Жолдар мен теміржолдардағы қисықтарға өту қисығының математикалық есептелуі
Track transition curve
Жолдар мен теміржолдардағы қисықтарға жайлы ақпарат. Өту қисықтары радиусты бірте-бірте өзгертіп, жайлылықты арттырады. Көлік қауіпсіздігін қамтамасыз етеді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық есептелген қисық, онда түзу бөлік қисыққа өтеді.
Mathematically calculated curve in which a straight section changes into a curve
Өтпелі қисық (сонымен қатар спиральді жеңілдету немесе жай ғана спираль) – бұл жол немесе теміржолдың спираль тәрізді бөлігі, ол әртүрлі профильдер мен радиустарға ие бөліктер арасында қолданылады, мысалы, түзу учаскелерден (тангенттерден) және қисықтардан, немесе екі түрлі қисық арасында. Көлденең жазықтықта өтпелі қисықтың радиусы оның ұзындығы бойында жалғасқан бөліктердің әртүрлі радиустары арасында үздіксіз өзгереді – мысалы, тангенттегі шексіз радиустан тегіс қисықтың номиналды радиусына дейін. Нәтижесінде пайда болатын спираль біртекті, жеңілдетілген өтуді қамтамасыз етеді, өтпелі қисық болмаған жағдайда пайда болатын тікелей (орталыққа қарайтын) үдеудің күтпеген, кенеттен өзгеруіне жол бермейді. Сол сияқты, жолдарда өтпелі қисықтар жүргізушілерге қисыққа кіргенде немесе одан шыққанда рульді біртіндеп бұруға мүмкіндік береді. Өтпелі қисықтар тік жазықтықта да өту ретінде қызмет етеді, онда қисықтың ішкі немесе сыртқы биіктігі қисық үшін қалыпты көлбеуге жету үшін төмендетіледі немесе көтеріледі.
A transition curve (also, spiral easement or, simply, spiral) is a spiral shaped length of highway or railroad track that is used between sections having different profiles and radii, such as between straightaways (tangents) and curves, or between two different curves. In the horizontal plane, the radius of a transition curve varies continually over its length between the disparate radii of the sections that it joins—for example, from infinite radius at a tangent to the nominal radius of a smooth curve. The resulting spiral provides a gradual, eased transition, preventing undesirable sudden, abrupt changes in lateral (centripetal) acceleration that would otherwise occur without a transition curve. Similarly, on highways, transition curves allow drivers to change steering gradually when entering or exiting curves. Transition curves also serve as a transition in the vertical plane, whereby the elevation of the inside or outside of the curve is lowered or raised to reach the nominal amount of bank for the curve.
Тарих
Ерте теміржолдарда, төмен жылдамдықтар мен кең радиусты бұрылыстардың болуына байланысты, геодезистер кез келген түзетулерді ескермеуге мүмкіндік алды. Бірақ 19-ғасырда жылдамдықтар артқан сайын, қисықтығы біртіндеп артатын рельс жолы қисығының қажеттілігі анық болды. Ранкиннің 1862 жылғы «Азаматтық инженерия» еңбегінде мұндай бірнеше қисықтар келтірілген, соның ішінде 1828 немесе 1829 жылғы Уильям Граваттың «синус қисығына» негізделген ұсынысы және шамамен 1842 жылы Уильям Фруде жасаған серпімді қисыққа жуықтап түзету қисығы. Ранкин берген нақты теңдеу – бұл 3-дәрежелі полиномдық қисық, сол кезде кубикалық парабола деп те аталған кубикалық қисық. Ұлыбританияда 1845 жылдан бастап, заңнама мен жер бағасы рельс жолдарының жобалауын шектегенде және тығыз бұрыштар қажет болғанда ғана, бұл принциптер практикалық қолдануға түсе бастады. Доға ұзындығы бойынша қисықтығы дәл сызықтық болатын «нағыз спиральды» есептеу үшін Ранкин келтірген ұсыныстарға қарағанда күрделі математикалық есептеулер қажет (әсіресе, оның ішкі теңдеуін интегралдау мүмкіндігі). 19-ғасырдың соңындағы бірнеше азаматтық инженерлер бұл қисықтың теңдеуін тәуелсіз түрде шығарған сияқты (барлығы да 1744 жылы Леонхард Эйлердің қисықтың бастапқы сипаттамасынан хабарсыз болды). Чарльз Крандалл 1880 жылғы 3 желтоқсандағы «Railroad Gazette» газетінде Эллис Холбрукқа бұл қисықтың алғашқы дәл сипаттамасын жасағанын айтады. Тағы бір ерте жарияланым – Артур Н. Талботтың 1890 жылы жарық көрген «Темір жолдың ауысу спиралі». 20-ғасырдың басындағы кейбір авторлар бұл қисықты «Гловер спиралі» деп атап, оны Джеймс Гловердің 1900 жылғы жарияланымымен байланыстырады. Темір жолдың ауысу спиралі мен клотоидтың эквиваленттілігі алғаш рет 1922 жылы Артур Ловат Хиггинс еңбегінде жарияланған.
