Введение
Подход к поиску численных решений обыкновенных дифференциальных уравнений
В математике и вычислительной науке метод Эйлера (также называемый методом прямого Эйлера) — это числовая процедура первого порядка для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданным начальным условием. Это наиболее простой явный метод для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и является самым простым методом Рунге — Кутты. Метод Эйлера назван в честь Леонарда Эйлера, который впервые предложил его в своей книге Institutionum calculi integralis (опубликована в 1768–1770 годах). Метод Эйлера является методом первого порядка, что означает, что локальная ошибка (ошибка на одном шаге) пропорциональна квадрату шага, а глобальная ошибка (ошибка в заданный момент времени) пропорциональна шагу. Метод Эйлера часто служит основой для построения более сложных методов, например, метода предсказателя-корректора.
Цель и почему она работает
Рассмотрим задачу вычисления формы неизвестной кривой, которая начинается в заданной точке и удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению. Здесь дифференциальное уравнение можно рассматривать как формулу, по которой можно вычислить наклон касательной к кривой в любой точке кривой, как только определено положение этой точки. Идея заключается в том, что, хотя кривая изначально неизвестна, её начальная точка, которую мы обозначим , известна (см. Рисунок 1). Затем, из дифференциального уравнения, можно вычислить наклон кривой в точке , и, следовательно, построить касательную прямую. Сделаем небольшой шаг вдоль этой касательной прямой до точки . На этом небольшом шаге наклон не меняется существенно, поэтому точка будет близка к кривой. Если предположить, что точка лежит на кривой, можно использовать ту же логику, что и для точки . После нескольких шагов вычисляется ломаная кривая. В общем случае, эта кривая не слишком сильно отклоняется от исходной неизвестной кривой, и погрешность между двумя кривыми можно уменьшить, если размер шага достаточно мал, а интервал вычислений конечен.
Процесс первого порядка
Когда заданы значения для и , а производная от является заданной функцией от и , обозначаемой как , начните процесс с установки . Далее, выберите значение для размера каждого шага по оси t и установите (или эквивалентно ). Теперь метод Эйлера используется для нахождения по значениям и :
Значение является приближением решения в момент времени , то есть . Метод Эйлера является явным, то есть решение является явной функцией от для .
Глобальная ошибка отрезания
Глобальная ошибка усечения – это ошибка в фиксированный момент времени, после выполнения необходимого количества шагов для достижения этого момента времени от начального. Глобальная ошибка усечения является кумулятивным эффектом локальных ошибок усечения, допущенных на каждом шаге. Количество шагов легко определить как , что пропорционально , а ошибка, допущенная на каждом шаге, пропорциональна (см. предыдущий раздел). Таким образом, следует ожидать, что глобальная ошибка усечения будет пропорциональна .
This intuitive reasoning can be made precise. If the solution has a bounded second derivative and is Lipschitz continuous in its second argument, then the global truncation error (denoted as ) is bounded by
where is an upper bound on the second derivative of on the given interval and is the Lipschitz constant of Or more simply, when , the value (such that is treated as a constant). In contrast, where function is the exact solution which only contains the variable. The precise form of this bound is of little practical importance, as in most cases the bound vastly overestimates the actual error committed by the Euler method. What is important is that it shows that the global truncation error is (approximately) proportional to For this reason, the Euler method is said to be first order.
Это интуитивное рассуждение можно сделать более точным. Если решение имеет ограниченную вторую производную, а функция Липшица-непрерывна по своему второму аргументу, то глобальная ошибка усечения (обозначаемая как ) ограничена следующим образом:
This intuitive reasoning can be made precise. If the solution has a bounded second derivative and is Lipschitz continuous in its second argument, then the global truncation error (denoted as ) is bounded by
where is an upper bound on the second derivative of on the given interval and is the Lipschitz constant of Or more simply, when , the value (such that is treated as a constant). In contrast, where function is the exact solution which only contains the variable. The precise form of this bound is of little practical importance, as in most cases the bound vastly overestimates the actual error committed by the Euler method. What is important is that it shows that the global truncation error is (approximately) proportional to For this reason, the Euler method is said to be first order.
где – верхняя граница второй производной на заданном интервале, а – константа Липшица. Или, проще говоря, когда , значение (при котором рассматривается как константа). В отличие от этого, где функция – точное решение, которое содержит только переменную . Точная форма этой границы имеет небольшое практическое значение, поскольку в большинстве случаев она значительно переоценивает фактическую ошибку, допущенную методом Эйлера. Важно то, что она показывает, что глобальная ошибка усечения (приблизительно) пропорциональна . По этой причине метод Эйлера называют методом первого порядка.
This intuitive reasoning can be made precise. If the solution has a bounded second derivative and is Lipschitz continuous in its second argument, then the global truncation error (denoted as ) is bounded by
where is an upper bound on the second derivative of on the given interval and is the Lipschitz constant of Or more simply, when , the value (such that is treated as a constant). In contrast, where function is the exact solution which only contains the variable. The precise form of this bound is of little practical importance, as in most cases the bound vastly overestimates the actual error committed by the Euler method. What is important is that it shows that the global truncation error is (approximately) proportional to For this reason, the Euler method is said to be first order.
Пример
Если у нас есть дифференциальное уравнение и точное решение , и мы хотим найти и при этом, то мы можем найти оценку погрешности при t=2.5 и h=0.5. Обратите внимание, что t0 равно 2, поскольку это нижняя граница для t в .
Notice that t0 is equal to 2 because it is the lower bound for t in .
Ошибки округления
В одном шаге метода Эйлера ошибка округления примерно равна величине, где ε – машинное эпсилон. Предполагая, что ошибки округления являются независимыми случайными величинами, ожидаемая общая ошибка округления пропорциональна √N. Таким образом, при чрезвычайно малых значениях шага ошибка усечения будет небольшой, но влияние ошибки округления может быть значительным. Большую часть влияния ошибки округления можно легко избежать, используя компенсированное суммирование в формуле метода Эйлера.
В популярной культуре
В фильме "Скрытые фигуры" Кэтрин Гобл использует метод Эйлера для расчета возвращения астронавта Джона Гленна из земной орбиты.