К-теория в теории струн и классификация D-бран

Введение

Применение K-теории в теории струн

В теории струн K-теоретическая классификация относится к предполагаемому применению K-теории (в абстрактной алгебре и алгебраической топологии) к суперструнам для классификации допустимых напряжённостей полей Рамонда — Рамон и зарядов стабильных D-бран. В физике конденсированного состояния K-теория также нашла важные применения, особенно в топологической классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми (, ).

История

Эта гипотеза, примененная к зарядам D-бран, была впервые предложена . Она была популяризирована , который показал, что в теории струн типа IIB возникает естественным образом из реализации Ашоке Сена произвольных конфигураций D-бран как стеков D9 и анти-D9 бран после тахионной конденсации. Такие стеки бран несовместимы в неторсионном фоне Неву-Шварца (NS) 3-формы, что, как было подчеркнуто , усложняет расширение классификации K-теории на такие случаи. предложил решение этой проблемы: D-браны в общем случае классифицируются с помощью извращенной K-теории, которая ранее была определена .

Приложения

Классификация D-бран по K-теории нашла многочисленные применения. Например, использовал её, чтобы доказать существование восьми типов ориентифолдов с одной плоскостью. применил классификацию K-теории для вывода новых условий непротиворечивости для компактификаций с потоками. K-теория также использовалась для формулировки гипотезы о формуле для топологий T-дуальных многообразий. Недавно было предположено, что K-теория может классифицировать спиноры в компактификациях на обобщенных комплексно-структурных многообразиях.

Открытые проблемы

Несмотря на эти успехи, потоки RR не полностью классифицируются теорией K. утверждал, что классификация с помощью теории K несовместима с S-дуальностью в IIB теории струн. Кроме того, при попытке классифицировать потоки в компактном десятимерном пространстве-времени возникает осложнение из-за самодуальности потоков RR. Эта дуальность использует звезду Ходжа, которая зависит от метрики и, следовательно, принимает непрерывные значения и, в частности, обычно иррациональна. Таким образом, не все потоки RR, интерпретируемые как символы Черна в теории K, могут быть рациональными. Однако символы Черна всегда рациональны, поэтому классификация теории K должна быть заменена. Необходимо выбрать половину потоков для квантования или использовать поляризацию в языке геометрической квантизации, вдохновленном работами Диаконеску, Мура и Виттена, а позднее – Альтернативно, можно использовать K-теорию 9-мерного временного сечения, как это было сделано .

К-теория классификации потоков RR

В классическом пределе теории струн II типа, который является супергравитацией II типа, силы поля Рамонда-Рамонда являются дифференциальными формами. В квантовой теории, корректность определения разделяющих функций D-бран подразумевает, что силы поля RR подчиняются условиям квантования Дирака, когда пространство-время компактно, или когда пространственный срез компактен и рассматриваются только (магнитные) компоненты силы поля, лежащие вдоль пространственных направлений. Это привело физиков двадцатого века к классификации сил поля RR с использованием кохомологии с целочисленными коэффициентами. Однако некоторые авторы утверждают, что кохомология пространства-времени с целочисленными коэффициентами слишком велика. Например, при наличии потока Неveu-Schwarz H или не спиновых циклов, некоторые потоки RR определяют наличие D-бран. В первом случае это является следствием уравнения движения сверхгравитации, которое утверждает, что произведение потока RR на NS 3-форму равно плотности заряда D-браны. Таким образом, множество топологически различных сил поля RR, которые могут существовать в конфигурациях без бран, является лишь подмножеством кохомологии с целочисленными коэффициентами. Это подмножество все еще слишком велико, поскольку некоторые из этих классов связаны большими калибровочными преобразованиями. В квантовой электродинамике (QED) существуют большие калибровочные преобразования, добавляющие целочисленные кратные двух пи к петлям Вильсона. p-формные потенциалы в теориях супергравитации II типа также обладают этими большими калибровочными преобразованиями, но из-за наличия членов Черна-Саймонса в действиях супергравитации, эти большие калибровочные преобразования преобразуют не только p-формные потенциалы, но и одновременно силы поля (p+3)-формы. Таким образом, чтобы получить пространство неэквивалентных сил поля из вышеупомянутого подмножества целочисленной кохомологии, необходимо делить по этим большим калибровочным преобразованиям. Спектральная последовательность Атия-Хирцебруха строит извращенную K-теорию, с извращением, заданным силой поля NS 3-формы, как фактор подмножества кохомологии с целочисленными коэффициентами. В классическом пределе, который соответствует работе с рациональными коэффициентами, это точно фактор подмножества, описанного выше в супергравитации. Квантовые поправки исходят из классов кручения и содержат поправки кручения по модулю 2 из-за аномалии Фрида-Виттена. Таким образом, извращенная K-теория классифицирует подмножество сил поля RR, которые могут существовать в отсутствие D-бран, деленное по большим калибровочным преобразованиям. Даниэль Фрид попытался расширить эту классификацию, включив также потенциалы RR, используя дифференциальную K-теорию.