On early railroads, because of the low speeds and wide radius curves employed, the surveyors were able to ignore any form of easement, but during the 19th century, as speeds increased, the need for a track curve with gradually increasing curvature became apparent. Rankine's 1862 "Civil Engineering" cites several such curves, including an 1828 or 1829 proposal based on the "curve of sines" by William Gravatt, and the curve of adjustment by William Froude around 1842 approximating the elastic curve. The actual equation given in Rankine is that of a cubic curve, which is a polynomial curve of degree 3, at the time also known as a cubic parabola. In the UK, only from 1845, when legislation and land costs began to constrain the laying out of rail routes and tighter curves were necessary, were the principles beginning to be applied in practice. The 'true spiral', whose curvature is exactly linear in arclength, requires more sophisticated mathematics (in particular, the ability to integrate its intrinsic equation) to compute than the proposals that were cited by Rankine. Several late 19th century civil engineers seem to have derived the equation for this curve independently (all unaware of the original characterization of the curve by Leonhard Euler in 1744). Charles Crandall gives credit to one Ellis Holbrook, in the Railroad Gazette, Dec. 3, 1880, for the first accurate description of the curve. Another early publication was The Railway Transition Spiral by Arthur N. Talbot, originally published in 1890. Some early 20th century authors call the curve "Glover's spiral" and attribute it to James Glover's 1900 publication. The equivalence of the railroad transition spiral and the clothoid seems to have been first published in 1922 by Arthur Lovat Higgins.
Геометрия
Темір жол геометриясы өзінен-өзі үш өлшемді болғанымен, практикалық мақсаттарда темір жол геометриясының тік және көлденең компоненттері әдетте жеке қарастырылады. Тік геометрияның жалпы жобалау үлгісі әдетте, жергілікті еңісі қашықтықпен сызықтық өзгеретін және сондықтан биіктігі қашықтықпен квадраттық өзгеретін тік өту қисықтарымен байланысты тұрақты еңісті сегменттердің тізбегі болып табылады. Мұнда еңіс дегеніміз – жолдың көтерілу бұрышының тангенсі. Көлденең геометрияның жобалау үлгісі әдетте тік сызық (яғни тангенс) және қисық (яғни шеңбер доғасы) сегменттерінің тізбегі болып табылады, олар өту қисықтарымен байланыстырылады. Темір жолдың көлбеулігі әдетте екі рельстің биіктігі арасындағы айырмашылық ретінде беріледі, бұл әдетте сандық түрде анықталады және суперэлевация деп аталады. Рельстердің биіктігі арасындағы мұндай айырмашылық, дененің қисық жолмен қозғалуына қажетті центростремителдік үдеуді өтеуге арналған, осылайша жолаушылардың/жүк жүктемесінің сезетін бүйірлік үдеуін азайтады, бұл жолаушылардың жайлылығын арттырады/жүк ауысу мүмкіндігін азайтады (тасымалдау кезінде жүктің қозғалуы, апаттар мен зақымдануларға әкелуі мүмкін). Суперэлевацияның рельстің бұрылу бұрышынан ерекше екенін атап өту маңызды, ол жеке рельстердің «көлбеулігін» сипаттау үшін қолданылады, ал емес бүкіл рельс құрылымының көлбеулігін, «рельстің жоғарғы жағындағы» биіктік айырмашылығы арқылы көрінетіндей. Жолдың көлденең орналасуына және суперэлевациясына қарамастан, жеке рельстер көбінесе дөңгелектердің қалыпты теміржол қозғалысы кезінде туындайтын көлденең күштерін өтеу үшін қазынды жағына қарай («габариттің» ішкі жағына) «домалауға»/«көлбеуге» бейімделген. Тангенс сегментіндегі нөлден келесі қисықтың денесі үшін таңдалған мәнге дейінгі суперэлевацияның өзгеруі тангенс пен қисықты байланыстыратын өту қисығының ұзындығында жүзеге асырылады. Өту қисығының бойымен жолдың қисықтығы да тангенс сегментінің соңындағы нөлден қисықтың денесінің қисықтығы мәніне дейін өзгереді, бұл қисықтың денесінің радиусының кері шамасына тең. Ең қарапайым және ең көп қолданылатын өту қисығының түрі – суперэлевация мен көлденең қисықтықтың жол бойындағы қашықтыққа байланысты сызықтық өзгеруі. Осы спираль бойындағы нүктелердің декарты координаталары Френель интегралдары арқылы беріледі. Нәтижесіндегі пішін Эйлер спиралының бөлігіне сәйкес келеді, ол көбінесе «клотоид» және кейде «Корну спиралі» деп аталады. Өту қисығы тұрақты нөлдік емес қисықтығы бар бір жол сегментін