Кіріспе

Кванттық механикада, өзара байланыспаған кванттық күйлер – бұл өнім күйлерінің дөңгелек комбинациясы түрінде жазылатын көпбөлшекті кванттық күйлер. Өнім күйлері – әрбір кеңістіктегі күйлердің тензорлық көбейтіндісі түрінде жазылатын көпбөлшекті кванттық күйлер. Осы анықтамалардың физикалық түсінігі мынада: өнім күйлерінің әртүрлі еркіндік дәрежелері арасында ешқандай корреляция болмайды, ал бөлінетін күйлер корреляцияға ие болуы мүмкін, бірақ барлық мұндай корреляцияларды классикалық кездейсоқ айнымалымен түсіндіруге болады, ал емес, өзара байланыс арқылы. Таза күйлердің ерекше жағдайында анықтама қарапайымданады: таза күй, егер ол өнім күйі болса ғана, бөлінетін болады. Күй бөлінетін болмаса, ол өзара байланысқан деп айтылады. Жалпы, күйдің бөлінетіндігін анықтау оңай емес және бұл мәселе NP-қиын деп саналады.

Екі жақты жүйелердің ажыратылуы

Ең бастысы, екі еркіндік дәрежесіне ие құрама күйлерді қарастырайық, олар екі бөлікті күйлер деп аталады. Кванттық механиканың постулаты бойынша, оларды тензорлық көбейтінді кеңістігіндегі векторлар ретінде сипаттауға болады. Осы талқылауда біз Хилберт кеңістіктерінің шекті өлшемді болу жағдайына назар аударамыз.

Таза күйлері

Let және be тиісінше және үшін ортонормал негіздер. Бұл жерде , немесе одан да тығыз жазуда тензорлық көбейтіндінің анықтамасынан, кез келген 1 нормасы бар вектор, яғни композиттік жүйенің таза күйі, мына түрде жазылуы мүмкін:

, мұнда – тұрақты шама. Егер күйді қарапайым тензор ретінде, яғни i-інші кеңістіктегі таза күй түрінде жазуға болады, онда ол көбейтінді күйі деп аталады, және әсіресе, ажыратылатын. Әйтпесе, ол «байланысқан» (entangled) күй деп аталады. Ескеріңіз, көбейтінді және ажыратылатын күйлердің ұғымдары таза күйлер үшін сәйкес келсе де, олар аралас күйлердің жалпы жағдайында сәйкес келмейді. Таза күйлер егер олардың ішінара күйлері таза болмаса ғана байланысқан болады. Мұны көрсету үшін күйдің Шмидт ыдырауын жазайық:

, мұнда – оң нақты сандар, – Шмидт рангысы, ал және – тиісінше және кеңістіктеріндегі ортонормал күйлердің жиындары. Күй байланысқан болады, егер және тек қана егер . Сонымен қатар, ішінара күй мына түрде жазылады:

Осыдан келіп, ішінара күй таза болады – яғни, бірлік рангысы бар проекция болады – егер және тек қана егер , бұл күйдің ажыратылатындығына тең. Физикалық тұрғыдан алғанда, бұл субжүйелерге нақты (таза) күйді тағайындау мүмкін емес екенін білдіреді, оларды керісінше таза күйлердің статистикалық жиынтығы ретінде, яғни тығыздық матрицалары ретінде сипаттау керек. Сондықтан, таза күй байланысқан болады, егер және тек қана егер ішінара күйдің фон Нейман энтропиясы нөлден өзгеше болса. Формальды түрде, күйлердің көбейтіндісін көбейтінді кеңістігіне енгізу Сегре ендіруі (Segre embedding) арқылы беріледі. Яғни, кванттық механикалық таза күй ажыратылатын болады, егер және тек қана егер ол Сегре ендіруінің бейнесінде жатса. Жоғарыда айтылғандарды күй кеңістігі шексіз өлшемді болған жағдайда да қолдануға болады, онда ешқандай өзгеріс болмайды.

Бөлу критерийі

Кванттық ақпарат теориясында, күйдің ажыратылатындығын анықтау мәселесі кейде ажыратылу мәселесі деп аталады. Бұл қиын мәселе саналады. Көп жағдайда NP-қатты екені дәлелденді және жалпы алғанда солай деп есептеледі. Бұл қиындықты түсіну үшін, белгілі бір өлшем үшін, проблеманы тікелей күшпен шешуге тырысып қараңыз. Проблеманың тіпті төмен өлшемдерде де тез арада шешілмейтіні көрінеді. Сондықтан, одан да күрделі формулировкалар қажет. Ажыратылу мәселесі – қазіргі зерттеулердің нысаны. Ажырату критерийі – күйдің ажыратылатын болуы үшін орындалуы тиіс қажетті шарт. Төмен өлшемді (2x2 және 2x3) жағдайларда Перес-Хородецкий критерийі ажыратылудың қажетті және жеткілікті шарты болып табылады. Басқа ажырату критерийлері: диапазондық критерий, азайту критерийі және белгісіздік қатынастарына негізделгендер (тек олармен ғана шектелмейді). Дискретті өзгермелі жүйелердегі ажырату критерийлеріне шолу үшін Реф. қараңыз. Үздіксіз өзгермелі жүйелерде де Перес-Хородецкий критерийі қолданылады. Атап айтқанда, Саймон каноникалық операторлардың екінші реттік моменттері арқылы Перес-Хородецкий критерийінің ерекше түрін жасады және оның режимдік Гаусс күйлері үшін қажетті және жеткілікті екенін көрсетті (әлдеқайда өзгеше, бірақ мәні жағынан бірдей тәсіл үшін Реф. қараңыз). Кейін Саймонның шарты режимдік Гаусс күйлері үшін де қажетті және жеткілікті екені анықталды, бірақ енді одан артық режимдік Гаусс күйлері үшін жеткіліксіз. Саймонның шартын каноникалық операторлардың жоғары реттік моменттерін есепке алу арқылы немесе энтропиялық өлшемдерді пайдалану арқылы жалпылауға болады.

Алгебралық геометрия арқылы сипаттау

Кванттық механика проективті Гилберт кеңістігінде модельделуі мүмкін, ал мұндай екі кеңістіктің категориялық көбейтіндісі Сегре ендірілісі болып табылады. Екібөлшекті жағдайда кванттық күй, егер және тек қана ол Сегре ендірілісінің бейнесінде жатса, ажыратылатын болады. Джон Магне Ленаас, Ян Мирхайм және Эйрик Оврум өздерінің "Керегелесудің геометриялық аспектілері" атты мақаласында мәселені сипаттайды және ажыратылатын күйлердің геометриясын жалпы күй матрицаларының ішкі жиыны ретінде зерттейді. Бұл ішкі жиынтық Перес-Хородецкий критерийын қанағаттандыратын күйлердің ішкі жиынымен қиылысады. Бұл мақалада Ленаас және авторлар сонымен қатар жалпы жағдайда ажыратылуды тексеруге арналған сандық тәсіл ұсынады.

Бөлуділікті сынау

Жалпы жағдайда бөлінуді тексеру NP-қиын мәселе болып табылады. Лейнаас және авторлар берілген күйдің бөлінетін-бөлінбейтінін тексеру үшін итеративті, ықтималдық алгоритм ұсынды. Алгоритм сәтті аяқталған жағдайда, ол берілген күйді бөлінетін күй ретінде нақты, кездейсоқ түрде көрсетеді. Әйтпесе, ол берілген күйдің табылған ең жақын бөлінетін күйге дейінгі қашықтығын көрсетеді.