Зарядты конъюгациялау симметриясы

Кіріспе

Физикада зарядты конъюгациялау – барлық бөлшектерді олардың сәйкес антибөлшектерімен ауыстыратын трансформация, осылайша барлық зарядтардың таңбасын өзгертеді: ғана емес электр заряды, сонымен қатар басқа күштерге қатысты зарядтар да. C симметриясы термині – «зарядты конъюгациялау симметриясы» фразасының қысқартылған түрі және зарядты конъюгациялау жағдайында физикалық заңдардың симметриясы туралы талқылауларда қолданылады. Басқа маңызды дискретті симметриялар – P симметриясы (паритет) және T симметриясы (уақыттың керілуі). Осы дискретті симметриялар – C, P және T – табиғаттың белгілі негізгі күштерін сипаттайтын теңдеулердің симметриялары: электромагнетизм, гравитация, күшті және әлсіз өзара әрекеттесулер. Математикалық теңдеудің табиғатты дұрыс модельдейтінін тексеру үшін, уақыт бойынша қозғалыс сияқты үздіксіз симметрияларға ғана емес, сонымен қатар оның дискретті симметрияларына да физикалық интерпретация беру қажет, содан кейін табиғаттың осы симметрияларды сақтайтынын анықтау керек. Ұздіксіз симметриялардан айырмашылығы, дискретті симметрияларды интерпретациялау көбірек интеллектуалдық күш-жігерді және шатасуды тудырады. 1950 жылдары Чжень Шиунг Ву әлсіз өзара әрекеттесудің P симметриясын бұзатынын көрсеткенде, алғашқы таңқаларлық оқиға болды. Бірнеше онжылдық бойы, CP бұзушы өзара әрекеттесулер ашылғанға дейін, біріктірілген CP симметриясы сақталғандай көрінді. Екі жаңалыққа да Нобель сыйлығы берілді. C симметриясы физикалық тұрғыдан қиын, себебі ғалам негізінен материямен, емес антиматериямен толтырылған, ал физикалық заңдардың C симметриясы екеуінің де тең мөлшерде болуын ұсынады. Қазіргі уақытта, ерте ғаламдағы CP бұзушылық «артық» материяны түсіндіре алады деп есептеледі, бірақ пікірталас әлі де шешілмеген. 1970 жылдарға дейінгі космология бойынша бұрынғы оқулықтар, алыстағы галактикалар толығымен антиматериядан тұруы мүмкін екенін жиі ұсынды, осылайша ғаламдағы жалпы тепе-теңдік нөлдік деңгейде сақталды. Бұл мақала түрлі маңызды теңдеулер мен теориялық жүйелердің, соның ішінде Дирак теңдеуі мен кванттық өріс теориясының құрылымының C симметриясын ашуға және түсіндіруге бағытталған. Әртүрлі фундаменталды бөлшектерді зарядты конъюгациялау кезіндегі мінез-құлқына сәйкес жіктеуге болады; бұл C паритеті туралы мақалада сипатталған.

Symmetry of physical laws under a charge conjugation transformation

In physics, charge conjugation is a transformation that switches all particles with their corresponding antiparticles, thus changing the sign of all charges: not only electric charge but also the charges relevant to other forces. The term C symmetry is an abbreviation of the phrase "charge conjugation symmetry", and is used in discussions of the symmetry of physical laws under charge conjugation. Other important discrete symmetries are P symmetry (parity) and T symmetry (time reversal). These discrete symmetries, C, P and T, are symmetries of the equations that describe the known fundamental forces of nature: electromagnetism, gravity, the strong and the weak interactions. Verifying whether some given mathematical equation correctly models nature requires giving physical interpretation not only to continuous symmetries, such as motion in time, but also to its discrete symmetries, and then determining whether nature adheres to these symmetries. Unlike the continuous symmetries, the interpretation of the discrete symmetries is a bit more intellectually demanding and confusing. An early surprise appeared in the 1950s, when Chien Shiung Wu demonstrated that the weak interaction violated P symmetry. For several decades, it appeared that the combined symmetry CP was preserved, until CP violating interactions were discovered. Both discoveries lead to Nobel prizes. The C symmetry is particularly troublesome, physically, as the universe is primarily filled with matter, not anti matter, whereas the naive C symmetry of the physical laws suggests that there should be equal amounts of both. It is currently believed that CP violation during the early universe can account for the "excess" matter, although the debate is not settled. Earlier textbooks on cosmology, predating the 1970s, routinely suggested that perhaps distant galaxies were made entirely of anti matter, thus maintaining a net balance of zero in the universe. This article focuses on exposing and articulating the C symmetry of various important equations and theoretical systems, including the Dirac equation and the structure of quantum field theory. The various fundamental particles can be classified according to behavior under charge conjugation; this is described in the article on C parity.

