Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе дифференциалдық топология саласында, Морзе гомологиясы – кез келген тегіс көпқырлы үшін анықталған гомология теориясы. Ол көпқырлының тегіс құрылымын және қосымша метриканы пайдалана отырып салынады, бірақ топологиялық тұрақты болып табылады және іс жүзінде сингулярлы гомологияға изоморфты. Морзе гомологиясы Флоер гомологиясы теориялары деп аталатын әр түрлі шексіз өлшемді жалпыламалар үшін де модель ретінде қызмет етеді.
In mathematics, specifically in the field of differential topology, Morse homology is a homology theory defined for any smooth manifold. It is constructed using the smooth structure and an auxiliary metric on the manifold, but turns out to be topologically invariant, and is in fact isomorphic to singular homology. Morse homology also serves as a model for the various infinite dimensional generalizations known as Floer homology theories.
Ресми анықтама
Кез келген (компактты) тегіс көптік берілген болса, f Морзе функциясы және g көптіктегі Риман метрикасы болсын. (Бұлар қосалқы; ақыр соңында Морзе гомологиясы екеуіне де байланысты емес.) Бұл жұп бізге градиент векторлық өрісті береді. Егер f-тің барлық сындық нүктелеріне байланысты тұрақты және тұрақсыз көптіктер бірін-бірі көлденең қисаса, онда оны Морзе–Смале деп атаймыз. Кез келген осындай жұп үшін, кез келген екі сындық нүкте арасындағы индекс айырмашылығы сол нүктелер арасындағы градиент ағынының модульдік кеңістігінің өлшеміне тең екенін көрсетуге болады. Осылайша, i индексінің және басқа i индексінің сындық нүктесі арасындағы ағымдардың бір өлшемді модульдік кеңістігі бар. Әрбір ағым домендегі бір өлшемді трансляция арқылы қайта параметрленуі мүмкін. Осы қайта параметрлеулерге қатысты бөлуден кейін, бөліндік кеңістік нөлдік өлшемді — яғни, параметрленбеген ағын сызықтарын көрсететін бағдарланған нүктелердің жиынтығы. Содан кейін тізбек кешенін келесідей анықтауға болады. Желілер жиынтығы — бұл Z модулі, сындық нүктелер арқылы туындайды. Комплекстің дифференциалы d, i индексінің сындық нүктесін, индекстік сындық нүктелердің қосындысына жібереді, коэффициенттері p-ден осы индекстік сындық нүктелерге дейінгі параметрленбеген ағын сызықтарының (белгіленген) санына сәйкес келеді. Мұндай ағын сызықтарының саны шекті екендігі модульдік кеңістіктің компакттығынан туындайды. Бұл тізбек кешенін анықтайды (яғни, d² = 0) градиент ағындарының модульдік кеңістіктерінің қалай компакттанатынын түсінуден туындайды. Атап айтқанда, индексі i-нің сындық нүктесі q үшін коэффициент, индексі 1-дің p-ден индексі i-нің сындық нүктесі r-ге дейінгі ағынынан және тағы бір индексі 1-дің r-ден q-ға дейінгі ағынынан тұратын бұзылған ағындардың (белгіленген) саны болып табылады. Бұл бұзылған ағындар дәл 2-индексті ағындардың модульдік кеңістігінің шекарасын құрайды: 2-индексті ағындардың кез келген тізбегінің лиміті осы формада екенін көрсетуге болады, және барлық мұндай бұзылған ағындар 2-индексті ағындардың лиміттері ретінде туындайды. Параметрленбеген 2-индексті ағындар бір өлшемді отбасыларда келеді, олар шекаралары бар компактты бірлікке компакттанады. Шекарасы бар компактты бірлік шекарасының белгіленген саны нөлге тең екендігін дәлелдейді.
Given any (compact) smooth manifold, let f be a Morse function and g a Riemannian metric on the manifold. (These are auxiliary; in the end, the Morse homology depends on neither.) The pair gives us a gradient vector field. We say that is Morse–Smale if the stable and unstable manifolds associated to all of the critical points of f intersect each other transversely. For any such pair , it can be shown that the difference in index between any two critical points is equal to the dimension of the moduli space of gradient flows between those points. Thus there is a one dimensional moduli space of flows between a critical point of index i and one of index Each flow can be reparametrized by a one dimensional translation in the domain. After modding out by these reparametrizations, the quotient space is zero dimensional — that is, a collection of oriented points representing unparametrized flow lines. A chain complex may then be defined as follows. The set of chains is the Z module generated by the critical points. The differential d of the complex sends a critical point p of index i to a sum of index critical points, with coefficients corresponding to the (signed) number of unparametrized flow lines from p to those index critical points. The fact that the number of such flow lines is finite follows from the compactness of the moduli space. The fact that this defines a chain complex (that is, that ) follows from an understanding of how the moduli spaces of gradient flows compactify. Namely, in the coefficient of an index critical point q is the (signed) number of broken flows consisting of an index 1 flow from p to some critical point r of index and another index 1 flow from r to q. These broken flows exactly constitute the boundary of the moduli space of index 2 flows: The limit of any sequence of unbroken index 2 flows can be shown to be of this form, and all such broken flows arise as limits of unbroken index 2 flows. Unparametrized index 2 flows come in one dimensional families, which compactify to compact one manifolds with boundaries. The fact that the boundary of a compact one manifold has signed count zero proves that .
