Релятивистское описание фермионов: Уравнение Майораны и его симметрии.

Введение

Релятивистское волновое описание фермионов
В физике уравнение Майораны является релятивистским волновым уравнением. Оно названо в честь итальянского физика Этторе Майораны, который предложил его в 1937 году как способ описания фермионов, являющихся собственными античастицами. Частицы, соответствующие этому уравнению, называются частицами Майораны, хотя этот термин сейчас имеет более широкое значение, относясь к любой (возможно, нерелятивистской) фермионной частице, которая является собственной античастицей (и, следовательно, электрически нейтральной). Существуют предположения, что массивные нейтрино описываются частицами Майораны; существуют различные расширения Стандартной модели, которые допускают это. В статье о частицах Майораны представлен текущий статус экспериментальных поисков, включая подробности о нейтрино. Данная статья фокусируется главным образом на математическом развитии теории, с акцентом на дискретные и непрерывные симметрии. Дискретными симметриями являются конъюгация заряда, преобразование чётности и обращение времени; непрерывной симметрией является инвариантность Лоренца. Конъюгация заряда играет ключевую роль, поскольку является основной симметрией, позволяющей описывать частицы Майораны как электрически нейтральные. Особенно примечательным является то, что электрическая нейтральность позволяет свободно выбирать несколько глобальных фаз, по одной для левого и правого хиральных полей. Это означает, что без явных ограничений на эти фазы, поля Майораны естественным образом нарушают CP-инвариантность. Другой аспект электрической нейтральности заключается в том, что левое и правое хиральные поля могут иметь различные массы. То есть электрический заряд является инвариантом Лоренца и константой движения, в то время как хиральность является инвариантом Лоренца, но не является константой движения для массивных полей. Электрически нейтральные поля, таким образом, менее ограничены, чем заряженные поля. При конъюгации заряда две свободные глобальные фазы проявляются в выражениях для массы (поскольку они являются инвариантами Лоренца), и поэтому масса Майораны описывается комплексной матрицей, а не одним числом. Вкратце, дискретные симметрии уравнения Майораны значительно сложнее, чем для уравнения Дирака, где симметрия электрического заряда ограничивает и устраняет эти свободы.

Relativistic wave description of fermions
In physics, the Majorana equation is a relativistic wave equation. It is named after the Italian physicist Ettore Majorana, who proposed it in 1937 as a means of describing fermions that are their own antiparticle. Particles corresponding to this equation are termed Majorana particles, although that term now has a more expansive meaning, referring to any (possibly non relativistic) fermionic particle that is its own anti particle (and is therefore electrically neutral). There have been proposals that massive neutrinos are described by Majorana particles; there are various extensions to the Standard Model that enable this. The article on Majorana particles presents status for the experimental searches, including details about neutrinos. This article focuses primarily on the mathematical development of the theory, with attention to its discrete and continuous symmetries. The discrete symmetries are charge conjugation, parity transformation and time reversal; the continuous symmetry is Lorentz invariance. Charge conjugation plays an outsize role, as it is the key symmetry that allows the Majorana particles to be described as electrically neutral. A particularly remarkable aspect is that electrical neutrality allows several global phases to be freely chosen, one each for the left and right chiral fields. This implies that, without explicit constraints on these phases, the Majorana fields are naturally CP violating. Another aspect of electric neutrality is that the left and right chiral fields can be given distinct masses. That is, electric charge is a Lorentz invariant, and also a constant of motion; whereas chirality is a Lorentz invariant, but is not a constant of motion for massive fields. Electrically neutral fields are thus less constrained than charged fields. Under charge conjugation, the two free global phases appear in the mass terms (as they are Lorentz invariant), and so the Majorana mass is described by a complex matrix, rather than a single number. In short, the discrete symmetries of the Majorana equation are considerably more complicated than those for the Dirac equation, where the electrical charge symmetry constrains and removes these freedoms.

Чисто реальная форма из четырех компонентов

Обычной отправной точкой является утверждение, что "уравнение Дирака можно записать в эрмитовой форме", когда гамма-матрицы берутся в представлении Майораны. Тогда уравнение Дирака записывается как

где – чисто вещественные симметричные матрицы 4×4, а – чисто мнимые антисимметричные матрицы; что необходимо для обеспечения эрмитовости оператора (части, заключенной в скобки). В этом случае можно найти чисто вещественные 4-спинорные решения уравнения; это и есть спиноры Майораны.

