Нонлинейдік жүйелерді талдаудың сипаттамалық функция әдісі
Describing function
Сипаттамалық функция әдісі: нөлдік емес емес жүйелерді талдау, лимит циклдарын анықтау, өнеркәсіптік басқаруда қолданылуы. Көшінбургер, Крылов, Боголюбов.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Басқару жүйелері теориясында, 1930 жылдары Николай Митрофанович Крылов және Николай Боголюбов әзірлеген, ал Ральф Коченбургер кеңейткен функцияны сипаттау (DF) әдісі – белгілі бір сызықтық емес басқару мәселелерін талдауға арналған шамамен есептеу әдісі. Ол квази-сызықтылыққа негізделген, яғни зертенетін сызықтық емес жүйенің кіріс толқын формасының амплитудасына байланысты сызықтық уақыт инварианты (LTI) беру функциясымен жуықтауы. Белгілі бір анықтама бойынша, нақты LTI жүйесінің беру функциясы кіріс функциясының амплитудасына тәуелді болмайды, себебі LTI жүйесі сызықтық қасиетке ие. Осылайша, амплитудаға тәуелділік сызықтық емес жүйенің ерекше мінез-құлқының маңызды ерекшеліктерін анықтауға бағытталған сызықтық жүйелер отбасын құрайды. Функцияны сипаттау – сызықтық емес жүйелерді жобалаудың аз ғана кеңінен қолданылатын әдістерінің бірі және өнеркәсіптік процестерді басқару, сервомеханизмдер және электрондық осцилляторлар сияқты жабық циклді басқару құрылғыларындағы шекті циклдерді талдау үшін стандартты математикалық құрал ретінде кеңінен қолданылады.
In control systems theory, the describing function (DF) method, developed by Nikolay Mitrofanovich Krylov and Nikolay Bogoliubov in the 1930s, and extended by Ralph Kochenburger is an approximate procedure for analyzing certain nonlinear control problems. It is based on quasi linearization, which is the approximation of the non linear system under investigation by a linear time invariant (LTI) transfer function that depends on the amplitude of the input waveform. By definition, a transfer function of a true LTI system cannot depend on the amplitude of the input function because an LTI system is linear. Thus, this dependence on amplitude generates a family of linear systems that are combined in an attempt to capture salient features of the non linear system behavior. The describing function is one of the few widely applicable methods for designing nonlinear systems, and is very widely used as a standard mathematical tool for analyzing limit cycles in closed loop controllers, such as industrial process controls, servomechanisms, and electronic oscillators.
Әдіс
Үздіксіз емес (бірақ бөлікше-үздіксіз) сызықтық емес кері байланыс (мысалы, қанығу күшейткіші немесе өлі аймақ әсері бар элемент) баяу, тұрақты сызықтық жүйемен каскадталған кезде қарастырылады. Сызықтық емес элементке кері байланыс ұсынылатын үздіксіз аймақ сызықтық жүйенің шығысының амплитудасына байланысты. Сызықтық жүйенің шығыс амплитудасы төмендегенде, сызықтық емес элемент басқа бір үздіксіз аймаққа өтуі мүмкін. Мұндай бір үздіксіз аймақтан екіншісіне ауысу мерзімді тербелістерді тудыруы мүмкін. Функцияны сипаттау әдісі, баяу жүйенің барлық энергияны бір жиілікке шоғырландыратын төмен өткізгіш немесе жолақты өткізгіш сүзгі сияқты әрекет етеді деп есептеу арқылы осы тербелістердің сипаттамаларын (мысалы, негізгі жиілігін) болжауға тырысады. Шығыс толқыны бірнеше режимге ие болса да, бұл әдіс жиілік және мүмкін амплитуда сияқты қасиеттер туралы түсінік бере алады; осы жағдайда функцияны сипаттау әдісі кері байланыс жүйесінің сырғалмалы режимін сипаттау ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл төмен өткізгіш ережесін пайдаланып, жүйе жауабы синусоидалық толқын формаларының бір отбасымен сипатталуы мүмкін; осы жағдайда жүйе синустық кіріс сипаттамалық функциясы (SIDF) арқылы сипатталады, ол A амплитудасы және жиілігі бар синусоидалық толқыннан тұратын кіріске жүйе жауабын береді. Бұл SIDF – сызықтық жүйелерді сипаттау үшін қолданылатын трансферт функциясының модификациясы. Квазисызықтық жүйеде кіріс синусоидалық толқын болған кезде, шығыс сол жиіліктегі синусоидалық толқын болады, бірақ масштабталған амплитудамен және фазалық ығысымен беріледі. Көптеген жүйелер шамамен квазисызықтық болып табылады, себебі кіріске жауап таза синусоидалық толқын болмаса да, шығыстағы энергияның көп бөлігі кіріс жиілігімен сәйкес келеді. Бұл жүйелердің ішкі төмен өткізгіш немесе жолақты өткізгіш қасиеттері болуынан, гармоникалардың табиғи түрде әлсіреуінен немесе осы мақсатта сыртқы сүзгілердің қосылуынан туындауы мүмкін. SIDF техникасының маңызды қолданысы – синусоидалық электронды осцилляторлардағы тербеліс амплитудасын бағалау. Деңгейлік кіріс және Гаусс шуы кірісі үшін DF сияқты функцияларды сипаттаудың басқа түрлері де қолданылады. Жүйенің толық сипаттамасы болмаса да, DF көбінесе басқару және тұрақтылық туралы нақты сұрақтарға жауап беруге жеткілікті. DF әдістері салыстырмалы түрде әлсіз сызықтықсыз жүйелерді талдау үшін ең қолайлы. Сонымен қатар, жоғары реттік синусоидалық кіріс сипаттамалық функциялары (HOSIDF) синусоидалық кірістің кіріс жиілігінің гармоникаларындағы сызықтық емес жүйелер класының жауабын сипаттайды. HOSIDF – жауабында сызықтық емес ерекшеліктері маңызды жүйелер үшін SIDF-тің кеңейтілген түрі.