Бейресми шолу

Зарядты конъюгация үш түрлі, бірақ өте байланысты жағдайларда симметрия ретінде кездеседі: бірнеше маңызды дифференциалдық теңдеулердің (классикалық, квантталмаған) шешімдерінің симметриясы, оның ішінде Клейн-Гордон теңдеуі және Дирак теңдеуі, сәйкес кванттық өрістердің симметриясы, сондай-ақ жалпы жағдайда (псевдо) Риман геометриясындағы симметрия. Бұл үш жағдайда да симметрия, тікелей күрделі конъюгация бойынша симметрия болып табылады, бірақ конъюгацияланатын нәрсе және оның орны белгілеулерге, координаттар таңдауына және басқа факторларға байланысты кейде шатастыруы мүмкін.

Классикалық салаларда

Зарядты конъюгациялау симметриясы электр заряды ретінде қарастырылады, себебі барлық үш жағдайда (классикалық, кванттық және геометриялық) классикалық электродинамикаға ұқсас Нотер токтерін құруға болады. Бұл электродинамиканың өзі, Максвелл теңдеулері арқылы, U(1) талшықты шоғырындағы, яғни шеңберлік шоғырындағы құрылым ретінде түсіндірілуі мүмкін. Бұл электромагнетизмнің геометриялық интерпретациясын береді: электромагниттік потенциал шеңберлік шоғырындағы калибровкалық байланыс (Эхресманн байланысы) ретінде қарастырылады. Бұл геометриялық интерпретация, шамамен айтқанда, кез келген кешенді санмен сипатталатын құрылымды электр магниттік өріспен байланыстыруға мүмкіндік береді, егер бұл байланыс калибровкалық инварианттылық принципі сақталса. Геометриялық тұрғыдан алғанда, калибровкалық симметрия дегеніміз – шеңбер бойында қозғалғанда, байланыстырылған объекті де «шеңбер тәрізді» өзгеруі керек, сәйкес түрде ілесіп отыруы керек. Формальдырақ айтқанда, теңдеулер шеңбердегі жергілікті координаттар жүйесінің өзгеруіне қатысты калибровкалық инвариантты болуы керек делінеді. U(1) үшін бұл жүйенің (кеңістік-уақыт) координатына тәуелді фазалық факторға көбейтілгенде өзгермейтіндігін білдіреді. Осы геометриялық тұрғыда зарядты конъюгациялауды кешенді конъюгацияны жүзеге асыратын дискретті симметрия деп түсінуге болады, ол шеңбер бойындағы бағыттың өзгеруін кері қайтарады.

Кванттық теорияда

Кванттық өріс теориясында зарядты конъюгациялауды бөлшектердің антибөлшектермен алмасу ретінде түсінуге болады. Бұл тұжырымды түсіну үшін кванттық өріс теориясының не екенін білу қажет. (Көп) оңайлатылған түсіндірме бойынша, бұл perturbation теориясы арқылы байланысты дифференциалдық теңдеулер жүйесіне шешім табу үшін есептеулер жасау тәсілі. Бұл процестің маңызды құрамдас бөлігі – жүйедегі әрбір (еркін, байланыспаған) дифференциалдық теңдеу үшін жеке кванттық өріс. Кванттық өріс әдетте былай жазылады:

мұндағы – импульс, – спин белгісі, – жүйедегі басқа күйлерді анықтауға арналған қосымша белгі. және – құру және жою операторлары (басқыш операторлары), ал – (еркін, өзара әрекеттеспейтін, байланыспаған) дифференциалдық теңдеудің шешімдері. Кванттық өріс орталық рөл атқарады, себебі, әдетте, байланысты дифференциалдық теңдеулер жүйесіне нақты шешім табу қалай болатыны белгісіз. Дегенмен, perturbation теориясы арқылы еркін өріс шешімдерінің комбинациясы түрінде жуық шешімдер құруға болады. Бұл құрылымды жүзеге асыру үшін, қажет болғанда, кез келген еркін өріс шешімін бөліп алып, онымен жұмыс істеуге болады. Кванттық өріс дәл осы мүмкіндікті ұсынады: ол векторлық кеңістіктегі барлық мүмкін еркін өріс шешімдерін тізімдейді, осылайша құру және жою операторлары арқылы олардың кез келгенін кез келген уақытта бөліп алуға болады. Құру және жою операторлары канондық коммутациялық қатынастарға бағынады, яғни бір оператор екіншісінің "құрған" нәрсені "жояды". Бұл кез келген берілген шешімнің өзіне сәйкес "антишешімімен" жұптастырылуы керек екенін білдіреді, осылайша біреуі екіншісін жояды немесе күшін жояды. Жұптастыру барлық симметриялар сақталатындай етіп жүзеге асырылуы тиіс. Лоренц инварианттығына қызығушылық танытумен байланысты, кванттық өріс барлық мүмкін Лоренц координаттық жүйелері бойынша интегралды қамтиды, жоғарыда барлық мүмкін импульстар бойынша интеграл ретінде жазылған (бұл координаттық жүйелер шоғырының талшығы бойынша интеграл). Жұптастыру үшін берілген шешім кері импульс және энергияға ие шешіммен байланыстырылуы керек. Кванттық өріс сонымен қатар барлық мүмкін спиндік күйлердің қосындысы болып табылады; екілік жұптастыру кері спиндерге сәйкес келеді. Сол сияқты, кез келген басқа кванттық сандар да қарама-қарсы болып жұптасады. Бұл екілік жұптастыруды жүзеге асыруда техникалық қиындықтар бар: белгілі бір шешімнің басқа шешімге "қос" болуының мағынасын анықтау және оны координаттық жүйелер шоғырының талшығы бойынша интеграциялау кезінде, спинді сипаттайтын талшықты интеграциялау кезінде және теорияда кездесетін кез келген басқа талшықтар бойынша интеграциялау кезінде екілік қасиетін сақтайтындай етіп сипаттау қажет. Егер интеграцияланатын талшық электромагнетизмнің U(1) талшығы болса, екілік жұптастыру талшықтағы бағытты (ориентацияны) керітеді. Егер интеграцияланатын талшық түсті зарядтың SU(3) талшығы болса, екілік жұптастыру тағы да ориентацияны керітеді. Бұл SU(3) үшін "жұмыс істейді", өйткені оның екі екілік негізгі өкілдігі бар, оларды табиғи түрде жұптастыруға болады. Кванттық өріс үшін бұл рецепт жүйедегі үздіксіз симметрияларды санап, екіліктерді үйлесімді және дәйекті түрде анықтауға болатын кез келген жағдайға табиғи түрде жалпыланады. Жұптастыру қарама-қарсы зарядтарды толық абстрактілі мағынада байланыстырады. Физикада заряд үздіксіз симметрия генераторымен байланысты. Әр түрлі зарядтар сол симметриялар үшін әмбебап орау алгебрасының Казимир инварианттарының әр түрлі өзіндік кеңістіктерімен байланысты. Бұл Лоренц симметриясы үшін де, кеңістіктегі кез келген талшықтар симметриясы үшін де орын алады. Екілік симметрия генераторын оның теріс мәнімен алмастырады. Осылайша, зарядты конъюгация симметриялар кеңістігінің түйіндік немесе анықтауыш түйіндік сызығы бойынша шағылысумен байланысты. Жоғарыда айтылғандар кванттық өріс теориясындағы кванттық өріс туралы жалпы идеяның эскизі болып табылады. Физикалық интерпретация бойынша, шешімдер бөлшектерге, ал шешімдер антибөлшектерге сәйкес келеді, сондықтан зарядты конъюгация екеуінің жұптасуы болып табылады. Бұл эскиз жалпы геометриялық жағдайда зарядты конъюгация қалай көрінетінін көрсету үшін жеткілікті меңзеулер береді. Perturbation теориясын қолдануға, кванттық өрістерді құруға ешқандай мәжбүрлі талаптар жоқ, олар perturbation кеңеюінде делдалдық рөл атқарады. Зарядты конъюгация жалпы параметрге беріледі.

