Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жинақ теориясындағы парадокс
Paradox in set theory
Жинақ теориясында Кантор парадоксі барлық кардиналдар жиынының болмайтынын айтады. Бұл ең үлкен кардинал санының жоқтығынан туындайды. Тілдік тұрғыда айтқанда, парадокс мынада: барлық мүмкін "шексіз өлшемдердің" жиынтығы ғана емес, сонымен қатар оның өзінің шексіз өлшемі жиынтықтағы ешбір шексіз өлшемге тең болмайтындай, шексіз үлкен. Аксиомалық жинақ теориясында бұл қиындық осы жиынтықты жинақ емес, ерекше класс деп жариялау арқылы шешіледі; фон Нейман-Бернайс-Гёдель жинақ теориясында бұл және өлшемді шектеу аксиомасы осы ерекше класс барлық жинақтар класымен биекцияда болуы керек екенін көрсетеді. Осылайша, тек шексіз көптеген шексіздіктер ғана емес, сонымен қатар бұл шексіздік, оның санаған барлық шексіздіктерінен үлкен. Бұл парадокс Георг Кантордың есімімен аталады, ол оны алғаш 1899 жылы (немесе 1895-1897 жылдар аралығында) анықтаған деп есептеледі. Көптеген "парадокстар" сияқты, бұл шын мәнінде қайшылық емес, тек қате түсініктерді көрсетеді, бұл жағдайда шексіздіктің мәні және жинақ туралы ұғым. Басқаша айтқанда, ол наивтік жинақ теориясының шегінде парадоксалды болып табылады және осы теорияның ойсыз аксиоматизациясы дұрыс емес екенін көрсетеді.
In set theory, Cantor's paradox states that there is no set of all cardinalities. This is derived from the theorem that there is no greatest cardinal number. In informal terms, the paradox is that the collection of all possible "infinite sizes" is not only infinite, but so infinitely large that its own infinite size cannot be any of the infinite sizes in the collection. The difficulty is handled in axiomatic set theory by declaring that this collection is not a set but a proper class; in von Neumann–Bernays–Gödel set theory it follows from this and the axiom of limitation of size that this proper class must be in bijection with the class of all sets. Thus, not only are there infinitely many infinities, but this infinity is larger than any of the infinities it enumerates. This paradox is named for Georg Cantor, who is often credited with first identifying it in 1899 (or between 1895 and 1897). Like a number of "paradoxes" it is not actually contradictory but merely indicative of a mistaken intuition, in this case about the nature of infinity and the notion of a set. Put another way, it is paradoxical within the confines of naïve set theory and therefore demonstrates that a careless axiomatization of this theory is inconsistent.
Айғақтар мен дәлелдемелер
Парадоксты тұжырымдау үшін кардинал сандар толығымен реттелгенін түсіну қажет, сондықтан біреудің екіншіден үлкен немесе кіші болуы туралы айтуға болады. Онда Кантор парадоксы:
In order to state the paradox it is necessary to understand that the cardinal numbers are totally ordered, so that one can speak about one being greater or less than another. Then Cantor's paradox is:
Теорема: Ең үлкен кардинал саны жоқ. Бұл факт – жиынның қуат жиынының кардиналдығы туралы Кантор теоремасының тікелей салдары. Дәлел: Керісінше, және C ең үлкен кардинал саны болсын. Онда (кардиналдылықтың фон Нейман формулировкасында) C – жиын, демек, оның 2C қуат жиыны бар, ол Кантор теоремасы бойынша C-ден қатаң үлкен. C-ден үлкен кардиналдылықты (яғни 2C-нің) көрсету, бұл ең үлкен кардинал саны деп болжанғандықтан, C-нің анықтамасын жоққа шығарады. Бұл қайшылық мұндай кардиналдың болуы мүмкін емес екенін көрсетеді. Кантор теоремасының тағы бір салдары – кардинал сандар дұрыс класс құрайды. Яғни, олардың барлығын бір жиынның элементтері ретінде жинауға болмайды. Міне, сәл жалпырақ нәтиже. Теорема: Егер S кез келген жиын болса, онда S барлық кардиналдық элементтерді қамти алмайды. Шын мәнінде, S элементтерінің кардиналдықтарының жоғарғы шегі бар.
