Кіріспе
Өмір сүру функциясын бағалау үшін қолданылатын параметрлік емес статистика – Каплан-Мейер бағалаушысы, сондай-ақ, өнім шегі бағалаушысы деп те аталады. Бұл өмірлік деректерден өмір сүру функциясын бағалау үшін пайдаланылатын параметрлік емес статистика. Медициналық зерттеулерде емдеуден кейін белгілі бір уақытқа дейін тірі қалған пациенттердің үлесін өлшеу үшін жиі қолданылады. Басқа салаларда Каплан-Мейер бағалаушысы жұмыстан босатылғаннан кейін адамдардың жұмыссыз қалған уақытын, машиналық бөліктердің бұзылу уақытын немесе жеміс жеушілердің жемістерді өсімдіктерде қанша уақыт қалдыратынын өлшеу үшін де қолданылуы мүмкін. Бұл бағалаушы Э. Каплан мен П. Мейердің құрметіне аталған, олар Америка Статистикалық Қауымдастығының журналына ұқсас қолжазбаларды ұсынған. Журнал редакторы Джон Туки оларды өз жұмыстарын бір мақалада біріктіруге көндірді, ол 1958 жылы жарияланғаннан бері 34 000-нан астам рет сілтеме жасалған. Өмір сүру функциясының бағалаушысы (өмір ұзақтығының ықтималдығы) келесідей беріледі:
The Kaplan–Meier estimator, also known as the product limit estimator, is a non parametric statistic used to estimate the survival function from lifetime data. In medical research, it is often used to measure the fraction of patients living for a certain amount of time after treatment. In other fields, Kaplan–Meier estimators may be used to measure the length of time people remain unemployed after a job loss, the time to failure of machine parts, or how long fleshy fruits remain on plants before they are removed by frugivores. The estimator is named after Edward L. Kaplan and Paul Meier, who each submitted similar manuscripts to the Journal of the American Statistical Association. The journal editor, John Tukey, convinced them to combine their work into one paper, which has been cited more than 34,000 times since its publication in 1958. The estimator of the survival function (the probability that life is longer than ) is given by:
with a time when at least one event happened, di the number of events (e. g., deaths) that happened at time , and the individuals known to have survived (have not yet had an event or been censored) up to time .
мұнда – кем дегенде бір оқиға болған уақыт, – сол уақытта болған оқиғалардың саны (мысалы, қаза болғандар), ал – сол уақытқа дейін тірі қалған (әлі оқиғаға ұшырамаған немесе цензураланған) адамдардың саны.
The Kaplan–Meier estimator, also known as the product limit estimator, is a non parametric statistic used to estimate the survival function from lifetime data. In medical research, it is often used to measure the fraction of patients living for a certain amount of time after treatment. In other fields, Kaplan–Meier estimators may be used to measure the length of time people remain unemployed after a job loss, the time to failure of machine parts, or how long fleshy fruits remain on plants before they are removed by frugivores. The estimator is named after Edward L. Kaplan and Paul Meier, who each submitted similar manuscripts to the Journal of the American Statistical Association. The journal editor, John Tukey, convinced them to combine their work into one paper, which has been cited more than 34,000 times since its publication in 1958. The estimator of the survival function (the probability that life is longer than ) is given by:
with a time when at least one event happened, di the number of events (e. g., deaths) that happened at time , and the individuals known to have survived (have not yet had an event or been censored) up to time .
