Релятивистік толқындық сипаттама және Майорана теңдеуі

Кіріспе

Фермиондардың релятивистік толқындық сипаттамасы
Физикада Майорана теңдеуі – релятивистік толқын теңдеуі болып табылады. Ол 1937 жылы өзінің-өзі антибөлшегі болатын фермиондарды сипаттау үшін ұсынған итальян физигі Этторе Майорананың есімімен аталған. Бұл теңдеуге сәйкес келетін бөлшектер Майорана бөлшектері деп аталады, бірақ қазір бұл термин кең мағынаға ие, ол өзінің антибөлшегі (және демек, электрлік бейтарап) болатын кез келген (мүмкін релятивистік емес) фермиондық бөлшекті білдіреді. Массивті нейтринолар Майорана бөлшектерімен сипатталуы мүмкін деген ұсыныстар бар; Стандартты модельге бұған мүмкіндік беретін әртүрлі кеңейтулер енгізілген. Майорана бөлшектері туралы мақалада эксперименттік іздеулердің жай-күйі, соның ішінде нейтрино туралы мәліметтер келтірілген. Бұл мақала теорияның математикалық дамуына, оның дискретті және үздіксіз симметрияларына баса назар аударады. Дискретті симметриялар – зарядты конъюгациялау, паритет трансформациясы және уақыттың кері айналуы; үздіксіз симметрия – Лоренц инварианттығы. Зарядты конъюгациялау маңызды рөл атқарады, себебі ол Майорана бөлшектерін электрлік бейтарап ретінде сипаттауға мүмкіндік беретін негізгі симметрия болып табылады. Ерекше ерекшелігі – электрлік бейтараптық сол және оң хиральдық өрістер үшін әрқайсысы бойынша бірнеше жаһандық фазаларды еркін таңдауға мүмкіндік береді. Бұл, егер осы фазаларға нақты шектеулер қойылмаса, Майорана өрістері табиғи түрде CP-симметриясын бұзады дегенді білдіреді. Электрлік бейтараптықтың тағы бір аспектісі – сол және оң хиральдық өрістерге әртүрлі массалар берілуі мүмкін. Яғни, электр заряды Лоренц инварианттығымен қатар, қозғалыс тұрақтысы да болып табылады; ал хиральдық Лоренц инварианттығымен қатар, массивті өрістер үшін қозғалыс тұрақтысы емес. Сондықтан электрлік бейтарап өрістер зарядталған өрістерге қарағанда аз шектеулерге ие. Зарядты конъюгациялау кезінде екі еркін жаһандық фаза массалық мүшелерде пайда болады (олар Лоренц инварианттығына байланысты), сондықтан Майорана массасы бір санның орнына күрделі матрицамен сипатталады. Қысқасы, Майорана теңдеуінің дискретті симметриялары Дирак теңдеуіне қарағанда әлдеқайда күрделі, себебі Дирак теңдеуінде электр зарядының симметриясы осы бостандықтарды шектейді және жояды.

Relativistic wave description of fermions
In physics, the Majorana equation is a relativistic wave equation. It is named after the Italian physicist Ettore Majorana, who proposed it in 1937 as a means of describing fermions that are their own antiparticle. Particles corresponding to this equation are termed Majorana particles, although that term now has a more expansive meaning, referring to any (possibly non relativistic) fermionic particle that is its own anti particle (and is therefore electrically neutral). There have been proposals that massive neutrinos are described by Majorana particles; there are various extensions to the Standard Model that enable this. The article on Majorana particles presents status for the experimental searches, including details about neutrinos. This article focuses primarily on the mathematical development of the theory, with attention to its discrete and continuous symmetries. The discrete symmetries are charge conjugation, parity transformation and time reversal; the continuous symmetry is Lorentz invariance. Charge conjugation plays an outsize role, as it is the key symmetry that allows the Majorana particles to be described as electrically neutral. A particularly remarkable aspect is that electrical neutrality allows several global phases to be freely chosen, one each for the left and right chiral fields. This implies that, without explicit constraints on these phases, the Majorana fields are naturally CP violating. Another aspect of electric neutrality is that the left and right chiral fields can be given distinct masses. That is, electric charge is a Lorentz invariant, and also a constant of motion; whereas chirality is a Lorentz invariant, but is not a constant of motion for massive fields. Electrically neutral fields are thus less constrained than charged fields. Under charge conjugation, the two free global phases appear in the mass terms (as they are Lorentz invariant), and so the Majorana mass is described by a complex matrix, rather than a single number. In short, the discrete symmetries of the Majorana equation are considerably more complicated than those for the Dirac equation, where the electrical charge symmetry constrains and removes these freedoms.

