Кіріспе
Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің сандық шешімдерін табуға қатысты әдіс. Математика және есептеу ғылымдарында Эйлер әдісі (немесе алдыңғы Эйлер әдісі) – берілген бастапқы шарттары бар қарапайым дифференциалдық теңдеулерді (ҚДТ) шешуге арналған бірінші реттік сандық процедура. Бұл қарапайым дифференциалдық теңдеулерді сандық интегралдаудың ең қарапайым және негізгі әдісі, сонымен қатар ең қарапайым Рунге-Кутта әдісі болып табылады. Эйлер әдісі алғаш рет 1768-1770 жылдары жарық көрген Institutionum calculi integralis атты кітабында ұсынған Леонхард Эйлердің есімімен аталады. Эйлер әдісі бірінші реттік әдіс, яғни жергілікті қателік (әр қадамдағы қателік) қадам өлшемінің квадратына пропорционал, ал жаһандық қателік (белгілі бір уақыттағы қателік) – қадам өлшеміне пропорционал. Эйлер әдісі көбінесе күрделірек әдістерді, мысалы, болжау-түзету әдісін құру үшін негіз ретінде қолданылады.
In mathematics and computational science, the Euler method (also called the forward Euler method) is a first order numerical procedure for solving ordinary differential equations (ODEs) with a given initial value. It is the most basic explicit method for numerical integration of ordinary differential equations and is the simplest Runge–Kutta method. The Euler method is named after Leonhard Euler, who first proposed it in his book Institutionum calculi integralis (published 1768–1770). The Euler method is a first order method, which means that the local error (error per step) is proportional to the square of the step size, and the global error (error at a given time) is proportional to the step size. The Euler method often serves as the basis to construct more complex methods, e. g., predictor–corrector method.
Мақсаты және оның тиімділігі
Берілген нүктеден басталып, берілген дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын белгісіз қисық сызықтың пішінін есептеу мәселесін қарастырайық. Мұнда дифференциалдық теңдеуді, қисықтың кез келген нүктесінде оның орны есептелгеннен кейін, қисыққа жанасатын түзудің еңістігін есептеуге мүмкіндік беретін формула ретінде қарастыруға болады. Идея мынада: қисық бастапқыда белгісіз болса да, оның бастапқы нүктесі белгілі (1-суретті қараңыз). Дифференциалдық теңдеуден бастапқы нүктедегі қисықтың еңістігін, содан кейін тангенс сызығын есептеуге болады. Сол тангенс сызығы бойымен кішкентай қадам жасап, бір нүктеге жетейік. Бұл кішкентай қадамда еңіс көп өзгермейді, сондықтан бұл нүкте қисыққа жақын болады. Егер бұл нүктенің де қисықта жатқанына сенсек, жоғарыдағы нүктеге қатысты қолданған логиканы қайтадан қолдануға болады. Бірнеше қадамнан кейін көпбұрышты қисық сызық есептеледі. Әдетте, бұл қисық бастапқы белгісіз қисықтан тым алыс кетпейді, және қадам мөлшері жеткілікті кішкентай болса және есептеу аралығы шекті болса, екі қисық арасындағы қателік азаяды.
Бірінші реттік процесс
Егер берілген мәндер және болса, ал функцияның туындысы берілген функция болып табылады және деп белгіленеді, келесідей бастаңыз: t осьіндегі әрбір қадамның мөлшері үшін мәнді таңдап, (немесе эквивалентті түрде) орнатыңыз. Осыдан кейін, Ойлер әдісі мен арасындағы мәнін табу үшін қолданылады:
-ның мәні – уақыт бойынша шешімнің жуықтамасы, яғни. Ойлер әдісі – эксплицитті, яғни шешім – үшін эксплицитті функция болып табылады.
Жалпы қысқарту қатесі
Глобалды қысқарту қатесі – бұл белгілі бір уақыттағы қате, бастапқы уақыттан осы уақытқа жету үшін әдіс қанша қадам жасаса, содан кейін туындайтын қате. Жаһандық кесу қатесі – әр қадамда жасалған жергілікті кесу қателерінің күммулятивтік әсері. Қадамдардың саны , бұл шама пропорционалды, ал әр қадамдағы қате пропорционалды болады (алдыңғы бөлімді қараңыз). Осылайша, жаһандық кесу қатесі пропорционалды болады деп күтілуге болады. Егер шешімнің екінші туындысы шектелген болса және екінші аргумент бойынша Липшиц тұрақтылығы сақталса, онда жаһандық кесу қатесі ( деп белгіленетін) келесімен шектеледі:
This intuitive reasoning can be made precise. If the solution has a bounded second derivative and is Lipschitz continuous in its second argument, then the global truncation error (denoted as ) is bounded by
мұнда – берілген аралықтағы шешімнің екінші туындысының жоғарғы шегі, ал – Липшиц тұрақтысы. Немесе, қарапайымдату үшін, егер , онда мәні ( тұрақты ретінде қарастырылады). Керісінше, функция – дәл шешім, ол тек айнымалыны қамтиды. Бұл шектің нақты түрінің практикалық маңызы жоқ, өйткені көп жағдайда шек Эйлер әдісінің жасаған нақты қатесінен әлдеқайда артық. Маңыздысы, ол жаһандық кесу қатесі (шамамен) пропорционалды екенін көрсетеді. Осы себепті Эйлер әдісі бірінші реттік әдіс деп аталады.
Мысал
Егер дифференциалдық теңдеуіміз және оның нақты шешімі болса, және бізді t=2.5 және h=0.5 кезіндегі және табуға қажет болса, онда t=2.5 және h=0.5 кезіндегі қателік шегін анықтай аламыз.
Айта кету керек, t0 саны 2-ге тең, себебі t үшін ең төменгі шек .
Дөңгелектеу қателері
Ойлер әдісінің әр қадамында дөңгелектеу қатесі шамамен машинаның эпсилонына тең болады. Дөңгелектеу қателері тәуелсіз кездейсоқ шамалар деп есептесек, күтілетін жалпы дөңгелектеу қатесі пропорционалды. Сондықтан, қадамның мөлшері өте кішкентай болғанда, кесу қатесі аз болады, бірақ дөңгелектеу қатесінің әсері үлкен болуы мүмкін. Ойлер әдісінің формуласында компенсацияланған қосым қолданса, дөңгелектеу қатесінің көп бөлігін оңай болдырмауға болады.
Танымал мәдениетте
"Сырмаланған сандар" фильмінде Кэтрин Гобл астронавт Джон Гленннің Жер орбитасынан қайта кіруін есептеу үшін Эйлер әдісін қолданады.