Морзе гомологиясының өзгермеушілігі
Бұл кешеннің гомологиясы оны анықтау үшін қолданылатын Морзе-Смейл жұбынан (f, g) тәуелсіз екенін көрсетуге болады. Кез келген екі берілген жұп (f0, g0) және (f1, g1) арасында интерполяцияланатын жұптардың гомотопиясы (ft, gt) әрқашан анықталуы мүмкін. Бифуркациялық талдау арқылы немесе тізбек картасын анықтау үшін жалғастыру картасын пайдалану арқылы екі Морзе гомологиясының изоморфты екенін көрсетуге болады. Гомотопиялардың гомотопиясын пайдаланатын ұқсас аргументтер бұл изоморфизмнің каноникалық екенін көрсетеді. Морзе гомологиясының инварианттылығын дәлелдеудің тағы бір тәсілі оны тікелей сингулярлы гомологиямен байланыстыру. Біреу сингулярлы гомологияға картаны сол нүктеге байланысты тұрақсыз көптікке байланысты сингулярлы тізбекке сындық нүктені жіберу арқылы анықтауы мүмкін; керісінше, сингулярлы тізбек градиенттік векторлық өрісті пайдалана отырып, тізбекті ағызу арқылы жеткен шектік сындық нүктелерге жіберіледі. Мұны нақтылаудың ең таза жолы – токтар теориясын қолдану. Сингулярлы гомологиямен изоморфизмді жасушалық гомологиямен изоморфизмді көрсету арқылы да дәлелдеуге болады, i индексінің сындық нүктесіне i жасуша ретінде қарастырылатын тұрақсыз көптікке қарап, Морзе және жасушалық кешендердегі шекаралық карталардың сәйкес келетінін көрсету арқылы.
It can be shown that the homology of this complex is independent of the Morse–Smale pair (f, g) used to define it. A homotopy of pairs (ft, gt) that interpolates between any two given pairs (f0, g0) and (f1, g1) may always be defined. Either through bifurcation analysis or by using a continuation map to define a chain map from to , it can be shown that the two Morse homologies are isomorphic. Analogous arguments using a homotopy of homotopies shows that this isomorphism is canonical. Another approach to proving the invariance of Morse homology is to relate it directly to singular homology. One can define a map to singular homology by sending a critical point to the singular chain associated to the unstable manifold associated to that point; inversely, a singular chain is sent to the limiting critical points reached by flowing the chain using the gradient vector field. The cleanest way to do this rigorously is to use the theory of currents. The isomorphism with singular homology can also be proved by demonstrating an isomorphism with cellular homology, by viewing an unstable manifold associated to a critical point of index i as an i cell, and showing that the boundary maps in the Morse and cellular complexes correspond.
Қатынасты құрылыстар
Морзе теориясына бұл тәсіл Рене Том мен Стивен Смельге белгілі болған. Ол сондай-ақ Джон Милнордың h-кобордизм теоремасы туралы кітабында да қамтылған. Морзе гомологиясы сингуляр гомологияға изоморфты екендігінен, Морзе теңсіздіктері генераторлар санын қарастыру арқылы туындайды, яғни тиісті рангтардың гомология топтарын құру үшін қажетті критикалық нүктелерді (және мықты теңсіздіктерді алу үшін Морзе кешенінің қиылысын қарастыру арқылы). Морзе гомологиясының болуы, категорияландыру тұрғысынан, Морзе теңсіздіктерін «түсіндіреді». Эдвард Виттен 1980-жылдардың басында осыған ұқсас құрылымды ұсынды, ол кейде Морзе-Виттен теориясы деп аталады. Морзе гомологиясын шекті өлшемді, тығыз емес немесе шексіз өлшемді көптүрліліктерге кеңейтуге болады, мұнда индексі шекті болып қалады, метрика толық және функция Palais-Smale тығыздық шартын қанағаттандырады, мысалы, Риман көптүрлілігіндегі геодезиялар үшін энергия функционалы. Индекс пен коиндекс екеуі де шексіз болғанда, бірақ кез келген екі критикалық нүктенің салыстырмалы индексі шекті болатын жағдайларға жасалған жалпылау Флор гомологиясы деп аталады. Сергей Новиков бұл құрылымды көптүрліліктегі жабық бір формаға байланысты гомология теориясына жалпылады. Морзе гомологиясы df формасы үшін ерекше жағдай болып табылады. Новиков теориясының ерекше жағдайы – Майкл Хатчингс пен И Джен Ли Рейдемейстер торсиясымен және Сейберг-Уиттен теориясымен байланыстырған шеңберлік Морзе теориясы.
