Введение

Квантовые состояния, которые не являются запутанными.

В квантовой механике разделимые состояния – это многочастичные квантовые состояния, которые можно представить в виде выпуклой комбинации произведений состояний. Произведения состояний – это многочастичные квантовые состояния, которые можно представить в виде тензорного произведения состояний в каждом пространстве. Физический смысл этих определений заключается в том, что произведения состояний не имеют корреляции между различными степенями свободы, в то время как разделимые состояния могут иметь корреляции, но все эти корреляции можно объяснить влиянием классической случайной величины, а не запутанностью. В частном случае чистых состояний определение упрощается: чистое состояние является разделимым тогда и только тогда, когда оно является произведением состояний. Состояние считается запутанным, если оно не является разделимым. В общем случае, определение того, является ли состояние разделимым, не является тривиальным, и эта задача относится к классу NP-трудных.

Отдельность двухпартийных систем

Рассмотрим сначала составные состояния с двумя степенями свободы, называемые бипартными состояниями. По постулату квантовой механики они могут быть описаны как векторы в тензорном произведении пространств. В данном обсуждении мы сосредоточимся на случае, когда пространства Гильберта и являются конечномерными.

Чистые состояния

Пусть и будут ортонормальными базисами для и , соответственно. Базисом для , или в более компактном обозначении, является , исходя из самого определения тензорного произведения, любой вектор нормы 1, то есть чистое состояние составной системы, может быть записан как

где является константой. Если его можно представить в виде простого тензора, то есть в форме с чистым состоянием в i-м пространстве, то он называется состоянием произведения и, в частности, разделимым. В противном случае он называется запутанным. Следует отметить, что, хотя понятия состояния произведения и разделимого состояния совпадают для чистых состояний, они не совпадают в более общем случае смешанных состояний. Чистые состояния запутанны тогда и только тогда, когда их частные состояния не являются чистыми. Чтобы увидеть это, запишем разложение Шмидта как

где – положительные действительные числа, – ранг Шмидта , а и – множества ортонормальных состояний в и , соответственно. Состояние запутанно тогда и только тогда, когда. В то же время, частное состояние имеет вид

Следовательно, является чистым, то есть является проекцией с единичным рангом, тогда и только тогда, когда , что эквивалентно тому, что является разделимым. Физически это означает, что невозможно однозначно определить (чистое) состояние подсистем, которые вместо этого следует описывать как статистические ансамбли чистых состояний, то есть как матрицы плотности. Таким образом, чистое состояние запутанно тогда и только тогда, когда энтропия фон Неймана частного состояния отлична от нуля. Формально, вложение произведения состояний в пространство произведения задается вложением Сегре. То есть, квантово-механическое чистое состояние является разделимым тогда и только тогда, когда оно находится в образе вложения Сегре. Вышесказанное можно распространить на случай, когда пространство состояний бесконечномерно, практически ничего не изменив.

Критерий разделения

Проблема определения, является ли состояние разделимым в общем случае, иногда называется проблемой разделимости в квантовой теории информации. Она считается сложной проблемой. Во многих случаях было показано, что она является NP-трудной, и предполагается, что это справедливо и в общем случае. Ощущение этой сложности можно получить, попытавшись решить проблему прямым перебором для фиксированной размерности. Мы видим, что проблема быстро становится неразрешимой даже для малых размерностей. Таким образом, требуются более сложные формулировки. Проблема разделимости является предметом текущих исследований. Критерий разделимости – это необходимое условие, которое должно выполняться состоянием, чтобы быть разделимым. В случаях с малыми размерностями (2x2 и 2x3) критерий Переса-Городецки фактически является необходимым и достаточным условием для разделимости. Другие критерии разделимости включают (но не ограничиваются ими) критерий диапазона, критерий редукции и критерии, основанные на соотношениях неопределенности. См. ссылку для обзора критериев разделимости в системах с дискретными переменными. В системах с непрерывными переменными также применим критерий Переса-Городецки. В частности, Саймон сформулировал конкретную версию критерия Переса-Городецки в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что она является необходимой и достаточной для гауссовских состояний мод (см. ссылку для, казалось бы, отличного, но по существу эквивалентного подхода). Позже было обнаружено, что условие Саймона также является необходимым и достаточным для гауссовских состояний мод, но больше не является достаточным для гауссовских состояний мод. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты более высокого порядка канонических операторов или используя энтропийные меры.

Характеристика с помощью алгебраической геометрии

Квантовая механика может быть смоделирована на проективном гильбертовом пространстве, а категорическое произведение двух таких пространств является вложением Сегре. В случае двух частиц квантовое состояние является разделимым тогда и только тогда, когда оно лежит в образе вложения Сегре. Джон Магне Ленаас, Ян Мирхейм и Эйрик Оврум в своей статье "Геометрические аспекты сцепленности" описывают эту проблему и изучают геометрию разделимых состояний как подмножества общих матриц состояний. Это подмножество имеет некоторое пересечение с подмножеством состояний, удовлетворяющих критерию Переса-Городецкого. В этой статье Ленаас и др. также предлагают численный метод для проверки разделимости в общем случае.

Испытание на разделимость

Испытание на разделимость в общем случае является NP-трудной задачей. Лейнаас и др. сформулировали итеративный, вероятностный алгоритм для проверки, является ли заданное состояние разделимым. В случае успешного выполнения алгоритм предоставляет явное, случайное представление заданного состояния в виде разделимого состояния. В противном случае он выдает расстояние заданного состояния до ближайшего разделимого состояния, которое ему удалось найти.