Theorem: There is no greatest cardinal number. This fact is a direct consequence of Cantor's theorem on the cardinality of the power set of a set. Proof: Assume the contrary, and let C be the largest cardinal number. Then (in the von Neumann formulation of cardinality) C is a set and therefore has a power set 2C which, by Cantor's theorem, has cardinality strictly larger than C. Demonstrating a cardinality (namely that of 2C) larger than C, which was assumed to be the greatest cardinal number, falsifies the definition of C. This contradiction establishes that such a cardinal cannot exist. Another consequence of Cantor's theorem is that the cardinal numbers constitute a proper class. That is, they cannot all be collected together as elements of a single set. Here is a somewhat more general result. Theorem: If S is any set then S cannot contain elements of all cardinalities. In fact, there is a strict upper bound on the cardinalities of the elements of S.
Дәлел: S жиыны болсын, ал T – S элементтерінің бірігі. Онда S-тің әрбір элементі T-нің ішкі жиыны болып табылады, демек, T-нің кардиналдығынан кем немесе тең болады. Кантор теоремасы S-тің әрбір элементі 2T-нің кардиналдығынан қатаң төмен екенін білдіреді.
Proof: Let S be a set, and let T be the union of the elements of S. Then every element of S is a subset of T, and hence is of cardinality less than or equal to the cardinality of T. Cantor's theorem then implies that every element of S is of cardinality strictly less than the cardinality of 2T.
Талқылау және салдарлар
Кардинал сандар реттік сандармен индекстеу арқылы жақсы реттелгендіктен (Кардинал сан, ресми анықтаманы қараңыз), бұл сонымен қатар ең үлкен реттік санның жоқ екенін көрсетеді; керісінше, осы мәлімдеме Кантор парадоксын тудырады. Бұл индекстеуді Бурали-Форти парадоксына қолдану арқылы кардинал сандар жиын емес, өздік класс екендігінің тағы бір дәлелін аламыз, және (кем дегенде ZFC немесе фон Нейман-Бернайс-Гёдель жиын теориясында) кардиналдар класы мен барлық жиындар класы арасында биекция бар екендігі анықталады. Барлық жиын осы соңғы кластың ішкі жиыны болғандықтан, және әрбір кардиналдық мән жиынның кардиналдығы болып табылады (анықтама бойынша!), бұл интуитивті түрде кардиналдар жиынының "кардиналдығы" кез келген жиынның кардиналдығынан артық дегенді білдіреді: ол кез келген нақты шексіздіктен де шексіз. Осының бәрі Кантордың "парадоксының" парадоксалды табиғаты болып табылады.
Since the cardinal numbers are well ordered by indexing with the ordinal numbers (see Cardinal number, formal definition), this also establishes that there is no greatest ordinal number; conversely, the latter statement implies Cantor's paradox. By applying this indexing to the Burali Forti paradox we obtain another proof that the cardinal numbers are a proper class rather than a set, and (at least in ZFC or in von Neumann–Bernays–Gödel set theory) it follows from this that there is a bijection between the class of cardinals and the class of all sets. Since every set is a subset of this latter class, and every cardinality is the cardinality of a set (by definition!) this intuitively means that the "cardinality" of the collection of cardinals is greater than the cardinality of any set: it is more infinite than any true infinity. This is the paradoxical nature of Cantor's "paradox".
Тарихи жазбалар
Канторға әдетте осы қасиетті кардиналдық жиынтарда алғаш рет анықтағандықтарын жатқызады, бірақ кейбір математиктер бұл атақты Бертран Расселге береді, ол 1899 немесе 1901 жылдары ұқсас теореманы тұжырымдаған.
While Cantor is usually credited with first identifying this property of cardinal sets, some mathematicians award this distinction to Bertrand Russell, who defined a similar theorem in 1899 or 1901.