Қолдану K теориясы жол теориясында

Кіріспе

K теориясының жол теориясында қолданылуы

Жол теориясында K теориясының жіктелуі – бұл K теориясының (абстрактты алгебра және алгебралық топология салаларында) супержолдарға қолданылуының болжамы, рұқсат етілген Рамонд-Рамонд өрісінің күштерін, сондай-ақ тұрақты D-брандардың зарядарын жіктеу үшін. Конденсацияланған материя физикасында K теориясы маңызды қолданыстар тапты, әсіресе топологиялық оқшаулағыштардың, суперөткізгіштердің және тұрақты Ферми беттерінің топологиялық жіктелуінде (, ).

Тарих

Бұл болжамды D бран зарядтарына қолданған алғаш рет ұсынған. Оны танымал еткен , IIB типті сап теориясында Ашоке Сеннің кез келген D бран конфигурацияларын D9 және анти D9 бран қабаттары ретінде жүзеге асыруынан, тахиондық конденсациядан кейін туындайтындығын көрсетті. Мұндай бран қабаттары бұрмаланбаған Неву-Шварц (NS) 3-формалық кеңістікте тұрақсыз болады, бұл, атап өткендей, K теориясының мұндай жағдайларға жіктелуін қиындатады. мәселенің шешімін ұсынды: D брандарды әдетте бұрмаланған K теориясымен жіктеуге болады, бұл теория бұрын анықталған.

Қолданбалар

D-браналардың K теориясы бойынша жіктелуі көптеген қолданыстарға ие болды. Мысалы, ол сегіз түрлі ориентольд бір жазықтығы бар екенін дәлелдеу үшін қолданылды. K теориясы бойынша жіктемені флюс тығыздаулары үшін жаңа үйлесімділік шарттарын туындыру үшін пайдаланды. K теориясы T-дуальды көптүрліліктердің топологиялары үшін формуланы болжау үшін де қолданылды. Жақында K теориясы жалпыланған кешенді көптүрліліктердегі тығыздауларда спинорларды жіктеуге қабілетті деген болжам айтылды.

Ашық мәселелер

Осы жетістіктерге қарамастан, RR ағындары K теориясымен толыққанды жіктелмейді. IIB сап теориясындағы S-дуальдылығымен K теориясының жіктелуі үйлеспейтінін көрсетті. Сонымен қатар, егер ағындарды жиынтық он өлшемді кеңістікте жіктеуге тырысса, RR ағындарының өзіндік дуалдылығы салдарынан қиындықтар туындайды. Дуальділік Ходж жұлдызын пайдаланады, ол метрикаға тәуелді және осылайша үздіксіз мәнге ие, әсіресе, көбінесе иррационалды. Сондықтан K теориясындағы Черн сипаттамалары ретінде қарастырылатын RR ағындарының барлығы рационалды бола алмайды. Бірақ Черн сипаттамалары әрқашан рационалды болады, демек K теориясының жіктелуін алмастыру қажет. Кванттау үшін ағындардың жартысын таңдау керек, немесе Диаконеску, Мур және Виттеннің геометриялық кванттауға ұқсас тілінде поляризацияны таңдау керек. Балама ретінде, 9 өлшемді уақыт тілімінің K теориясын қолдануға болады, бұл жұмысты жасады.