where is the momentum, is a spin label, is an auxiliary label for other states in the system. The and are creation and annihilation operators (ladder operators) and are solutions to the (free, non interacting, uncoupled) differential equation in question. The quantum field plays a central role because, in general, it is not known how to obtain exact solutions to the system of coupled differential questions. However, via perturbation theory, approximate solutions can be constructed as combinations of the free field solutions. To perform this construction, one has to be able to extract and work with any one given free field solution, on demand, when required. The quantum field provides exactly this: it enumerates all possible free field solutions in a vector space such that any one of them can be singled out at any given time, via the creation and annihilation operators. The creation and annihilation operators obey the canonical commutation relations, in that the one operator "undoes" what the other "creates". This implies that any given solution must be paired with its "anti solution" so that one undoes or cancels out the other. The pairing is to be performed so that all symmetries are preserved. As one is generally interested in Lorentz invariance, the quantum field contains an integral over all possible Lorentz coordinate frames, written above as an integral over all possible momenta (it is an integral over the fiber of the frame bundle). The pairing requires that a given is associated with a of the opposite momentum and energy. The quantum field is also a sum over all possible spin states; the dual pairing again matching opposite spins. Likewise for any other quantum numbers, these are also paired as opposites. There is a technical difficulty in carrying out this dual pairing: one must describe what it means for some given solution to be "dual to" some other solution and to describe it in such a way that it remains consistently dual when integrating over the fiber of the frame bundle, when integrating (summing) over the fiber that describes the spin, and when integrating (summing) over any other fibers that occur in the theory. When the fiber to be integrated over is the U(1) fiber of electromagnetism, the dual pairing is such that the direction (orientation) on the fiber is reversed. When the fiber to be integrated over is the SU(3) fiber of the color charge, the dual pairing again reverses orientation. This "just works" for SU(3) because it has two dual fundamental representations and which can be naturally paired. This prescription for a quantum field naturally generalizes to any situation where one can enumerate the continuous symmetries of the system, and define duals in a coherent, consistent fashion. The pairing ties together opposite charges in the fully abstract sense. In physics, a charge is associated with a generator of a continuous symmetry. Different charges are associated with different eigenspaces of the Casimir invariants of the universal enveloping algebra for those symmetries. This is the case for both the Lorentz symmetry of the underlying spacetime manifold, as well as the symmetries of any fibers in the fiber bundle posed above the spacetime manifold. Duality replaces the generator of the symmetry with minus the generator. Charge conjugation is thus associated with reflection along the line bundle or determinant bundle of the space of symmetries. The above then is a sketch of the general idea of a quantum field in quantum field theory. The physical interpretation is that solutions correspond to particles, and solutions correspond to antiparticles, and so charge conjugation is a pairing of the two. This sketch also provides enough hints to indicate what charge conjugation might look like in a general geometric setting. There is no particular forced requirement to use perturbation theory, to construct quantum fields that will act as middle men in a perturbative expansion. Charge conjugation can be given a general setting.