This approach to Morse theory was known in some form to René Thom and Stephen Smale. It is also implicit in John Milnor's book on the h cobordism theorem. From the fact that the Morse homology is isomorphic to the singular homology, the Morse inequalities follow by considering the number of generators — that is, critical points — necessary to generate the homology groups of the appropriate ranks (and by considering truncations of the Morse complex, to get the stronger inequalities). The existence of Morse homology "explains", in the sense of categorification, the Morse inequalities. Edward Witten came up with a related construction in the early 1980s sometimes known as Morse–Witten theory. Morse homology can be extended to finite dimensional non compact or infinite dimensional manifolds where the index remains finite, the metric is complete and the function satisfies the Palais–Smale compactness condition, such as the energy functional for geodesics on a Riemannian manifold. The generalization to situations in which both index and coindex are infinite, but the relative index of any pair of critical points is finite, is known as Floer homology. Sergei Novikov generalized this construction to a homology theory associated to a closed one form on a manifold. Morse homology is a special case for the one form df. A special case of Novikov's theory is circle valued Morse theory, which Michael Hutchings and Yi Jen Lee have connected to Reidemeister torsion and Seiberg–Witten theory.
Морзе-Ботт гомологиясы
Морзе гомологиясы Морзе-Ботт жағдайында жүзеге асырылуы мүмкін, яғни оқшауланған дегенерацияланбаған сындық нүктелердің орнына функцияның сындық көптүрліліктері болады, олардың бір нүктедегі жанама кеңістігі сол нүктедегі Гессианның ядросымен сәйкес келеді. Бұл жағдай әрқашан туындайды, егер қарастырылып отырған функция дискретті емес Ли тобына қатысты инвариантты болса. Пайда болған тізбек кешенін және оның гомологиясын сипаттау үшін әрбір сындық субкөптүрлілік бойынша жалпы Морзе функциясын енгізейік. Тізбектер көмекші Морзе функциясының сындық нүктесінде басталатын, кейбір метрикаға қатысты градиент траекториясын ұстанатын және содан кейін Морзе-Ботт функциясының градиент векторлық өрісі бойынша басқа сындық көптүрлілікке жеткенше субкөптүрлілікті қыбырлап өтетін жолдардан тұрады; ол сол сындық субкөптүрліліктегі Морзе функциясымен байланысты градиент траекториясы бойынша біраз уақыт ағып, содан кейін басқа сындық субкөптүрлілікке ағып, немесе бастапқы субкөптүрліліктің сындық нүктесіне ағып, тоқтатылады. (Фрауенфельдер) қараңыз. Морзе-Ботт гомологиясына осы тәсіл Буржуаның жарияланбаған контакттік гомология жұмысының аясында пайда болды, онда сындық субманифолдтар – Реб орбиталарының жиынтығы, ал сындық субманифолдтар арасындағы градиент ағындары – Реб орбиталарының тиісті сындық көптүрліліктеріндегі Реб орбиталарына асимптотикалық болатын контакттік көптүрліліктің псевдоголоморфтық қисықтары. Егер әрбір Морзе функциясын сындық субкөптүрліліктерге жақын бүкіл көптүрліліктегі функцияға кеңейтетін болсақ, бастапқы Морзе-Ботт функциясын бұзатын Морзе-Смале функциясын анық жаза аламыз. Атап айтқанда, әрбір кеңейтілген функцияны шағын оң тұрақтымен көбейтіп, оларды қосып, нәтижені бастапқы Морзе-Ботт функциясына қосамыз. Жоғарыда сипатталған бұзылған ағындар осы Морзе-Смале функциясының ағын сызықтарына C0 жақын болады.
Morse homology can be carried out in the Morse–Bott setting, i. e. when instead of isolated nondegenerate critical points, a function has critical manifolds whose tangent space at a point coincides with the kernel of the Hessian at the point. This situation will always occur, if the function considered is invariant w. r. t. a non discrete Lie group. To describe the resulting chain complex and its homology, introduce a generic Morse function on each critical submanifold. Chains will consist of paths that begin in a critical manifold at a critical point of the auxiliary Morse function, following a gradient trajectory with respect to some metric, and then leave the submanifold to follow the gradient vector field of the Morse–Bott function until it hits some other critical manifold; it either flows for a while along a gradient trajectory associated to the Morse function on that critical submanifold and then flows to another critical submanifold, etc., or flows to a critical point in the original submanifold and terminates. See (Frauenfelder). This approach to Morse–Bott homology appeared in the context of unpublished work for contact homology by Bourgeois, in which the critical submanifolds are the sets of Reeb orbits, and the gradient flows between the critical submanifolds are pseudoholomorphic curves in the symplectization of a contact manifold asymptotic to Reeb orbits in the relevant critical manifolds of Reeb orbits. If we extend each Morse function to a function on the entire manifold supported near the critical submanifolds, we can explicitly write down a Morse–Smale function that perturbs the original Morse–Bott function. Namely, multiply each of the extended functions by some small positive constant, sum them and add the result to the original Morse–Bott function. The broken flows described above will be C0 close to the flow lines of this Morse–Smale function.