Основные идеи

Здесь приведены некоторые свойства уравнения Майораны, его решения и лагранжевой формулировки. Уравнение Майораны аналогично уравнению Дирака в том смысле, что включает четырехкомпонентные спиноры, гамма-матрицы и члены, описывающие массу, но содержит сопряженный по заряду спинор. В отличие от уравнения Вейля, которое описывает двухкомпонентные безмассовые спиноры. Решения уравнения Майораны можно интерпретировать как электрически нейтральные частицы, являющиеся собственными античастицами. По определению, оператор сопряжения заряда переводит частицу в ее античастицу, поэтому спинор Майораны обычно определяется как решение, при котором То есть, спинор Майораны является "своей собственной античастицей". Поскольку сопряжение заряда переводит электрически заряженную частицу в античастицу с противоположным зарядом, следует заключить, что спинор Майораны электрически нейтрален. Уравнение Майораны ковариантно относительно преобразований Лоренца, и из его спиноров можно построить различные лоренц-инвариантные скаляры. Это позволяет построить несколько различных лагранжианов для полей Майораны. Когда лагранжиан выражен через двухкомпонентные левые и правые хиральные спиноры, он может содержать три различных члена, описывающих массу: левые и правые массы Майораны, а также член массы Дирака. Эти члены физически проявляются как две различные массы; это ключевая идея механизма качели, используемого для описания нейтрино с малой массой, слабо взаимодействующих с частицами Стандартной модели, где правая компонента соответствует стерильному нейтрино при массах порядка масштаба GUT. Дискретные симметрии сопряжения C, P и T тесно связаны со свободно выбранным фазовым множителем оператора сопряжения заряда. Это проявляется в виде различных комплексных фаз в выражениях для масс. Это позволяет записать как CP-инвариантные, так и CP-нарушающие лагранжианы. Поля Майораны инвариантны относительно преобразований CPT, но эта инвариантность в некотором смысле "свободнее", чем для заряженных частиц. Это связано с тем, что заряд является необходимо лоренц-инвариантным свойством и, следовательно, ограничен для заряженных полей. Нейтральные поля Майораны не имеют таких ограничений и могут смешиваться.

Some of the properties of the Majorana equation, its solution and its Lagrangian formulation are summarized here. The Majorana equation is similar to the Dirac equation, in the sense that it involves four component spinors, gamma matrices, and mass terms, but includes the charge conjugate of a spinor In contrast, the Weyl equation is for two component spinor without mass. Solutions to the Majorana equation can be interpreted as electrically neutral particles that are their own anti particle. By convention, the charge conjugation operator takes particles to their anti particles, and so the Majorana spinor is conventionally defined as the solution where That is, the Majorana spinor is "its own antiparticle". Insofar as charge conjugation takes an electrically charge particle to its anti particle with opposite charge, one must conclude that the Majorana spinor is electrically neutral. The Majorana equation is Lorentz covariant, and a variety of Lorentz scalars can be constructed from its spinors. This allows several distinct Lagrangians to be constructed for Majorana fields. When the Lagrangian is expressed in terms of two component left and right chiral spinors, it may contain three distinct mass terms: left and right Majorana mass terms, and a Dirac mass term. These manifest physically as two distinct masses; this is the key idea of the seesaw mechanism for describing low mass neutrinos with a left handed coupling to the Standard model, with the right handed component corresponding to a sterile neutrino at GUT scale masses. The discrete symmetries of C, P and T conjugation are intimately controlled by a freely chosen phase factor on the charge conjugation operator. This manifests itself as distinct complex phases on the mass terms. This allows both CP symmetric and CP violating Lagrangians to be written. The Majorana fields are CPT invariant, but the invariance is, in a sense "freer" than it is for charged particles. This is because charge is necessarily a Lorentz invariant property, and is thus constrained for charged fields. The neutral Majorana fields are not constrained in this way, and can mix.

Двухкомпонентное уравнение Майораны

Уравнение Майораны можно записать как с использованием реального четырехкомпонентного спинора, так и в виде комплексного двухкомпонентного спинора. Оба представления могут быть получены из уравнения Вейля путем добавления корректного лоренц-инвариантного массового члена. В этом разделе приводится явное построение и описание.

Электрический заряд

Появление обоих и в уравнении Майораны означает, что поле не может быть сопряжено с заряженным электромагнитным полем без нарушения закона сохранения заряда, поскольку частицы имеют заряд, противоположный заряду их античастиц. Для соблюдения этого ограничения необходимо считать электрически нейтральным. Это можно объяснить подробнее. Уравнение Дирака можно записать в чисто вещественной форме, если гамма-матрицы представлены в представлении Майораны. Тогда уравнение Дирака можно записать как