Геометрияда

Жалпы Риманн және псевдо-Риманн көптүрліліктері үшін тангенс буы, котангенс буы және оларды байланыстыратын метрика болады. Осы жағдайға тап болғанда, істеуге болатын бірнеше қызықты нәрсе бар. Бірі – тегіс құрылым көптүрлілікте дифференциалдық теңдеулерді қоюға мүмкіндік береді; тангенс және котангенс кеңістіктері көптүрлілікте есептеулер жасау үшін жеткілікті құрылымды қамтамасыз етеді. Ең қызықтысы – Лапласиан және тұрақты мүшесі бар Клейн-Гордон операторы. Котангенс буы, негізгі құрылымы бойынша, әрқашан симплектикалық көптүрлілік болып табылады. Симплектикалық көптүрліліктерде каноникалық координаттар болады, олар позиция және импульс ретінде түсіндіріледі және каноникалық коммутациялық қатынастарды сақтайды. Бұл дуалдықты осы жалпы жағдайға кеңейтуге қажетті негізгі инфрақұрылымды қамтамасыз етеді, соның ішінде заряд конъюгациясын да. Екінші қызықты нәрсе – спиндік құрылымды құру. Бұл туралы ең таң қалдыратын нәрсе – ол (1,3) өлшемді Минковски кеңістігінде өмір сүретін спиндердің дәстүрлі физикалық түсінігінің өлшемді псевдо-Риманн көптүрлілігіне өте таныс жалпылауы болып табылады. Құрылыс Клиффорд буы мен спиндік көптүрлілікті құру үшін күрделі Клиффорд алгебрасы арқылы өтеді. Бұл құрылыстың соңында Дирак спиндерімен және Дирак теңдеуімен таныс болсаңыз, таңқаларлықтай таныс жүйеге ие боласыз. Осы жалпы жағдайға бірнеше ұқсастықтар бар. Біріншіден, спиндер Вейл спиндері болып табылады және олар күрделі жұптасқан жұптар түрінде келеді. Олар табиғи түрде антикоммутациялайды (бұл Клиффорд алгебрасынан туындайды), бұл Паулидің тыйым салу принципімен байланыс орнату үшін қажетті нәрсе. Тағы бір нәрсе – бұл спиндерді сол және оң жақша подкеңістіктерге бөлетін хиральдық элементтің болуы, ол гамма матрицасына ұқсас. Комплекстендіру – бұл маңызды құрамдас бөлік және ол осы жалпыланған жағдайда «электромагнетизмді» қамтамасыз етеді. Спинорлық буы псевдоортогональды топтың астында «тек» түрленбейді, Лоренц тобының жалпылауы, бірақ үлкен топтың астында, күрделі спиндік топ. Бұл топты электромагнетизммен бірнеше түрлі жолмен байланыстыруға болады. Бір жолы – спиндік көптүрліліктің Дирак операторлары, квадраттағанда, байланыстың сол бөлігінен туындайтын мүшесін қамтиды. Бұл қарапайым Минковски кеңістік-уақытында қарапайым Дирак теңдеуін квадраттағанда болатын нәрсеге толыққанды ұқсас. Екінші көрсеткіш – бұл мүше спин құрылымының детерминанттық буымен байланысты, ол күрделі конъюгация арқылы сол және оң жақ спиндерді тиімді түрде байланыстырады. Қалғаны – жоғарыда аталған құрылымның дискретті симметрияларын қарастыру. P симметриясы мен T симметриясын жалпылайтын бірнеше симметриялар бар. Өлшемдерді уақытпен, ал қалған өлшемдерді кеңістікпен сәйкестендіре отырып, өлшемдік подкеңістіктегі тангенс векторларын кері бұру арқылы уақыттың керілігін алуға болады, ал өлшемдердің бағытын өзгерту теңдікке сәйкес келеді. C симметриясын сызықтық будадағы шағылыс ретінде анықтауға болады. Осының бәрін түйінге біріктіру үшін, соңында, Клиффорд алгебрасының элементтерін кері (транспонирленген) тәртіппен жазуға болады. Нәтижесінде, емес ғана дәстүрлі физикалық идеялар, сонымен қатар дискретті симметриялар да жалпы Риманн жағдайына көшеді. Мұндай жағдайға екі түрлі реакция болуы мүмкін. Біріншіден, оны қызықты жайт ретінде қарастыруға болады. Екіншісі – төмен өлшемдерде (төмен өлшемді кеңістікте) әртүрлі Ли тобы мен басқа да құрылымдар арасында көптеген «кездейсоқ» изоморфизмдер бар екенін түсіну. Оларды жалпы жағдайда қарастыру осы қатынастарды ажыратып, «бұл заттар қайдан пайда болады» дегенді анық көрсетеді.