Нағыз төрт құрамдас нысан

Дәстүрлі бастау нүктесі – "Дирак теңдеуін гермиттік формада жазуға болады" деп айту болып табылады, егер гамма-матрицалар Майорана өрнегінде алынса. Сонда Дирак теңдеуі былай жазылады:

мұнда – нақты 4×4 симметриялық матрицалар, ал – таза жорамал қисық симметриялық матрицалар болып табылады; оператордың (қшақайыш ішіндегі бөлік) гермиттік екенін қамтамасыз ету үшін қажет. Осы жағдайда теңдеуге нақты 4-спинорлық шешімдер табылуы мүмкін; олар – Майорана спинорлары.

Негізгі идеялар

Майорана теңдеуінің кейбір қасиеттері, оның шешімі және Лагранж жазылуы осы жерде қысқаша баяндалған. Майорана теңдеуі Дирак теңдеуіне ұқсас, себебі ол төрт компонентті спиндерді, гамма-матрицаларды және массалық мүшелерді қамтиды, бірақ спиннің зарядтық конъюгатын да қамтиды. Керісінше, Вейль теңдеуі массасы жоқ екі компонентті спинге арналған. Майорана теңдеуінің шешімдерін электрлік зарядтан бейтарап, өз антибөлшегі болып табылатын бөлшектер деп түсіндіруге болады. Конвенция бойынша, зарядтық конъюгация операторы бөлшектерді олардың антибөлшектеріне айналдырады, сондықтан Майорана спиноры – бұл шешім ретінде анықталатын, яғни «өзінің антибөлшегі» болып табылатын спинор. Зарядтық конъюгация электрлік зарядталған бөлшекті қарама-қарсы зарядталған антибөлшекке айналдыратындықтан, Майорана спиноры электрлік бейтарап деген қорытынды жасауға болады. Майорана теңдеуі Лоренц ковариантты, және оның спинерлерінен түрлі Лоренц скалярларын құрастыруға болады. Бұл Майорана өрістері үшін бірнеше Лагранждар құруға мүмкіндік береді. Лагранждық екі компонентті сол және оң хиральды спиндер арқылы берілгенде, онда үш түрлі массалық мүше болуы мүмкін: сол және оң Майорана массалық мүшелері, және Дирак массалық мүшесі. Бұл физикалық тұрғыдан екі түрлі масса ретінде көрінеді; бұл – стандартты модельмен сол жаққа байланысты төмен массалы нейтриноларды сипаттау үшін қолданылатын тербеліс механизмінің негізгі идеясы, ал оң жақ компоненті GUT шкаласындағы массасы бар стерильді нейтриноға сәйкес келеді. C, P және T конъюгацияларының дискретті симметриялары зарядтық конъюгация операторындағы еркін таңдалған фазалық коэффициентпен тығыз байланысты. Бұл массалық мүшелердегі күрделі фазалар ретінде көрінеді. Бұл CP симметриялық және CP симметриясын бұзатын Лагранждарды жазуға мүмкіндік береді. Майорана өрістері CPT инвариантты, бірақ бұл инварианттылық зарядталған бөлшектерге қарағанда «еркін». Себебі заряд міндетті түрде Лоренц инвариантты қасиет болып табылады және зарядталған өрістер үшін шектеулер қояды. Майорананың бейтарап өрістері осылай шектелмейді және араласа алады.

Some of the properties of the Majorana equation, its solution and its Lagrangian formulation are summarized here. The Majorana equation is similar to the Dirac equation, in the sense that it involves four component spinors, gamma matrices, and mass terms, but includes the charge conjugate of a spinor In contrast, the Weyl equation is for two component spinor without mass. Solutions to the Majorana equation can be interpreted as electrically neutral particles that are their own anti particle. By convention, the charge conjugation operator takes particles to their anti particles, and so the Majorana spinor is conventionally defined as the solution where That is, the Majorana spinor is "its own antiparticle". Insofar as charge conjugation takes an electrically charge particle to its anti particle with opposite charge, one must conclude that the Majorana spinor is electrically neutral. The Majorana equation is Lorentz covariant, and a variety of Lorentz scalars can be constructed from its spinors. This allows several distinct Lagrangians to be constructed for Majorana fields. When the Lagrangian is expressed in terms of two component left and right chiral spinors, it may contain three distinct mass terms: left and right Majorana mass terms, and a Dirac mass term. These manifest physically as two distinct masses; this is the key idea of the seesaw mechanism for describing low mass neutrinos with a left handed coupling to the Standard model, with the right handed component corresponding to a sterile neutrino at GUT scale masses. The discrete symmetries of C, P and T conjugation are intimately controlled by a freely chosen phase factor on the charge conjugation operator. This manifests itself as distinct complex phases on the mass terms. This allows both CP symmetric and CP violating Lagrangians to be written. The Majorana fields are CPT invariant, but the invariance is, in a sense "freer" than it is for charged particles. This is because charge is necessarily a Lorentz invariant property, and is thus constrained for charged fields. The neutral Majorana fields are not constrained in this way, and can mix.