In the classical limit of type II string theory, which is type II supergravity, the Ramond–Ramond field strengths are differential forms. In the quantum theory the well definedness of the partition functions of D branes implies that the RR field strengths obey Dirac quantization conditions when spacetime is compact, or when a spatial slice is compact and one considers only the (magnetic) components of the field strength which lie along the spatial directions. This led twentieth century physicists to classify RR field strengths using cohomology with integral coefficients. However some authors have argued that the cohomology of spacetime with integral coefficients is too big. For example, in the presence of Neveu–Schwarz H flux or non spin cycles some RR fluxes dictate the presence of D branes. In the former case this is a consequence of the supergravity equation of motion which states that the product of a RR flux with the NS 3 form is a D brane charge density. Thus the set of topologically distinct RR field strengths that can exist in brane free configurations is only a subset of the cohomology with integral coefficients. This subset is still too big, because some of these classes are related by large gauge transformations. In QED there are large gauge transformations which add integral multiples of two pi to Wilson loops. The p form potentials in type II supergravity theories also enjoy these large gauge transformations, but due to the presence of Chern Simons terms in the supergravity actions these large gauge transformations transform not only the p form potentials but also simultaneously the (p+3) form field strengths. Thus to obtain the space of inequivalent field strengths from the forementioned subset of integral cohomology we must quotient by these large gauge transformations. The Atiyah–Hirzebruch spectral sequence constructs twisted K theory, with a twist given by the NS 3 form field strength, as a quotient of a subset of the cohomology with integral coefficients. In the classical limit, which corresponds to working with rational coefficients, this is precisely the quotient of a subset described above in supergravity. The quantum corrections come from torsion classes and contain mod 2 torsion corrections due to the Freed Witten anomaly. Thus twisted K theory classifies the subset of RR field strengths that can exist in the absence of D branes quotiented by large gauge transformations. Daniel Freed has attempted to extend this classification to include also the RR potentials using differential K theory.

К-теория классификации D-бранов

Теория K классифицирует D-браны в некомпактных пространствах-временах, интуитивно – в пространствах-временах, где нас не волнует, что поток, создаваемый браной, никуда не девается. В то время как K-теория 10-мерного пространства-времени классифицирует D-браны как подмножества этого пространства-времени, если пространство-время является произведением времени и фиксированного 9-мерного многообразия, то K-теория также классифицирует сохраняющиеся заряды D-бран на каждом 9-мерном пространственном сечении. Если для получения K-теоретической классификации силовых полей RR нам требовалось отбросить потенциалы RR, то для получения K-теоретической классификации D-бран нам необходимо отбросить сами силовые поля RR.

К-теория заряда против заряда BPS

Как подчеркнул Петр Хорава, классификация D-бран по K-теории независима от, и в некотором смысле строже, чем классификация BPS-состояний. K-теория, по-видимому, классифицирует стабильные D-браны, которые упускаются из виду при классификациях, основанных на суперсимметрии. Например, D-браны с торсионными зарядами, то есть с зарядами в циклической группе порядка N, притягиваются друг к другу и поэтому не могут быть BPS-состояниями. Фактически, N таких бран могут распадаться, в то время как любое наложение бран, удовлетворяющее ограничению Богомольни, никогда не может распадаться. Однако заряд таких бран сохраняется по модулю N, и это отражается в классификации K-теории, но не в классификации BPS. Такие торсионные браны применялись, например, для моделирования струн Дугласа-Шенкера в суперсимметричных U(N)-калибровочных теориях.

К-теория из тахионной конденсации

Ашоке Сен предположил, что при отсутствии топологически нетривиального потока NS 3-формы, все конфигурации бран IIB могут быть получены из стеков заполняющих пространство D9 и анти-D9 бран посредством тахионной конденсации. Топология результирующих бран кодируется в топологии калибровочного пучка на стеке заполняющих пространство бран. Топология калибровочного пучка стека D9 и анти-D9 бран может быть разложена на калибровочный пучок на D9-бран и другой пучок на анти-D9-бран. Тахионная конденсация преобразует такую пару пучков в другую пару, в которой к каждому компоненту пары напрямую суммируется тот же пучок. Таким образом, инвариантная величина, сохраняющаяся в процессе тахионной конденсации – то есть заряд, сохраняемый тахионной конденсацией – является не парой пучков, а классом эквивалентности пары пучков относительно прямых сумм одного и того же пучка с обеих сторон пары. Это как раз обычная конструкция топологической K-теории. Следовательно, калибровочные пучки на стеках D9 и анти-D9 бран классифицируются топологической K-теорией. Если предположение Сэна верно, то все конфигурации D-бран типа IIB классифицируются K-теорией. Петр Хорава расширил эту гипотезу на тип IIA, используя D8-браны.

