Кіріспе
Графтың көптеген қабырғалары бар графигі
In mathematics, a dense graph is a graph in which the number of edges is close to the maximal number of edges (where every pair of vertices is connected by one edge). The opposite, a graph with only a few edges, is a sparse graph. The distinction of what constitutes a dense or sparse graph is ill defined, and is often represented by 'roughly equal to' statements. Due to this, the way that density is defined often depends on the context of the problem. The graph density of simple graphs is defined to be the ratio of the number of edges with respect to the maximum possible edges. For undirected simple graphs, the graph density is:
For directed, simple graphs, the maximum possible edges is twice that of undirected graphs (as there are two directions to an edge) so the density is:
where E is the number of edges and V is the number of vertices in the graph. The maximum number of edges for an undirected graph is , so the maximal density is 1 (for complete graphs) and the minimal density is 0
For families of graphs of increasing size, one often calls them sparse if as Sometimes, in computer science, a more restrictive definition of sparse is used like or even .
Математикада тығыз граф – бұл қабырғаларының саны қабырғалардың максималды санына жақын граф (әр қабырғасы екі төбе арасында жалғанады). Ал, керісінше, тек бірнеше қабырғасы бар граф – сиреп граф деп аталады. Тығыз немесе сиреп графты анықтайтын айырмашылық нақты белгіленбеген және көбінесе «шамамен тең» түрінде көрсетіледі. Сондықтан, тығыздық қалай анықталады, ол көбінесе мәселенің контексіне байланысты. Қарапайым графтардың графтық тығыздығы – бұл қабырғалар санының максималды мүмкін қабырғалар санына қатынасы. Бағытталмаған қарапайым графтар үшін графтың тығыздығы:
In mathematics, a dense graph is a graph in which the number of edges is close to the maximal number of edges (where every pair of vertices is connected by one edge). The opposite, a graph with only a few edges, is a sparse graph. The distinction of what constitutes a dense or sparse graph is ill defined, and is often represented by 'roughly equal to' statements. Due to this, the way that density is defined often depends on the context of the problem. The graph density of simple graphs is defined to be the ratio of the number of edges with respect to the maximum possible edges. For undirected simple graphs, the graph density is:
For directed, simple graphs, the maximum possible edges is twice that of undirected graphs (as there are two directions to an edge) so the density is:
where E is the number of edges and V is the number of vertices in the graph. The maximum number of edges for an undirected graph is , so the maximal density is 1 (for complete graphs) and the minimal density is 0
For families of graphs of increasing size, one often calls them sparse if as Sometimes, in computer science, a more restrictive definition of sparse is used like or even .
Бағытталған қарапайым графтар үшін максималды мүмкін қабырғалар саны бағытталмаған графтардан екі есе көп (өйткені қабырғаның екі бағыты бар), сондықтан тығыздығы:
In mathematics, a dense graph is a graph in which the number of edges is close to the maximal number of edges (where every pair of vertices is connected by one edge). The opposite, a graph with only a few edges, is a sparse graph. The distinction of what constitutes a dense or sparse graph is ill defined, and is often represented by 'roughly equal to' statements. Due to this, the way that density is defined often depends on the context of the problem. The graph density of simple graphs is defined to be the ratio of the number of edges with respect to the maximum possible edges. For undirected simple graphs, the graph density is:
For directed, simple graphs, the maximum possible edges is twice that of undirected graphs (as there are two directions to an edge) so the density is:
where E is the number of edges and V is the number of vertices in the graph. The maximum number of edges for an undirected graph is , so the maximal density is 1 (for complete graphs) and the minimal density is 0
For families of graphs of increasing size, one often calls them sparse if as Sometimes, in computer science, a more restrictive definition of sparse is used like or even .
мұнда E – қабырғалар саны, ал V – графтың төбелер саны. Бағытталмаған граф үшін қабырғалардың максималды саны , сондықтан максималды тығыздық 1 (толық графтар үшін), ал минималды тығыздық 0.
In mathematics, a dense graph is a graph in which the number of edges is close to the maximal number of edges (where every pair of vertices is connected by one edge). The opposite, a graph with only a few edges, is a sparse graph. The distinction of what constitutes a dense or sparse graph is ill defined, and is often represented by 'roughly equal to' statements. Due to this, the way that density is defined often depends on the context of the problem. The graph density of simple graphs is defined to be the ratio of the number of edges with respect to the maximum possible edges. For undirected simple graphs, the graph density is:
For directed, simple graphs, the maximum possible edges is twice that of undirected graphs (as there are two directions to an edge) so the density is:
where E is the number of edges and V is the number of vertices in the graph. The maximum number of edges for an undirected graph is , so the maximal density is 1 (for complete graphs) and the minimal density is 0
For families of graphs of increasing size, one often calls them sparse if as Sometimes, in computer science, a more restrictive definition of sparse is used like or even .