For general Riemannian and pseudo Riemannian manifolds, one has a tangent bundle, a cotangent bundle and a metric that ties the two together. There are several interesting things one can do, when presented with this situation. One is that the smooth structure allows differential equations to be posed on the manifold; the tangent and cotangent spaces provide enough structure to perform calculus on manifolds. Of key interest is the Laplacian, and, with a constant term, what amounts to the Klein–Gordon operator. Cotangent bundles, by their basic construction, are always symplectic manifolds. Symplectic manifolds have canonical coordinates interpreted as position and momentum, obeying canonical commutation relations. This provides the core infrastructure to extend duality, and thus charge conjugation, to this general setting. A second interesting thing one can do is to construct a spin structure. Perhaps the most remarkable thing about this is that it is a very recognizable generalization to a dimensional pseudo Riemannian manifold of the conventional physics concept of spinors living on a (1,3) dimensional Minkowski spacetime. The construction passes through a complexified Clifford algebra to build a Clifford bundle and a spin manifold. At the end of this construction, one obtains a system that is remarkably familiar, if one is already acquainted with Dirac spinors and the Dirac equation. Several analogies pass through to this general case. First, the spinors are the Weyl spinors, and they come in complex conjugate pairs. They are naturally anti commuting (this follows from the Clifford algebra), which is exactly what one wants to make contact with the Pauli exclusion principle. Another is the existence of a chiral element, analogous to the gamma matrix which sorts these spinors into left and right handed subspaces. The complexification is a key ingredient, and it provides "electromagnetism" in this generalized setting. The spinor bundle doesn't "just" transform under the pseudo orthogonal group , the generalization of the Lorentz group , but under a bigger group, the complexified spin group It is bigger in that it has a double covering by

The piece can be identified with electromagnetism in several different ways. One way is that the Dirac operators on the spin manifold, when squared, contain a piece with arising from that part of the connection associated with the piece. This is entirely analogous to what happens when one squares the ordinary Dirac equation in ordinary Minkowski spacetime. A second hint is that this piece is associated with the determinant bundle of the spin structure, effectively tying together the left and right handed spinors through complex conjugation. What remains is to work through the discrete symmetries of the above construction. There are several that appear to generalize P symmetry and T symmetry. Identifying the dimensions with time, and the dimensions with space, one can reverse the tangent vectors in the dimensional subspace to get time reversal, and flipping the direction of the dimensions corresponds to parity. The C symmetry can be identified with the reflection on the line bundle. To tie all of these together into a knot, one finally has the concept of transposition, in that elements of the Clifford algebra can be written in reversed (transposed) order. The net result is that not only do the conventional physics ideas of fields pass over to the general Riemannian setting, but also the ideas of the discrete symmetries. There are two ways to react to this. One is to treat it as an interesting curiosity. The other is to realize that, in low dimensions (in low dimensional spacetime) there are many "accidental" isomorphisms between various Lie groups and other assorted structures. Being able to examine them in a general setting disentangles these relationships, exposing more clearly "where things come from".

Кванттық өрістер үшін зарядты конъюгациялау

Жоғарыда тек бір бөлшектің шешімдері үшін зарядты конъюгациялау сипатталған. Дирак өрісі екінші квантталғанда, кванттық өріс теориясындағыдай, спинор және электромагниттік өрістер операторлармен сипатталады. Зарядты конъюгация инволюциясы бөлшектік өрістерге әсер ететін унитар оператор (каллиграфиялық шрифтпен) ретінде көрінеді, ол бұрын берілгендей каллиграфиялық емес 4×4 матрица арқылы өрнектеледі.

Электр әлсіз теориясындағы зарядтың кері айналуы

Зарядты конъюгация бөлшектердің хиралдығын өзгертпейді. Сол жаққа бұрылған нейтрино зарядты конъюгация арқылы сол жаққа бұрылған антинейтриноға айналады, ол Стандартты модельде өзара әрекеттеспейді. Осы қасиет әлсіз өзара әрекеттесудегі С симметриясының "ең жоғары деңгейде бұзылуы" дегенді білдіреді. Стандартты модельдің кейбір болжамды кеңейтімдері, мысалы сол-оң модельдер, осы С симметриясын қайта жасайды.

Жүктілік пен паритеттілік терістеудің комбинациясы

Біраз уақыт бойы C симметриясы, паритет инверсиясы түрлендіруімен (P симметриясын қараңыз) біріктіріліп, осылайша біртұтас CP симметриясын сақтауға болады деп есептелді. Дегенмен, әлсіз өзара әрекеттесулерде (әсіресе каондар мен B мезондарында) осы симметрияның бұзылуы анықталды. Стандартты модельде CP симметриясының бұзылуы CKM матрицасындағы бір фазаға байланысты. Егер CP уақыттың кері жүруімен (T симметриясы) біріктірілсе, нәтижедегі CPT симметриясы Wightman аксиомаларын ғана қолдану арқылы жалпыға ортақ сақталады деп көрсетуге болады.