нөлдік немесе нөлдік емес белгісі бар тұрақты қисықтығы бар басқа сегментке жалғастыруы мүмкін. Бір бағыттағы бір-біріне ілеспес қисықтар кейде прогрессивті қисықтар деп аталады, ал қарама-қарсы бағыттағы бір-біріне ілеспес қисықтар кері қисықтар деп аталады. Эйлер спиралы жолдың суперэлевациясының (яғни жолдың бұрылуының) өзгеру жылдамдығының берілген шегіне сәйкес ең қысқа өтуді қамтамасыз етеді. Алайда, ұзақ уақыттан бері белгілі болғандай, оның үлкен (концептуалды түрде шексіз) роликтердің үдеуіне және әр шетіндегі центростремителдік үдеудің өзгеру жылдамдығына байланысты қолайсыз динамикалық сипаттамалары бар. Компьютерлердің мүмкіндіктерінің арқасында Эйлер спиралынан жақсы динамикалық сипаттамалары бар спиральдарды қолдану қазіргі кезде мүмкін болып отыр.
While railroad track geometry is intrinsically three dimensional, for practical purposes the vertical and horizontal components of track geometry are usually treated separately. The overall design pattern for the vertical geometry is typically a sequence of constant grade segments connected by vertical transition curves in which the local grade varies linearly with distance and in which the elevation therefore varies quadratically with distance. Here grade refers to the tangent of the angle of rise of the track. The design pattern for horizontal geometry is typically a sequence of straight line (i. e., a tangent) and curve (i. e. a circular arc) segments connected by transition curves. The degree of banking in railroad track is typically expressed as the difference in elevation of the two rails, commonly quantified and referred to as the superelevation. Such difference in the elevation of the rails is intended to compensate for the centripetal acceleration needed for an object to move along a curved path, so that the lateral acceleration experienced by passengers/the cargo load will be minimized, which enhances passenger comfort/reduces the chance of load shifting (movement of cargo during transit, causing accidents and damage). It is important to note that superelevation is not the same as the roll angle of the rail which is used to describe the "tilting" of the individual rails instead of the banking of the entire track structure as reflected by the elevation difference at the "top of rail". Regardless of the horizontal alignment and the superelevation of the track, the individual rails are almost always designed to "roll"/"cant" towards gage side (the side where the wheel is in contact with the rail) to compensate for the horizontal forces exerted by wheels under normal rail traffic. The change of superelevation from zero in a tangent segment to the value selected for the body of a following curve occurs over the length of a transition curve that connects the tangent and the curve proper. Over the length of the transition the curvature of the track will also vary from zero at the end abutting the tangent segment to the value of curvature of the curve body, which is numerically equal to one over the radius of the curve body. The simplest and most commonly used form of transition curve is that in which the superelevation and horizontal curvature both vary linearly with distance along the track. Cartesian coordinates of points along this spiral are given by the Fresnel integrals. The resulting shape matches a portion of an Euler spiral, which is also commonly referred to as a "clothoid", and sometimes "Cornu spiral". A transition curve can connect a track segment of constant non zero curvature to another segment with constant curvature that is zero or non zero of either sign. Successive curves in the same direction are sometimes called progressive curves and successive curves in opposite directions are called reverse curves. The Euler spiral provides the shortest transition subject to a given limit on the rate of change of the track superelevation (i. e. the twist of the track). However, as has been recognized for a long time, it has undesirable dynamic characteristics due to the large (conceptually infinite) roll acceleration and rate of change of centripetal acceleration at each end. Because of the capabilities of personal computers it is now practical to employ spirals that have dynamics better than those of the Euler spiral.