Екі компонентті Майорана теңдеуі

Майорана теңдеуін нақты төрт компонентті спинор түрінде де, кешенді екі компонентті спинор түрінде де жазуға болады. Екеуі де Вейль теңдеуінен, тиісті Лоренц ковариантты массалық мүше қосылу арқылы құрастырылуы мүмкін. Осы бөлімде нақты құрастыру және түсіндіру келтіріледі.

Электрлік заряд

Майорана теңдеуіне екі теңдеудің де кіруі, бұл өрісті зарядты сақтау принципін бұзбай, зарядталған электромагниттік өріспен байланыстыру мүмкін емес екенін білдіреді, себебі бөлшектердің антибөлшектерінен кері зарядтары бар. Бұл шектеуді қанағаттандыру үшін өріс электрлік жағынан бейтарап болуы керек. Бұл туралы толығырақ айтуға болады. Гамма матрицалары Майораналық бейнеленгенде Дирак теңдеуін толығымен нақты түрде жазуға болады. Дирак теңдеуін толығымен нақты симметриялық матрицалар және толығымен жорамал қисық симметриялық матрицалар арқылы жазуға болады. Бұл жағдайда теңдеудің толығымен нақты шешімдерін табуға болады; олар Майорана спинорлары болып табылады. Лоренц түрлендірулерінің әсерімен олар (толығымен нақты) спин тобы бойынша түрленеді. Бұл Дирак спинорларынан өзгеше, олар тек күрделі спин тобы бойынша ковариантты болады. Бұл осы күрделі спин тобы электромагниттік потенциалды кодтайды, ал нақты спин тобы кодтамайды дегенді білдіреді. Бұл басқаша да айтуға болады: Дирак теңдеуі мен Дирак спинорлары электромагниттік өзара әрекеттесуді табиғи түрде кодтау үшін жеткілікті өлшем еркіндігіне ие. Бұл электромагниттік потенциалды теңдеуге немесе спинорға қосымша түзетулер мен кеңейтулерді қажет етпей, оңай қосуға болатындығынан көрінеді. Бұл қосымша еркіндік дәрежесінің орналасқан жерін зарядты конъюгация операторы көрсетеді, ал Майорана шектеуін қолдану осы қосымша еркіндік дәрежесін жояды. Жойылғаннан кейін электромагниттік потенциалмен байланыс болуы мүмкін емес, демек Майорана спиноры міндетті түрде электрлік жағынан бейтарап. Электромагниттік байланысты тек күрделі санмен бағаланған фазалық факторды қосып, осы фазалық факторды электромагниттік потенциалға байланыстыру арқылы алуға болады. Жоғарыда айтылғандарды үш өлшемді кеңістіктегі жағдайды қарастыру арқылы одан әрі нақтылауға болады. Бұл жағдайда күрделі спин тобы шеңбермен екі рет жабылады. Бұл жалпыланған Лоренц түрлендірулерін (әрине) кодтайды, ал шеңберді электр зарядтарындағы өлшегіш топтың әрекетімен сәйкестендіруге болады. Яғни, Дирак спинорындағы күрделі спин тобының өлшегіш топ әрекетін толығымен нақты Лоренц бөлігіне және электромагниттік бөлікке бөлуге болады. Бұл тұжырымдаманы жазық емес (Миньковский емес) спин коллекторларында одан әрі кеңейтуге болады. Бұл жағдайда Дирак операторы спинор шоғына әсер етеді. Ол ерекше мүшелерге бөлінгенде, әдеттегі ковариантты туындыны қамтиды. Өріс спин шоғының күрделі бөлігінің қисықтығынан тікелей туындайды, себебі өлшегіш түрлендірулер күрделі бөлікке, бірақ нақты спинор бөлігіне емес, байланысады. Өріс электромагниттік потенциалға сәйкес келетінін (мысалы) Дирак операторының квадраты Лапласиан плюс скалярлық қисықтық (спинор өрісі орналасқан негізгі коллектор) плюс (электромагниттік) өріс күші екенін атап өту арқылы көруге болады. Майорана жағдайында тек Лоренц түрлендірулері Майорана спинорына әсер етеді; күрделілік ешқандай рөл атқармайды. Бұл тақырыптар туралы толық мәліметтерді Жосттан, ал жағдайды Блекерден табуға болады. Өкінішке орай, екі мәтіннің де Майорана спинорын тікелей түрде нақты білдірмейді.