где – чисто вещественные симметричные матрицы, а – чисто мнимые антисимметричные матрицы. В этом случае можно найти чисто вещественные решения уравнения – это спиноры Майораны. Под действием преобразований Лоренца они преобразуются в соответствии с (чисто вещественной) спиновой группой. Это отличается от спиноров Дирака, которые ковариантны только относительно действия комплексифицированной спиновой группы. Интерпретация заключается в том, что комплексифицированная спиновая группа кодирует электромагнитный потенциал, а вещественная – нет. Это также можно сформулировать иначе: уравнение Дирака и спиноры Дирака содержат достаточную калибровочную свободу для естественного кодирования электромагнитных взаимодействий. Это можно увидеть, заметив, что электромагнитный потенциал можно очень просто добавить к уравнению Дирака, не требуя никаких дополнительных модификаций или расширений ни уравнения, ни спинора. Местоположение этой дополнительной степени свободы определяется оператором сопряжения зарядов, а наложение ограничения Майораны устраняет эту дополнительную степень свободы. После устранения невозможно установить связь с электромагнитным потенциалом, следовательно, спинор Майораны обязательно электрически нейтрален. Электромагнитное сопряжение можно получить только путем добавления обратно комплексного фазового множителя и сопряжения этого множителя с электромагнитным потенциалом. Вышесказанное можно уточнить, рассмотрев ситуацию в пространственных измерениях. В этом случае комплексифицированная спиновая группа имеет двойное накрытие посредством , где – окружность. Это означает, что кодирует обобщенные преобразования Лоренца (разумеется), а окружность может быть отождествлена с действием калибровочной группы на электрические заряды. То есть, действие калибровочной группы комплексифицированной спиновой группы на спинор Дирака можно разделить на чисто вещественную лоренцеву часть и электромагнитную часть. Это можно развить дальше на не плоских (не плоских в смысле Минковского) спиновых многообразиях. В этом случае оператор Дирака действует на спинорный пучок. Разложив его на отдельные члены, он включает в себя обычную ковариантную производную. Поле можно рассматривать как непосредственно возникающее из кривизны комплексифицированной части спинорного пучка, поскольку калибровочные преобразования сопряжены с комплексифицированной частью, а не с вещественной частью спинора. Тот факт, что поле соответствует электромагнитному потенциалу, можно увидеть, заметив, что (например) квадрат оператора Дирака равен лапласиану плюс скалярной кривизне (лежащего в основе многообразия, на котором находится спинорное поле) плюс (электромагнитному) тензору электромагнитного поля. Для случая Майораны действуют только преобразования Лоренца на спинор Майораны; комплексификация не играет никакой роли. Подробное рассмотрение этих вопросов можно найти в Jost, а случай – в Bleeker. К сожалению, ни в одном из этих текстов спинор Майораны не представлен в явном виде.

with being purely real symmetric matrices, and being purely imaginary skew symmetric. In this case, purely real solutions to the equation can be found; these are the Majorana spinors. Under the action of Lorentz transformations, these transform under the (purely real) spin group This stands in contrast to the Dirac spinors, which are only covariant under the action of the complexified spin group The interpretation is that complexified spin group encodes the electromagnetic potential, the real spin group does not. This can also be stated in a different way: the Dirac equation, and the Dirac spinors contain a sufficient amount of gauge freedom to naturally encode electromagnetic interactions. This can be seen by noting that the electromagnetic potential can very simply be added to the Dirac equation without requiring any additional modifications or extensions to either the equation or the spinor. The location of this extra degree of freedom is pin pointed by the charge conjugation operator, and the imposition of the Majorana constraint removes this extra degree of freedom. Once removed, there cannot be any coupling to the electromagnetic potential, ergo, the Majorana spinor is necessarily electrically neutral. An electromagnetic coupling can only be obtained by adding back in a complex number valued phase factor, and coupling this phase factor to the electromagnetic potential. The above can be further sharpened by examining the situation in spatial dimensions. In this case, the complexified spin group has a double covering by with the circle. The implication is that encodes the generalized Lorentz transformations (of course), while the circle can be identified with the action of the gauge group on electric charges. That is, the gauge group action of the complexified spin group on a Dirac spinor can be split into a purely real Lorentzian part, and an electromagnetic part. This can be further elaborated on non flat (non Minkowski flat) spin manifolds. In this case, the Dirac operator acts on the spinor bundle. Decomposed into distinct terms, it includes the usual covariant derivative The field can be seen to arise directly from the curvature of the complexified part of the spin bundle, in that the gauge transformations couple to the complexified part, and not the real spinor part. That the field corresponds to the electromagnetic potential can be seen by noting that (for example) the square of the Dirac operator is the Laplacian plus the scalar curvature (of the underlying manifold that the spinor field sits on) plus the (electromagnetic) field strength For the Majorana case, one has only the Lorentz transformations acting on the Majorana spinor; the complexification plays no role. A detailed treatment of these topics can be found in Jost while the case is articulated in Bleeker. Unfortunately, neither text explicitly articulates the Majorana spinor in direct form.

Кванты поля

Кванты уравнения Майораны допускают два класса частиц: нейтральную частицу и её нейтральную античастицу. Часто применяемое дополнительное условие соответствует спинору Майораны.

Частица майораны

Частицы, соответствующие спинорам Майораны, называются частицами Майораны из-за вышеупомянутого условия самосопряженности. Все фермионы, входящие в Стандартную модель, исключены из числа фермионов Майораны (поскольку они имеют ненулевой электрический заряд и не могут быть античастицами самих себя), за исключением нейтрино (которое является нейтральным). Теоретически, нейтрино может быть исключением из этого правила. В этом случае возможен безнейтринный двойной бета-распад, а также целый ряд распадов мезонов и заряженных лептонов с нарушением лептонного числа. В настоящее время проводится ряд экспериментов для проверки того, является ли нейтрино частицей Майораны.

Дополнительные сведения

"Наследие Майораны в современной физике", Электронный журнал теоретической физики (EJTP) том 3, выпуск 10 (апрель 2006) Специальный выпуск, посвященный столетию Этторе Майораны (1906–1938?). ISSN 1729-5254. Фрэнк Вильчек, (2009) "Майорана возвращается", Nature Physics, том 5, страницы 614–618.