defined it).
Статистикалық қасиеттері
Статистикалық модельді қолдану қарапайым сызықтық регрессиялық бағалаулардан алынған бағалаушылардың статистикалық қасиеттерін сипаттау үшін қажет. Бұл бағалаулардың ең жақсы болуына негіз болатын модельдің дұрыстығын қабылдауға негізделген. Бағалаушылардың қасиеттерін біртектілік сияқты басқа да шарттар бойынша бағалау мүмкін, бірақ бұл мәселе басқаша қарастырылады.
Description of the statistical properties of estimators from the simple linear regression estimates requires the use of a statistical model. The following is based on assuming the validity of a model under which the estimates are optimal. It is also possible to evaluate the properties under other assumptions, such as inhomogeneity, but this is discussed elsewhere.
Бейтараптық
Бағалаушылар және бейтарап. Бұл тұжырымды формалдау үшін осы бағалаушылардың кездейсоқ шамалар болатын аясын анықтауымыз қажет. Қалдықтарды εi кездейсоқ шамалар ретінде қарастырамыз, олар нөлдік орташа мәні бар белгілі бір таралымнан тәуелсіз түрде алынады. Яғни, x-тің әрбір мәні үшін y-тің сәйкес мәні орташа жауап α + βx және қателік мүшесі деп аталатын қосымша кездейсоқ шама ε арқылы туындайды, оның орташа мәні нөлге тең. Осы түсіндіру бойынша ең кіші квадраттар бағалаушылары және олардың өзі кездейсоқ шамалар болады, олардың орташа мәндері α және β "шынайы мәндеріне" тең болады. Осылайша, бейтарап бағалаушының анықтамасы беріледі.
The estimators and are unbiased. To formalize this assertion we must define a framework in which these estimators are random variables. We consider the residuals εi as random variables drawn independently from some distribution with mean zero. In other words, for each value of x, the corresponding value of y is generated as a mean response α + βx plus an additional random variable ε called the error term, equal to zero on average. Under such interpretation, the least squares estimators and will themselves be random variables whose means will equal the "true values" α and β. This is the definition of an unbiased estimator.
Асимптотикалық болжам
Екінші баламалы болжам бойынша, деректер жиынтығындағы нүктелер саны "жеткілікті көп" болғанда, үлкен сандар заңы мен орталық шек теоремасы қолданысқа түседі, содан кейін бағалаушылардың таралуы шамамен қалыпты болады. Осы болжам бойынша алдыңғы бөлімде алынған барлық формулалар күшінде қалады, тек бір ғана ерекшелік бар: Студенттің t-үлестірілімінің t*n−2 квантилі стандартты қалыпты үлестірілімінің q* квантилімен алмастырылады. Кейде бөлшектің орнына n үлкен болған жағдайда, мұндай өзгеріс нәтижелерге елеулі әсер етпейді.
The alternative second assumption states that when the number of points in the dataset is "large enough", the law of large numbers and the central limit theorem become applicable, and then the distribution of the estimators is approximately normal. Under this assumption all formulas derived in the previous section remain valid, with the only exception that the quantile t*n−2 of Student's t distribution is replaced with the quantile q* of the standard normal distribution. Occasionally the fraction is replaced with When n is large such a change does not alter the results appreciably.
Баламалар
SLR-де тек тәуелді айнымалыда ғана өлшеу қатесі бар деген негізгі болжам бар; егер түсіндірмелі айнымалы да қатемен өлшенсе, онда негізгі қатынасты бағалау үшін қарапайым регрессия қолдануға болмайды, себебі ол регрессияның әлсіреуінен туындаған бұрмалауға ұшырайды. Кәдімгі ең кіші квадраттардың орнына қолданылатын басқа бағалау әдістеріне ең кіші абсолютті ауытқулар (қалдықтардың абсолютті мәндерінің қосындысын азайту) және Theil-Sen бағалаушысы (үлгілік нүктелер жұптары арқылы анықталған еңістердің медианасы болатын түзуді таңдайды) жатады. Деминг регрессиясы (жалпы ең кіші квадраттар) екі өлшемді үлгілік нүктелер жиынтығына сәйкес түзуді де табады, бірақ (кәдімгі ең кіші квадраттардан, ең кіші абсолютті ауытқулардан және медианалық еңіс регрессиясынан айырмашылығы) бұл шын мәнінде қарапайым сызықтық регрессияның мысалы емес, өйткені ол координаттарды бір тәуелді және бір тәуелсіз айнымалыға бөле алмайды және нәтижесінде тік түзуді де сәйкестік ретінде бере алады. Бұл деректерге қарағанда сыртқы мәндерге (аутлиерлерге) көбірек сәйкес келуге бағытталған модельге әкелуі мүмкін.
In SLR, there is an underlying assumption that only the dependent variable contains measurement error; if the explanatory variable is also measured with error, then simple regression is not appropriate for estimating the underlying relationship because it will be biased due to regression dilution. Other estimation methods that can be used in place of ordinary least squares include least absolute deviations (minimizing the sum of absolute values of residuals) and the Theil–Sen estimator (which chooses a line whose slope is the median of the slopes determined by pairs of sample points). Deming regression (total least squares) also finds a line that fits a set of two dimensional sample points, but (unlike ordinary least squares, least absolute deviations, and median slope regression) it is not really an instance of simple linear regression, because it does not separate the coordinates into one dependent and one independent variable and could potentially return a vertical line as its fit. can lead to a model that attempts to fit the outliers more than the data.