The appearance of both and in the Majorana equation means that the field cannot be coupled to a charged electromagnetic field without violating charge conservation, since particles have the opposite charge to their own antiparticles. To satisfy this restriction, must be taken to be electrically neutral. This can be articulated in greater detail. The Dirac equation can be written in a purely real form, when the gamma matrices are taken in the Majorana representation. The Dirac equation can then be written as

with being purely real symmetric matrices, and being purely imaginary skew symmetric. In this case, purely real solutions to the equation can be found; these are the Majorana spinors. Under the action of Lorentz transformations, these transform under the (purely real) spin group This stands in contrast to the Dirac spinors, which are only covariant under the action of the complexified spin group The interpretation is that complexified spin group encodes the electromagnetic potential, the real spin group does not. This can also be stated in a different way: the Dirac equation, and the Dirac spinors contain a sufficient amount of gauge freedom to naturally encode electromagnetic interactions. This can be seen by noting that the electromagnetic potential can very simply be added to the Dirac equation without requiring any additional modifications or extensions to either the equation or the spinor. The location of this extra degree of freedom is pin pointed by the charge conjugation operator, and the imposition of the Majorana constraint removes this extra degree of freedom. Once removed, there cannot be any coupling to the electromagnetic potential, ergo, the Majorana spinor is necessarily electrically neutral. An electromagnetic coupling can only be obtained by adding back in a complex number valued phase factor, and coupling this phase factor to the electromagnetic potential. The above can be further sharpened by examining the situation in spatial dimensions. In this case, the complexified spin group has a double covering by with the circle. The implication is that encodes the generalized Lorentz transformations (of course), while the circle can be identified with the action of the gauge group on electric charges. That is, the gauge group action of the complexified spin group on a Dirac spinor can be split into a purely real Lorentzian part, and an electromagnetic part. This can be further elaborated on non flat (non Minkowski flat) spin manifolds. In this case, the Dirac operator acts on the spinor bundle. Decomposed into distinct terms, it includes the usual covariant derivative The field can be seen to arise directly from the curvature of the complexified part of the spin bundle, in that the gauge transformations couple to the complexified part, and not the real spinor part. That the field corresponds to the electromagnetic potential can be seen by noting that (for example) the square of the Dirac operator is the Laplacian plus the scalar curvature (of the underlying manifold that the spinor field sits on) plus the (electromagnetic) field strength For the Majorana case, one has only the Lorentz transformations acting on the Majorana spinor; the complexification plays no role. A detailed treatment of these topics can be found in Jost while the case is articulated in Bleeker. Unfortunately, neither text explicitly articulates the Majorana spinor in direct form.

Өріс кванттары

Майорана теңдеуінің кванттары екі түрлі бөлшекті – нейтраль бөлшекті және оның нейтраль антибөлшегін қабылдайды. Көп қолданылатын қосымша талап Майорна спинорына сәйкес келеді.

Майорана бөлшегі

Майорана спинорына сәйкес келетін бөлшектер жоғарыда аталған өзіндік-конъюгация шартына байланысты Майорана бөлшектері деп аталады. Стандартты модельдегі барлық фермиондар Майорана фермиондары емес деп саналады (олардың электр заряды нөлдік емес болғандықтан өздерінің антибөлшектері бола алмайды), нейтринодан басқа (ол бейтарап). Теориялық тұрғыдан алғанда, нейтрино бұл ереженің ерекше жағдайы болуы мүмкін. Егер осылай болса, нейтриносыз қос бета-ыдырау, сондай-ақ лептондар санының бұзылуына байланысты мезон және зарядталған лептондардың ыдырауы мүмкін. Нейтрино Майорана бөлшегі екенін анықтау мақсатында бірқатар эксперименттер қазіргі таңда жүргізілуде.

Қосымша оқу

"Қазіргі физикадағы Майорана мұрасы", Теориялық физиканың электрондық журналы (EJTP) 3-том, 10-шы саны (2006 жылғы сәуір) Этторе Майорананың туылған күнінің 100 жылдығына арналған арнайы шығарылым (1906–1938?). ISSN 1729 5254 Фрэнк Вилчек, (2009) "Майорана қайта оралады", Табиғат физикасы, 5-том, 614–618 беттер.