Consider feedback around a discontinuous (but piecewise continuous) nonlinearity (e. g., an amplifier with saturation, or an element with deadband effects) cascaded with a slow stable linear system. The continuous region in which the feedback is presented to the nonlinearity depends on the amplitude of the output of the linear system. As the linear system's output amplitude decays, the nonlinearity may move into a different continuous region. This switching from one continuous region to another can generate periodic oscillations. The describing function method attempts to predict characteristics of those oscillations (e. g., their fundamental frequency) by assuming that the slow system acts like a low pass or bandpass filter that concentrates all energy around a single frequency. Even if the output waveform has several modes, the method can still provide intuition about properties like frequency and possibly amplitude; in this case, the describing function method can be thought of as describing the sliding mode of the feedback system. Using this low pass assumption, the system response can be described by one of a family of sinusoidal waveforms; in this case the system would be characterized by a sine input describing function (SIDF) giving the system response to an input consisting of a sine wave of amplitude A and frequency This SIDF is a modification of the transfer function used to characterize linear systems. In a quasi linear system, when the input is a sine wave, the output will be a sine wave of the same frequency but with a scaled amplitude and shifted phase as given by Many systems are approximately quasi linear in the sense that although the response to a sine wave is not a pure sine wave, most of the energy in the output is indeed at the same frequency as the input. This is because such systems may possess intrinsic low pass or bandpass characteristics such that harmonics are naturally attenuated, or because external filters are added for this purpose. An important application of the SIDF technique is to estimate the oscillation amplitude in sinusoidal electronic oscillators. Other types of describing functions that have been used are DFs for level inputs and for Gaussian noise inputs. Although not a complete description of the system, the DFs often suffice to answer specific questions about control and stability. DF methods are best for analyzing systems with relatively weak nonlinearities. In addition the higher order sinusoidal input describing functions (HOSIDF), describe the response of a class of nonlinear systems at harmonics of the input frequency of a sinusoidal input. The HOSIDFs are an extension of the SIDF for systems where the nonlinearities are significant in the response.
Қақпақтар
Функцияны сипаттау әдісі жүйелердің кең класы үшін лайықты дәлдікте нәтижелер бере алса да, кейбіреулері үшін мүлдем дұрыс емес болуы мүмкін. Мысалы, егер жүйе сызықтық емес функцияның жоғары гармоникаларын күшейтсе, әдіс сәтсіздікке ұшырауы мүмкін. Мұндай мысалдарды Цыпкин банг-банг жүйелері үшін келтірген. Осыған ұқсас мысал – бұл Шмитт триггерінен кейін келетін инверттеуші интегратордан тұратын, және интегратордың шығысы Шмитт триггерінің кірісіне кері байланыс беретін жабық циклді осциллятор. Шмитт триггерінің шығысы тіктөртбұрышты толқын болады, ал интегратордың (одан кейін) шығысы үшбұрышты толқын болады, оның шыңдары тіктөртбұрышты толқынның өзгеруімен сәйкес келеді. Осы екі осциллятор сатысының әрқайсысы сигналды шамамен 90 градусқа қалыптастырады (өзінің кірісіне қатысты). Егер осы тізбекке DF-талдау жүргізсек, Шмитт триггерінің кірісіндегі үшбұрышты толқын негізгі (синус толқынымен) алмастырылады, ол триггерден өту кезінде 90 градустан кем фазалық өзгеріске әкеледі (өйткені синус толқыны үшбұрышты толқынға қарағанда ертерек іске қосылады), сондықтан жүйе сол (жай) тәсілде тербелмейтіндей болады. Сонымен қатар, егер Айзерманның немесе Калманның болжамдарына сәйкес жағдайлар орындалса, функцияны сипаттау әдісімен периодтық шешімдер жоқ, бірақ жасырылған периодтық тартымдылықтары бар қарсы мысалдар белгілі. Функцияны сипаттау әдісіне қарсы мысалдарды үзіліссіз динамикалық жүйелер үшін құрастыруға болады, егер тынығу сегменті болжамдалған шекті циклдарды жойса. Сондықтан функцияны сипаттау әдісін қолдану үшін қосымша негіздеме қажет.
Although the describing function method can produce reasonably accurate results for a wide class of systems, it can fail badly for others. For example, the method can fail if the system emphasizes higher harmonics of the nonlinearity. Such examples have been presented by Tzypkin for bang–bang systems. A fairly similar example is a closed loop oscillator consisting of a non inverting Schmitt trigger followed by an inverting integrator that feeds back its output to the Schmitt trigger's input. The output of the Schmitt trigger is going to be a square waveform, while that of the integrator (following it) is going to have a triangle waveform with peaks coinciding with the transitions in the square wave. Each of these two oscillator stages lags the signal exactly by 90 degrees (relative to its input). If one were to perform DF analysis on this circuit, the triangle wave at the Schmitt trigger's input would be replaced by its fundamental (sine wave), which passing through the trigger would cause a phase shift of less than 90 degrees (because the sine wave would trigger it sooner than the triangle wave does) so the system would appear not to oscillate in the same (simple) way. Also, in the case where the conditions for Aizerman's or Kalman conjectures are fulfilled, there are no periodic solutions by describing function method, but counterexamples with hidden periodic attractors are known. Counterexamples to the describing function method can be constructed for discontinuous dynamical systems when a rest segment destroys predicted limit cycles. Therefore, the application of the describing function method requires additional justification.