Масcи продукт в алгебраической топологии: обобщение cup-произведения, введенное У. Масcи. Пример – кольца Борромея, демонстрирующие нетривиальную связность.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В алгебраической топологии произведение Масси — это кохомологическая операция высшего порядка, введенная в , которая обобщает чашечное произведение. Произведение Масси было разработано Уильямом С. Масси, американским алгебраическим топологом.
In algebraic topology, the Massey product is a cohomology operation of higher order introduced in , which generalizes the cup product. The Massey product was created by William S. Massey, an American algebraic topologist.
Приложения
Дополнение Борромеевых колец дает пример, где тройной продукт Масси определен и отличен от нуля. Отметьте, что кохомологию дополнения можно вычислить, используя двойственность Александра. Если u, v и w – это 1-коцепи, двойственные трем кольцам, то произведение любых двух является кратным соответствующему числу сцепления и, следовательно, равно нулю, в то время как произведение Масси всех трех элементов не равно нулю, показывая, что кольца Борромея сцеплены. Алгебра отражает геометрию: кольца попарно не сцеплены, что соответствует исчезновению попарных (двойных) произведений, но в целом сцеплены, что соответствует ненулевому значению тройного произведения. В более общем случае, n-компонентные Бруннианские звенья – звенья, такие что любое подзвено, состоящее из компонентов, не сцеплено, но общее n-компонентное звено сцеплено нетривиально – соответствуют n-кратным произведениям Масси, при этом несцепленность подзвена, состоящего из компонентов, соответствует исчезновению n-кратных произведений Масси, а общая n-компонентная сцепленность соответствует ненулевому значению n-кратного произведения Масси. Использовал тройной продукт Масси для доказательства того, что продукт Уайтхеда удовлетворяет тождеству Якоби. Продукты Масси более высокого порядка возникают при вычислении теории искаженной K-теории посредством спектральной последовательности Атия-Хирцебруха (AHSS). В частности, если H – класс кручения 3, то показано, что рационально дифференциалы высшего порядка в AHSS, действующие на класс x, задаются произведением Масси p копий H с одной копией x. Если многообразие формально (в смысле Денниса Салливана), то все произведения Масси на пространстве должны исчезать; таким образом, одна из стратегий для доказательства того, что данное многообразие не является формальным, заключается в демонстрации нетривиального произведения Масси. Здесь формальное многообразие – это многообразие, чей рациональный гомотопический тип может быть выведен ("формально") из конечномерной "минимальной модели" его комплекса де-Рама. Показал, что компактные келеровы многообразия формальны. Используйте произведение Масси, чтобы показать, что тип гомотопии пространства конфигураций двух точек в пространстве линз нетривиально зависит от простого гомотопического типа пространства линз.
The complement of the Borromean rings gives an example where the triple Massey product is defined and non zero. Note the cohomology of the complement can be computed using Alexander duality. If u, v, and w are 1 cochains dual to the 3 rings, then the product of any two is a multiple of the corresponding linking number and is therefore zero, while the Massey product of all three elements is non zero, showing that the Borromean rings are linked. The algebra reflects the geometry: the rings are pairwise unlinked, corresponding to the pairwise (2 fold) products vanishing, but are overall linked, corresponding to the 3 fold product not vanishing. More generally, n component Brunnian links – links such that any component sublink is unlinked, but the overall n component link is non trivially linked – correspond to n fold Massey products, with the unlinking of the component sublink corresponding to the vanishing of the fold Massey products, and the overall n component linking corresponding to the non vanishing of the n fold Massey product. used the Massey triple product to prove that the Whitehead product satisfies the Jacobi identity. Massey products of higher order appear when computing twisted K theory by means of the Atiyah–Hirzebruch spectral sequence (AHSS). In particular, if H is the twist 3 class, showed that, rationally, the higher order differentials in the AHSS acting on a class x are given by the Massey product of p copies of H with a single copy of x. If a manifold is formal (in the sense of Dennis Sullivan), then all Massey products on the space must vanish; thus, one strategy for showing that a given manifold is not formal is to exhibit a non trivial Massey product. Here a formal manifold is one whose rational homotopy type can be deduced ("formally") from a finite dimensional "minimal model" of its de Rham complex. showed that compact Kähler manifolds are formal. use a Massey product to show that the homotopy type of the configuration space of two points in a lens space depends non trivially on the simple homotopy type of the lens space.