ҚБ ағынының К-теориялық жіктелуі

II типті жол теориясының классикалық шегінде, яғни II типті супергравитацияда, Рамонд-Рамонд өрісінің күштері дифференциалдық формалар болып табылады. Кванттық теорияда D-браналардың бөліну функцияларының дұрыс анықталғандығы RR өрісінің күштерінің Дирак кванттау шарттарын қанағаттандыратынын білдіреді, егер кеңістік-уақыт тығыз болса немесе кеңістіктік қимасы тығыз болса және тек кеңістіктік бағыттарға қатысты өріс күшінің (магниттік) компоненттерін қарастырса. Бұл ХХ ғасыр физиктерін интегралдық коэффициенттері бар кохомологияны қолданып RR өрісінің күштерін жіктеуге алып келді. Алайда, кейбір авторлар кеңістік-уақыттың интегралдық коэффициенттері бар кохомологиясы тым үлкен деп мәлімдеді. Мысалы, Neveu-Schwarz H ағыны немесе спинсіз циклдардың болуында кейбір RR ағындары D-браналардың болуын талап етеді. Бірінші жағдайда, бұл NS 3-формасымен RR ағынының көбейтіндісі D-браналық заряд тығыздығына тең деп көрсететін қозғалыс теңдеуінің супергравитациялық салдары болып табылады. Осылайша, брандарсыз конфигурацияларда болуы мүмкін топологиялық жағынан ерекше RR өрісінің күштерінің жиынтығы интегралдық коэффициенттері бар кохомологияның тек ішкі жиыны болып табылады. Бұл ішкі жиын да тым үлкен, себебі оның кейбір кластары үлкен калибрлік түрлендірулермен байланысты. QED-де Уилсон циклдарына екі пи-дің интегралдық еселіктерін қосатын үлкен калибрлік түрлендірулер бар. II типті супергравитация теорияларындағы p-формалық потенциалдар да осы үлкен калибрлік түрлендірулерге ие, бірақ супергравитациялық әрекеттердегі Черн-Симонс мүшелерінің болуына байланысты, бұл үлкен калибрлік түрлендірулер p-формалық потенциалдарды ғана емес, сонымен қатар (p+3)-формалық өріс күштерін де түрлендіреді. Осылайша, интегралдық кохомологияның жоғарыда аталған ішкі жиынынан эквивалентті емес өріс күштерінің кеңістігін алу үшін біз осы үлкен калибрлік түрлендірулерге қатысты бөлуіміз керек. Atiyah-Hirzebruch спектрлік тізбегі NS 3-формасының өріс күшімен берілген бұрылыспен бұрылған K-теорияны интегралдық коэффициенттері бар кохомологияның ішкі жиынының бөлуі ретінде құрастырады. Классикалық шекте, яғни рационалдық коэффициенттермен жұмыс істеуге сәйкес келеді, бұл супергравитацияда жоғарыда сипатталған ішкі жиынның дәл осы бөлуі болып табылады. Кванттық түзетулер торсиялық кластардан келеді және Freed-Witten аномалиясына байланысты 2-модульді торсиялық түзетулерді қамтиды. Осылайша, бұрылған K-теориясы үлкен калибрлік түрлендірулерге қатысты бөлінген D-браналардың болмауында болуы мүмкін RR өрісінің күштерінің ішкі жиынын жіктейді. Дэниел Фрид дифференциалдық K-теорияны қолдана отырып, RR потенциалдарын да қамтуға тырысты.

In the classical limit of type II string theory, which is type II supergravity, the Ramond–Ramond field strengths are differential forms. In the quantum theory the well definedness of the partition functions of D branes implies that the RR field strengths obey Dirac quantization conditions when spacetime is compact, or when a spatial slice is compact and one considers only the (magnetic) components of the field strength which lie along the spatial directions. This led twentieth century physicists to classify RR field strengths using cohomology with integral coefficients. However some authors have argued that the cohomology of spacetime with integral coefficients is too big. For example, in the presence of Neveu–Schwarz H flux or non spin cycles some RR fluxes dictate the presence of D branes. In the former case this is a consequence of the supergravity equation of motion which states that the product of a RR flux with the NS 3 form is a D brane charge density. Thus the set of topologically distinct RR field strengths that can exist in brane free configurations is only a subset of the cohomology with integral coefficients. This subset is still too big, because some of these classes are related by large gauge transformations. In QED there are large gauge transformations which add integral multiples of two pi to Wilson loops. The p form potentials in type II supergravity theories also enjoy these large gauge transformations, but due to the presence of Chern Simons terms in the supergravity actions these large gauge transformations transform not only the p form potentials but also simultaneously the (p+3) form field strengths. Thus to obtain the space of inequivalent field strengths from the forementioned subset of integral cohomology we must quotient by these large gauge transformations. The Atiyah–Hirzebruch spectral sequence constructs twisted K theory, with a twist given by the NS 3 form field strength, as a quotient of a subset of the cohomology with integral coefficients. In the classical limit, which corresponds to working with rational coefficients, this is precisely the quotient of a subset described above in supergravity. The quantum corrections come from torsion classes and contain mod 2 torsion corrections due to the Freed Witten anomaly. Thus twisted K theory classifies the subset of RR field strengths that can exist in the absence of D branes quotiented by large gauge transformations. Daniel Freed has attempted to extend this classification to include also the RR potentials using differential K theory.