Негізгі түсініктер
Каплан-Мейер бағалаушының графигі – бұл төмендейтін көлденең қадамдардың тізбегі, жеткілікті үлкен үлгі көлемімен бұл график сол популяцияның нақты өмір сүру функциясына жақындасады. Бір-бірінен ерекшеленетін екі тікелей бақылау арасындағы ("кликтер") өмір сүру функциясының мәні тұрақты деп есептеледі. Каплан-Мейер қисығының маңызды артықшылығы – бұл әдіс цензураланған деректердің кейбір түрлерін, әсіресе оң жақтан цензуралауды ескере алады. Оң жақтан цензуралау пациент зерттеуден шыққанда, оны бақылаудан шығарып тастағанда немесе соңғы бақылау кезінде ешқандай оқиға болмаған күйде тірі қалғанда пайда болады. Графикте тік сызықшалар оң жақтан цензураланған пациенттердің өмір сүру уақытын көрсетеді. Егер қысқарту немесе цензура болмаса, Каплан-Мейер қисығы эмпирикалық үлестіру функциясының толықтырушысы болып табылады. Медициналық статистикада, әдеттегі қолданылуы – пациенттерді топтарға бөлу, мысалы, А генінің профилі барлар мен В генінің профилі барлар. Графикте В генінің профилі бар пациенттер А генінің профилі барларға қарағанда әлдеқайда жылдам қайтыс болады. Екі жылдан кейін А генінің профилі бар пациенттердің шамамен 80% тірі қалады, ал В генінің профилі бар пациенттердің жартысынан да азы тірі қалады. Каплан-Мейер бағалауын жасау үшін әрбір пациент (немесе субъект) үшін кем дегенде екі дерек қажет: соңғы бақылаудағы жағдай (оқиғаның болуы немесе оң жақтан цензураланған) және оқиғаға (немесе цензураға) дейінгі уақыт. Егер екі немесе одан көп топтардың өмір сүру функцияларын салыстыру қажет болса, үшінші дерек қажет: әрбір субъектінің топқа жатқызылуы.
Мәселе анықтамасы
Кездейсоқ айнымалы болсын, оны ықтимал әсер ету кезеңінің басталуынан бастап, қызығушылық тудыратын оқиға орын алғанға дейінгі уақыт ретінде қарастырамыз. Жоғарыда көрсетілгендей, мақсат – жатқан негізгі тіршілік ету функциясын бағалау. Бұл функция былай анықталады: , мұнда – уақыт. Тәуелсіз, бірдей үлестірілген кездейсоқ айнымалылар болсын, олардың ортақ үлестірімі : – қандай да бір оқиғаның орын алған кездейсоқ уақыты. -ны бағалау үшін қолжетімді деректер – емес, бірақ жұптардың тізімі, мұнда , үшін – оқиғаның цензуралық уақыты болып табылатын нақты, детерминистік бүтін сан. Атап айтқанда, оқиғаның уақыты туралы ақпарат – оқиға белгіленген уақыттан бұрын орын алған-алмағаны және егер орын алған болса, оқиғаның нақты уақыты да қолжетімді. Осы деректерді ескере отырып, -ны бағалау міндеті тұр.
, where is the time. Let be independent, identically distributed random variables, whose common distribution is that of : is the random time when some event happened. The data available for estimating is not , but the list of pairs where for , is a fixed, deterministic integer, the censoring time of event and In particular, the information available about the timing of event is whether the event happened before the fixed time and if so, then the actual time of the event is also available. The challenge is to estimate given this data.
Kaplan Meier бағалаушының шығарылуы
Мұнда Каплан-Мейер бағалауының екі туындысын көрсетеміз. Екеуі де ақаулық немесе өлім-жітім көрсеткіштері деп аталатын нәрселер тұрғысынан тіршілік функциясын қайта жазуға негізделген. Бірақ, мұны жасаудан бұрын, қарапайым бағалаушыны қарастыру пайдалы.
Наив бағалаушы
Каплан-Мейер бағалаушының күшін түсіну үшін, ең алдымен өмір сүру функциясының қарапайым бағалауын сипаттаған жөн. Белгілі бір мәнді бекітіп алсақ, қарапайым аргумент мынадай ұсынысты көрсетеді:
Ұсыныс 1: Егер оқиғаның цензура уақыты , -дан асып кетсе, онда егер және ғана егер .