Скрученная К-теория из инстантонов ММС

В то время как тахионная картина конденсации в классификации K-теории классифицирует D-браны как подмножества 10-мерного пространства-времени без потока NS 3-формы, картина Малдасены, Мура и Зайберга классифицирует стабильные D-браны с конечной массой как подмножества 9-мерного пространственного сечения пространства-времени. Ключевое наблюдение состоит в том, что D-браны не классифицируются по интегральной гомологии, поскольку Dp-браны, обертывающие определенные циклы, подвержены аномалии Фрида-Виттена, которая компенсируется вставкой D(p-2)-бран и иногда D(p-4)-бран, заканчивающихся на пораженной Dp-бране. Эти вставленные браны могут либо простираться до бесконечности, в этом случае составной объект имеет бесконечную массу, либо заканчиваться на анти-Dp-бране, в этом случае полный заряд Dp-браны равен нулю. В любом случае, можно исключить аномальные Dp-браны из спектра, оставив только подмножество исходной интегральной когомологии. Вставленные браны нестабильны. Чтобы увидеть это, представьте, что они распространяются во времени (в прошлое) от аномальной браны. Это соответствует процессу, в котором вставленные браны распадаются через образующуюся Dp-брану, обертывающую упомянутый цикл, а затем исчезающую. MMS называют этот процесс инстантоном, хотя он не обязательно должен быть инстантонным. Таким образом, сохраняющиеся заряды представляют собой неаномальное подмножество, поделенное на нестабильные вставки. Это точно конструкция спектральной последовательности Атия-Хирцебруха для извращенной K-теории как множества.

Примирение извращенной К-теории и S-дуальности

Диаконеску, Мур и Виттен указали на то, что классификация скрученной K-теории несовместима с ковариантностью S-двойственности теории струн типа IIB. Например, рассмотрим ограничение на напряженность поля Рамонда-Рамонда 3-й формы G3 в спектральной последовательности Атия-Хирцебруха (AHSS):

где d3 = Sq3 + H — первый нетривиальный дифференциал в AHSS, Sq3 — третий квадрат Стинрода, а последнее равенство следует из того факта, что n-й квадрат Стинрода, действующий на любую n-форму x, равен xx. Указанное выше уравнение не является инвариантным относительно S-двойственности, которая меняет местами G3 и H. Вместо этого Диаконеску, Мур и Виттен предложили следующее S-ковариантное расширение:

где P — неизвестный характеристический класс, который зависит только от топологии и, в частности, не зависит от потоков. нашли ограничение на P, используя подход теории калибровочных полей E8 к M-теории, разработанный Диаконеску, Муром и Виттеном. Таким образом, D-браны в IIB классифицируются не скрученной K-теорией, а некоторым неизвестным S-ковариантным объектом, который неизбежно также классифицирует как фундаментальные струны, так и NS5-браны. Однако предписание MMS для вычисления скрученной K-теории легко S-ковариантизуется, поскольку аномалии Фрида-Виттена сохраняют S-двойственность. Таким образом, S-ковариантизированная форма конструкции MMS может быть применена для построения S-ковариантизированной скрученной K-теории как множества, не имея геометрического описания этого странного ковариантного объекта. Эта программа была реализована в ряде работ, таких как и , и также была применена к классификации потоков с использованием этого подхода для доказательства предполагаемого Диаконеску, Муром и Виттеном ограничения на 3 потока, и они показали, что существует дополнительный член, равный заряду D3-браны. показывает, что каскад Клебанова-Страсслера двойственностей Зейберга состоит из серии S-двойственных инстантонов MMS, по одному для каждой двойственности Зейберга. Группа классов универсальности суперсимметричной теории калибровки затем оказывается в согласии с S-двойственной скрученной K-теорией, а не с исходной скрученной K-теорией. Некоторые авторы предложили радикально иные решения этой головоломки. Например, предлагают, чтобы вместо скрученной K-теории конфигурации теории струн II должны классифицироваться по эллиптической когомологии.

Исследователи

Известные исследователи в этой области включают Эдварда Виттена, Питера Букнегта, Анхеля Урангу, Эммануэля Диаконоску, Грегори Мура, Антона Капустина, Джонатана Розенберга, Рубена Минасиана, Амихая Ханани, Хишама Сати, Натана Сейберга, Хуана Малдасену, Алексея Китаева, Даниэля Фрида и Игоря Криза.

Ссылки (физика конденсированной материи)

Да. Да. Да. Да. Да. Да.