D-браналардың K-теориялық жіктелуі

K теориясы D брандарын сығылмалы емес кеңістік-уақыттарда жіктейді, яғни бран тудырған ағынның қайда да таралуына қатысты алаңдамайтын жағдайларда. 10d кеңістік-уақыттың K теориясы D брандарын осы кеңістік-уақыттың ішкі жиындары ретінде жіктейді, ал егер кеңістік-уақыт уақыт пен бекітілген 9-өлшемді көпқырлылықтың көбейтіндісі болса, онда K теориясы әрбір 9-өлшемді кеңістіктік қимадағы сақталатын D бран зарядтарын да жіктейді. RR потенциалдарынан бас тарту RR өрісі күштерінің K теориялық жіктелуін алу үшін қажет болғандай, D брандарының K теориялық жіктелуін алу үшін де RR өрісі күштерінен бас тарту қажет.

K-теориялық заряд пен BPS заряды

Петр Хорава атап өткендей, D брандардың K теориясы бойынша жіктелуі BPS күйлерінің жіктелуінен тәуелсіз және кейбір жағынан күштірек. K теориясы суперсимметрияға негізделген жіктелімдерде жіктелмейтін тұрақты D брандарды жіктейтін сияқты. Мысалы, торсиялық зарядтары бар, яғни N циклдік тобындағы зарядтары бар D брандар бір-біріне тартылып, сондықтан ешқашан BPS бола алмайды. Шындығында, мұндай N бран ыдырай алады, ал Богомольный шешіміне сәйкес келетін брандардың ешқандай суперпозициясы ыдырамайды. Дегенмен, мұндай брандардың заряды N модулі бойынша сақталады, және бұл K теориясының жіктелуімен қамтылған, бірақ BPS жіктелуімен емес. Мұндай торсиялық брандар, мысалы, суперсимметриялық U(N) өлшеу теорияларында Дуглас-Шенкер жіптерін модельдеу үшін қолданылған.

Тахиондық конденсациядан К-теориясы

Ашоке Сен топологиялық жағынан тривиалды емес NS 3 формасы ағынының болмауы жағдайында, барлық IIB бран конфигурацияларын тахиондық конденсация арқылы кеңістікті толтыратын D9 және анти-D9 брандар жиынтығынан алуға болады деп болжады. Пайда болған брандардың топологиясы кеңістікті толтыратын брандар жиынтығындағы өлшеуіш буынның топологиясында сақталады. D9 және анти-D9 үйірмесінің өлшеуіш буынының топологиясын D9-дар үшін өлшеуіш буынға және анти-D9-дар үшін тағы бір буынға бөлуге болады. Тахиондық конденсация мұндай буындар жұбын басқа жұпқа түрлендіреді, онда әрбір компонентпен бірдей буын тікелей қосылады. Осылайша, тахиондық конденсация инвариантты шамасы, яғни тахиондық конденсация процесінде сақталатын заряд, буындар жұбы емес, керісінше, жұптың екі жағындағы бірдей буынның тікелей қосындылары бойынша буындар жұбының эквиваленттік класы болып табылады. Бұл – топологиялық K-теорияның дәл құрылымы. Демек, D9 және анти-D9 үйірмелеріндегі өлшеуіш буындар топологиялық K-теория бойынша жіктеледі. Егер Сеннің болжамы дұрыс болса, IIB типіндегі барлық D бран конфигурациялары K-теория бойынша жіктеледі. Петр Хорава бұл болжамды D8 брандарды пайдалана отырып, IIA типіне дейін кеңейтті.

ММС инстантоннан жасалған бұрмаланған К-теориясы

K теориясының тахиондық конденсация көрінісі D брандарды NS 3 формалық ағыны жоқ 10 өлшемді кеңістік-уақыттың ішкі жиыны ретінде жіктесе, Maldacena, Moore, Seiberg көрінісі тұрақты D брандарды шекті массасы бар кеңістік-уақыттың 9 өлшемді кеңістіктік қимасының ішкі жиыны ретінде жіктейді. Басты байқау – D брандар интегралды гомология бойынша жіктеледі деп айтуға болмайды, себебі белгілі бір циклдарды орап жатқан Dp брандары Freed-Witten аномалиясына ұшырайды, ол D(p-2) брандарын және кейде D(p-4) брандарын қосу арқылы жойылады. Бұл қосылған брандар шексіздікке дейін созылуы мүмкін, онда композиттік объектінің массасы шексіз болады, немесе олар анти-Dp брандарында аяқталуы мүмкін, онда жалпы Dp бран заряды нөлге тең болады. Қай жағдайда болса да, аномалиялық Dp брандарын спектрден алып тастауға болады, бұл бастапқы интегралды когомологияның тек ішкі жиынтығын қалдырады. Қосылған брандар тұрақсыз. Мұны көру үшін, олардың аномалиялық браннан уақыт бойынша (өткенге қарай) созылғанын көзге елестетіңіз. Бұл қосылған брандардың Dp бран арқылы ыдырауына сәйкес келеді, ол аталған циклды құрап, орап, содан кейін жоғалады. MMS бұл процесті инстантон деп атайды, бірақ шындығында ол міндетті түрде инстантондық болуы керек емес. Осылайша, сақталатын зарядтар – тұрақсыз қосылымдармен бөлінген аномалиялық емес ішкі жиынтық. Бұл Атия-Хирцебрух спектрлік тізбегінің бұрылған K теориясын жиын ретінде құруымен сәйкес келеді.