Let be such that It follows from the above proposition that
Осы ұсыныстан келіп, егер болса, онда қарастырайық. Осыдан кейін, тек оқиғаларды қарастырамыз, яғни, нәтижесі уақытқа дейін цензураланбаған оқиғаларды. Мұндағы элементтер саны болсын. Ескеріңіз, жиын кездейсоқ емес, сондықтан да кездейсоқ емес. Сондай-ақ, бұл бірдей параметрлі тәуелсіз, біркелкі үлестірілген Бернулли кездейсоқ шамаларының тізбегі болып табылады. деп есептесек, онда мына арқылы бағалауға болады:
мұндағы екінші теңдік себебі , болса, ал соңғы теңдік тек нотацияны өзгерту. Бұл бағалаудың сапасы оның мөлшерімен анықталады. Бұл кішкентай болғанда мәселелі болуы мүмкін, бұл анықтама бойынша көптеген оқиғалар цензураланған кезде болады. Бұл бағалаушының ерекше жағымсыз қасиеті, ол "ең жақсы" бағалаушы емес екенін көрсетеді, ол цензура уақыты алдын ала келген барлық бақылауларды елемейді. Интуитивті түрде, бұл бақылаулар әлі де ақпаратты қамтиды: мысалы, көптеген оқиғалар үшін , сондай-ақ, оқиғалар көбінесе ертерек орын алады деп қорытуға болады, бұл үлкенді білдіреді, ал бұл арқылы кіші болуы керек. Алайда, бұл ақпарат қарапайым бағалаушы тарапынан ескерілмейді. Сұрақ, содан кейін, барлық деректерді жақсы пайдаланатын бағалаушы бар ма? Осы мәселені Каплан-Мейер бағалаушы шешеді. Цензура болмаған жағдайда қарапайым бағалаушыны жақсарту мүмкін емес; сондықтан жақсарту мүмкін болуы цензураның болуына байланысты.
Жеңiлiктер мен шектеулер
Каплан-Мейер бағалауы – өмір сүруді талдаудың ең көп қолданылатын әдістерінің бірі. Бұл бағалау қалпына келу көрсеткіштерін, өлімнің ықтималдығын және емнің тиімділігін қарастыруға көмектеседі. Ковариаттарды ескергенде өмір сүруді бағалау мүмкіндігі шектеулі; параметрлік өмір сүру модельдері және Кокс пропорционалды қауіптер моделі ковариаттарды ескерген өмір сүруді бағалау үшін қолданылуы мүмкін. Каплан-Мейер бағалауы Нельсон-Ален бағалауымен тікелей байланысты, және екеуі де эмпирикалық ықтималдылықты максималдайды.
Бағдарламалық жасақтама
Mathematica: SurvivalModelFit функциясы тіршілік ету модельдерін жасайды. SAS: Kaplan–Meier бағалауы proc lifetest процедурасында іске асырылады. R: Kaplan–Meier бағалауы survival пакетінің бір бөлігі ретінде қолжетімді. Stata: sts командасы Kaplan–Meier бағалаушысын қайтарады. Python: lifelines және scikit-survival пакеттерінің әрқайсысы Kaplan–Meier бағалаушысын қамтиды. MATLAB: ecdf функциясы 'function','survivor' аргументтерімен Kaplan–Meier бағалаушысын есептейді немесе сызба жасайды. StatsDirect: Kaplan–Meier бағалауы тіршілік етуді талдау мәзірінде іске асырылады. SPSS: Kaplan–Meier бағалауы Анализ > Тіршілік ету > Kaplan Meier мәзірінде іске асырылады. Julia: Survival.jl пакеті Kaplan–Meier бағалаушысын қамтиды. Epi Info: Kaplan–Meier бағалаушының тіршілік ету қисықтары мен лог-ранг сынағының нәтижелері KMSURVIVAL командасымен алынады.