Введение

Непараметрический статистический метод, используемый для оценки функции выживания.

Оценочный показатель Каплана – Мейера, также известный как оценочный показатель предела произведения, является непараметрическим статистическим методом, используемым для оценки функции выживания на основе данных о длительности жизни. В медицинских исследованиях он часто применяется для определения доли пациентов, остающихся в живых в течение определенного периода времени после лечения. В других областях оценочные показатели Каплана – Мейера могут использоваться для измерения продолжительности безработицы после потери работы, времени до отказа деталей машин или срока, в течение которого мясистые плоды остаются на растениях до того, как их съедят плодоядные животные. Метод назван в честь Эдварда Л. Каплана и Пола Мейера, которые независимо друг от друга представили схожие рукописи в Журнал Американской статистической ассоциации. Редактор журнала, Джон Тьюки, убедил их объединить свои работы в одну статью, которая с момента публикации в 1958 году была процитирована более 34 000 раз. Оценщик функции выживания (вероятность того, что жизнь продолжится дольше, чем t) задается формулой:

где t – момент времени, когда произошло хотя бы одно событие, d<sub>t</sub> – количество событий (например, смертей), произошедших в момент времени t, а n<sub>t</sub> – количество индивидуумов, о которых известно, что они выжили (не подверглись событию или не были исключены из анализа по цензуре) к моменту времени t.

Основные понятия

График оценщика Каплана–Мейера представляет собой ряд убывающих горизонтальных ступеней, которые при достаточно большом размере выборки приближаются к истинной функции выживания для данной популяции. Считается, что значение функции выживания между последовательными различными зафиксированными наблюдениями ("кликами") остаётся постоянным. Важным преимуществом кривой Каплана–Мейера является то, что метод позволяет учитывать некоторые типы цензурированных данных, в частности, правостороннюю цензуру, которая возникает, если пациент выбывает из исследования, теряется для последующего наблюдения или остаётся в живых без наступления события на момент последнего наблюдения. На графике небольшие вертикальные отметки обозначают отдельных пациентов, время выживания которых было правосторонне цензурировано. При отсутствии усечения или цензуры кривая Каплана–Мейера является дополнением к эмпирической функции распределения. В медицинской статистике типичным применением может быть разделение пациентов на категории, например, пациентов с профилем гена А и пациентов с профилем гена В. На графике пациенты с геном В умирают значительно быстрее, чем пациенты с геном А. Через два года выживают около 80% пациентов с геном А, но менее половины пациентов с геном В. Для построения оценщика Каплана–Мейера требуется как минимум два параметра для каждого пациента (или субъекта): статус на момент последнего наблюдения (наступление события или правосторонняя цензура) и время до события (или время до цензуры). Если необходимо сравнить функции выживания между двумя или более группами, требуется третий параметр: принадлежность каждого субъекта к группе.

Определение проблемы

Пусть – случайная величина, которую мы рассматриваем как время, прошедшее между началом возможного периода наблюдения, , и моментом, когда происходит интересующее нас событие. Как указано выше, цель состоит в оценке функции выживания, лежащей в основе . Напомним, что эта функция определяется как

, где – время. Пусть – независимые, одинаково распределенные случайные величины, имеющие общее распределение, как у : – случайный момент, когда произошло некоторое событие. Данные, доступные для оценки , не являются , а представляют собой список пар , где для , – фиксированное, детерминированное целое число, время цензурирования события , и в частности, информация о времени события заключается в том, произошло ли событие до фиксированного времени , и если да, то доступно также и фактическое время события. Задача состоит в оценке на основе этих данных.

Выведение оценщика KaplanMeier

Здесь мы представляем два вывода формулы оценки Каплана–Мейера. Оба основаны на переформулировке функции выживания через то, что иногда называют функцией риска или интенсивностью смертности. Однако, прежде чем приступить к этому, целесообразно рассмотреть наивную оценку.

Наивный оценщик

Чтобы понять силу оценщика Каплана–Мейера, целесообразно сначала описать наивный оценщик функции выживания. Основный аргумент показывает, что следующее утверждение верно:

Утверждение 1: Если время цензурирования события превышает , то если и только если . Пусть такое, что . Из вышеуказанного утверждения следует, что

Пусть и рассмотрим только те , то есть события, для которых результат не был подвергнут цензуре до времени . Пусть – число элементов в . Обратите внимание, что множество не является случайным, и, следовательно, тоже. Кроме того, представляет собой последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин Бернулли с общим параметром . Предполагая, что , это наводит на мысль об оценке с использованием

где второе равенство следует из того, что влечет за собой , а последнее равенство – просто изменение обозначений. Качество этой оценки определяется размером . Это может быть проблематично, когда мало, что, по определению, происходит, когда многие события подвергаются цензуре. Особенно нежелательным свойством этого оценщика, которое заставляет задуматься, является ли он "наилучшим", является то, что он игнорирует все наблюдения, чье время цензурирования предшествует . Интуитивно, эти наблюдения все еще содержат информацию о : например, если для многих событий с , также выполняется, мы можем заключить, что события часто происходят рано, что подразумевает, что велико, а через – что должно быть малым. Однако эта информация игнорируется этим наивным оценщиком. Возникает вопрос, существует ли оценщик, который лучше использует все данные. Эту задачу решает оценщик Каплана–Мейера. Следует отметить, что наивный оценщик нельзя улучшить, когда цензурирование отсутствует; поэтому возможность улучшения критически зависит от наличия цензурирования.

Преимущества и ограничения

Оценка Каплана–Мейера – один из наиболее часто используемых методов анализа выживаемости. Оценка может быть полезна для изучения показателей выздоровления, вероятности смерти и эффективности лечения. Она ограничена в своей способности оценивать выживаемость с учетом ковариат; для оценки выживаемости, скорректированной с учетом ковариат, могут быть полезны параметрические модели выживаемости и модель пропорциональных рисков Кокса. Оценка Каплана–Мейера напрямую связана с оценкой Нельсона–Аалена, и обе они максимизируют эмпирическую вероятность.

Программное обеспечение

Mathematica: встроенная функция SurvivalModelFit создает модели выживаемости. SAS: оценка Каплана-Мейера реализована в процедуре lifetest. R: оценка Каплана-Мейера доступна как часть пакета survival. Stata: команда sts возвращает оценку Каплана-Мейера. Python: пакеты lifelines и scikit-survival включают в себя оценку Каплана-Мейера. MATLAB: функция ecdf с аргументами 'function','survivor' может рассчитывать или строить график оценки Каплана-Мейера. StatsDirect: оценка Каплана-Мейера реализована в меню "Анализ выживаемости". SPSS: оценка Каплана-Мейера реализована в меню "Анализ > Выживаемость > Каплан-Мейер". Julia: пакет Survival.jl включает в себя оценку Каплана-Мейера. Epi Info: кривые выживаемости оценки Каплана-Мейера и результаты лог-рангового теста получаются с помощью команды KMSURVIVAL.