Бұрмаланған К-теориясы мен S-дуалдықты үйлестіру

Диаконеску, Мур және Виттен бұрмаланған K теориясының классификациясы IIB типті сап теориясының S-дуалдық ковариантымен үйлесімсіз екенін көрсетті. Мысалы, Атия-Хирцебрух спектрлік тізбегінде (AHSS) G3 Рамонд-Рамонд 3-формасының өріс күшін қарастырайық:

мұнда d3=Sq3+H AHSS-дегі бірінші тривиалды дифференциал, Sq3 үшінші Стинрод квадраты және соңғы теңдік кез келген n-формадағы x-ке әсер ететін n-шы Стинрод квадраты xx-ке тең екендігінен туындайды. Жоғарыдағы теңдеу S-дуалдығында инвариант емес, ол G3 және H-ты алмастырады. Оның орнына Диаконеску, Мур және Виттен келесі S-дуалдық ковариантты кеңейтімді ұсынды:

мұнда P – тек топологияға ғана байланысты, әсіресе ағындарға байланысты емес, белгісіз сипаттама класы. Диаконеску, Мур және Виттен бастаған M теориясына E8 өлшегіш теориясын қолдану арқылы P-ге шектеулер анықталды. Осылайша, IIB-дегі D-брандар бұрмаланған K теориясымен жіктелмейді, бірақ белгілі бір белгісіз S-дуалдық ковариантты объектімен жіктеледі, ол фундаменталды жіптер мен NS5-брандарды да жіктейді. Алайда, бұрмаланған K теориясын есептеуге арналған MMS рецепті оңай S-ковариантты, өйткені Freed-Witten аномалиялары S-дуалдығын сақтайды. Осылайша, MMS құрылымының S-ковариантты түрін S-ковариантты бұрмаланған K теориясын жиын ретінде құру үшін қолдануға болады, осы ерекше ковариантты объектінің геометриялық сипаттамасын білмей. Бұл бағдарлама бірқатар мақалаларда жүзеге асырылды, мысалы, және , сондай-ақ ағындарды жіктеу үшін осы тәсіл қолданылды, бұл Диаконеску, Мур және Виттеннің 3 ағынға қатысты болжамдық шектеуін дәлелдеуге мүмкіндік берді, олар D3-бран зарядына тең қосымша мүше бар екенін көрсетті. Клебанов-Страсслер каскады Сейберг дуалдықтарының әр Сейберг дуалдығы үшін біреуден тұратын S-дуалдық MMS инстантондарының тізбегінен тұрады. Суперсимметриялық өлшегіш теориясының универсалды кластарының тобы S-дуалдық бұрмаланған K теориясымен сәйкес келеді, ал бастапқы бұрмаланған K теориясымен сәйкес келмейді. Кейбір авторлар осы жұмбаққа түбегейлі басқаша шешімдер ұсынды. Мысалы, бұрмаланған K теориясының орнына II сап теориясының конфигурацияларын эллиптикалық когомология бойынша жіктеу керек деп ұсынды.

Зерттеушілер

Бұл саладағы көрнекті зерттеушілер қатарында Эдвард Виттен, Питер Букнегт, Ангел Уранга, Эммануэль Диаконоску, Грегори Мур, Антон Капустин, Джонатан Розенберг, Рубен Минасиан, Амихай Ханани, Хишам Сати, Натан Сейберг, Хуан Малдасена, Алексей Китаев, Даниэль Фрид және Игорь Криз бар.

Анықтамалар (конденсацияланған материя физикасы)

Please provide the English text you want me to translate. I need the content of the ".". ".". "." to perform the translation. I will use the existing translation reference you provided *only* as a guide for terminology, prioritizing accuracy to the original English meaning.