Төбелері көбейіп келе жатқан графтар отбасы үшін оларды көбінесе сиреп деп атайды. Кейде компьютерлік ғылымда сирептің тарынырақ анықтамасы қолданылады, мысалы немесе тіпті .
In mathematics, a dense graph is a graph in which the number of edges is close to the maximal number of edges (where every pair of vertices is connected by one edge). The opposite, a graph with only a few edges, is a sparse graph. The distinction of what constitutes a dense or sparse graph is ill defined, and is often represented by 'roughly equal to' statements. Due to this, the way that density is defined often depends on the context of the problem. The graph density of simple graphs is defined to be the ratio of the number of edges with respect to the maximum possible edges. For undirected simple graphs, the graph density is:
For directed, simple graphs, the maximum possible edges is twice that of undirected graphs (as there are two directions to an edge) so the density is:
where E is the number of edges and V is the number of vertices in the graph. The maximum number of edges for an undirected graph is , so the maximal density is 1 (for complete graphs) and the minimal density is 0
For families of graphs of increasing size, one often calls them sparse if as Sometimes, in computer science, a more restrictive definition of sparse is used like or even .
Жоғарғы тығыздық
Жоғарғы тығыздық – бұл жоғарыда анықталған графтың тығыздығы түсінігінің шекті графтардан шексіз графтарға дейінгі кеңейтілуі. Интуитивті түрде, шексіз графтың жоғарғы тығыздығынан кем тығыздықта кез келгеннен үлкен шекті кіші графтары болады, ал жоғарғы тығыздығынан жоғары тығыздықта кез келгеннен үлкен шекті кіші графтары болмайды. Формальды түрде, G графигінің жоғарғы тығыздығы – бұл α мәндерінің ең төменгі шегі, мұнда G графигінің α тығыздығына ие шекті кіші графтарының төбелерінің саны шектеулі. Эрдос-Стоун теоремасын қолдану арқылы жоғарғы тығыздық тек 1-ге тең немесе супербөлшектік қатынастардың біріне тең болатынын көрсетуге болады (мысалы, Дистель, 5-басылым, 189-бет).
Шағын және тығыз графиктер
және графикті (k, l) сирек деп анықтайды, егер n төбесі бар бос емес кішіграфтың ең көп дегенде kn − l қабырғасы болса, және (k, l) тығыз деп анықтайды, егер ол (k, l) сирек болса және дәл kn − l қабырғасы болса. Осылайша, ағаштар дәл (1,1) тығыз графтар, ормандар дәл (1,1) сирек графтар, ал k ағашталғандыққа ие графтар дәл (k,k) сирек графтар. Псевдоормандар дәл (1,0) сирек графтар, ал қатаңдық теориясында пайда болатын Ламан графтары дәл (2,3) тығыз графтар. Өз сиректігімен сипатталмайтын басқа графтар отбасыларын да осылай сипаттауға болады. Мысалы, n төбесі бар кез келген жазық графтың ең көп дегенде 3n – 6 қабырғасы бар (3 төбесінен аз графтарды қоспағанда), және жазық графтың кез келген кішіграфы жазық екендігі, жазық графтардың (3,6) сирек екенін білдіреді. Дегенмен, барлық (3,6) сирек граф жазық емес. Сол сияқты, сыртқы жазық графтар (2,3) сирек, ал жазық екібөлікті графтар (2,4) сирек. Стрейну мен Теран k және l бүтін сандар болғанда және 0 ≤ l < 2k (k,l) сиректігін тексеруді полиномиалдық уақытта жүзеге асыруға болатынын көрсетті. Графтар отбасы үшін k және l сандарының болуы, яғни отбасыдағы графтардың барлығы (k,l) сирек болуы, отбасыдағы графтардың шектеулі дегенерацияға немесе шектеулі ағашталғандыққа ие болуымен тең. Нақтырақ айтқанда, ең көп дегенде a ағашталғандыққа ие графтардың дәл (a, a) сирек графтар екендігі нәтижесінен көрінеді. Сол сияқты, ең көп d дегенерацияға ие графтар сирек графтар болып табылады.
Графтардың аз және көп кластары
аздық/тығыздық дихотомиясы жеке график мысалдарының орнына шексіз график кластарын қарастыруды қажет етеді деп есептеді. Олар бір жерде тығыз график кластарын – әрбір толық граф кластағы графтың субграфында t бөлінісі ретінде пайда болатын t шегі бар графтар кластары ретінде анықтады. Керісінше, егер мұндай шек болмаса, онда бұл класс еш жерде тығыз емес деп есептеледі. Еш жерде тығыз емес және бір жерде тығыз дихотомиясының қасиеттері шектелген дегенерациялы және еш жерде тығыз емес графиктер кластары екіұшты еркін графиктерге, яғни кейбір толық екі жақты графикті субграфик ретінде алып тастайтын график отбасыларына кіреді.
The classes of graphs with bounded degeneracy and of nowhere dense graphs are both included in the biclique free graphs, graph families that exclude some complete bipartite graph as a subgraph .