Массей көбейтіндісі: алгебралық топологиядағы жоғары ретті операция
Massey product
Массей көбейтіндісі: алгебралық топологиядағы жоғары ретті когомология операциясы. Боромея сақиналарының байланысын көрсетеді, Александр дуалдығы қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Алгебралық топологияда Масси көбейтіндісі – кубок көбейтіндісін жалпылайтын жоғары ретті кохомологиялық операция. Масси көбейтіндісін американдық алгебралық тополог Уильям С. Масси жасаған.
In algebraic topology, the Massey product is a cohomology operation of higher order introduced in , which generalizes the cup product. The Massey product was created by William S. Massey, an American algebraic topologist.
Қолданбалар
Борромеялық сақиналардың толықтыруы үштік Масси көбейтіндісі анықталған және нөлдік емес мысал келтіреді. Назарда болсын, толықтырудың когомологиясын Александр дуалдығын қолдану арқылы есептеуге болады. Егер u, v және w – 3 сақинаға 1-коцейннің дуалы болса, онда кез келген екі элементтің көбейтіндісі сәйкес келетін байланыс санының еселігі болып табылады, демек нөлге тең, ал барлық үш элементтің Масси көбейтіндісі нөлдік емес, бұл Борромея сақиналарының байланысқандығын көрсетеді. Алгебра геометрияны көрсетеді: сақиналар жұптық байланыссыз, бұл жұптық (2-еселенген) көбейтінділердің жоғалуына сәйкес келеді, бірақ жалпы алғанда байланысқан, бұл 3-еселенген көбейтіндінің жоғалмауына сәйкес келеді. Жалпы алғанда, n-компонентті Брунн байланыстары – кез келген компоненттік кіші байланыс байланыссыз, бірақ жалпы n-компоненттік байланыс тривиалды емес байланысқа ие – n-еселенген Масси көбейтінділеріне сәйкес келеді, компоненттік кіші байланыстың байланыссыздығы n-еселенген Масси көбейтінділерінің жоғалуына сәйкес келеді, ал жалпы n-компоненттік байланыс n-еселенген Масси көбейтіндісінің жоғалмауына сәйкес келеді. Масси үштік көбейтіндісін қолданып, Уайтхед көбейтіндісінің Якоби сәйкестігіне қанағаттандыратындығы дәлелденді. Жоғары ретті Масси көбейтінділері Атия-Хирзебрух спектрлік тізбегін (AHSS) қолдану арқылы бұрылған K-теорияны есептеу кезінде пайда болады. Атап айтқанда, егер H – бұрылыс 3 класы болса, онда рационалды түрде AHSS-тегі H класына әсер ететін жоғары ретті дифференциалдар H-ның p данасының және x класының бір данасының Масси көбейтіндісімен беріледі. Егер көптік формальды болса (Деннис Салливанның мағынасында), онда кеңістіктегі барлық Масси көбейтінділері жоғалуы керек; осылайша, берілген көптік формальды емес екенін көрсетудің бір стратегиясы – тривиалды емес Масси көбейтіндісін көрсету. Мұнда формальды көптік – оның де Рам кешенінің шекті өлшемді «минимальды моделінен» («формальды түрде») рационалды гомотопия типін алуға болатын көптік. Қалердің тығыз көптік түрлері формальды екені көрсетілді. Масси көбейтіндісін қолданып, линза кеңістігіндегі екі нүктенің конфигурациясы кеңістігінің гомотопия типі линза кеңістігінің қарапайым гомотопия типіне тәуелді екені көрсетілді.
The complement of the Borromean rings gives an example where the triple Massey product is defined and non zero. Note the cohomology of the complement can be computed using Alexander duality. If u, v, and w are 1 cochains dual to the 3 rings, then the product of any two is a multiple of the corresponding linking number and is therefore zero, while the Massey product of all three elements is non zero, showing that the Borromean rings are linked. The algebra reflects the geometry: the rings are pairwise unlinked, corresponding to the pairwise (2 fold) products vanishing, but are overall linked, corresponding to the 3 fold product not vanishing. More generally, n component Brunnian links – links such that any component sublink is unlinked, but the overall n component link is non trivially linked – correspond to n fold Massey products, with the unlinking of the component sublink corresponding to the vanishing of the fold Massey products, and the overall n component linking corresponding to the non vanishing of the n fold Massey product. used the Massey triple product to prove that the Whitehead product satisfies the Jacobi identity. Massey products of higher order appear when computing twisted K theory by means of the Atiyah–Hirzebruch spectral sequence (AHSS). In particular, if H is the twist 3 class, showed that, rationally, the higher order differentials in the AHSS acting on a class x are given by the Massey product of p copies of H with a single copy of x. If a manifold is formal (in the sense of Dennis Sullivan), then all Massey products on the space must vanish; thus, one strategy for showing that a given manifold is not formal is to exhibit a non trivial Massey product. Here a formal manifold is one whose rational homotopy type can be deduced ("formally") from a finite dimensional "minimal model" of its de Rham complex. showed that compact Kähler manifolds are formal. use a Massey product to show that the homotopy type of the configuration space of two points in a lens space depends non trivially on the simple homotopy type of the lens space.