Бірыңғай өріс теориясы: Кaluza-Klein теориясы гравитация мен электромагнетизмді біріктіріп, 5-ші өлшемді қарастырады. Бұл жол струналық теорияның алға күші болды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Біріккен өріс теориясы
гравитация және электромагнетизм
Unified field theory
gravitation and electromagnetism
Физикада Калуза–Клейн теориясы (KK теориясы) – кеңістік пен уақыттан тыс кеңістік өлшеміне негізделген гравитация мен электромагнетизмнің классикалық біріктірілген өріс теориясы және жол теориясының маңызды алғышарты саналады. Олардың тұжырымында вакуумда әдеттегі 3 кеңістік өлшемі және бір уақыт өлшемі бар, бірақ сонымен қатар кішкентай шеңбер пішіндегі микроскопиялық қосымша кеңістік өлшемі де бар. Гуннар Нордстрем бұған ұқсас идеяны бұрын ұсынған. Бірақ сол кезде электромагниттік векторлық потенциалға бесінші компонент қосылып, Ньютонның гравитациялық потенциалын білдірген, ал Максвелл теңдеулері бес өлшемде жазылған. Бес өлшемді (5D) теория үш кезеңде дамыды. Алғашқы гипотезаны Теодор Калуза ұсынды, ол 1919 жылы Эйнштейнге нәтижелерін жіберіп, 1921 жылы жариялады. Калуза жалпы салыстырмалылықтың 5D-ге толыққанды классикалық кеңейтуін ұсынды, онда 15 компоненттен тұратын метрикалық тензор бар. Он компонент 4D кеңістік-уақыт метрикасымен, төрт компонент электромагниттік векторлық потенциалмен және бір компонент кейде «радион» немесе «дилатон» деп аталатын анықталмаған скалярлық өріспен анықталады. Сәйкесінше, 5D Эйнштейн теңдеулері 4D Эйнштейн өріс теңдеулерін, электромагниттік өріс үшін Максвелл теңдеулерін және скалярлық өріс үшін теңдеуді тудырады. Калуза сондай-ақ «цилиндрлік жағдай» гипотезасын енгізді, яғни бес өлшемді метриканың ешбір компоненті бесінші өлшемге тәуелді емес. Бұл шектеу болмаса, бесінші координатаға қатысты өрістердің туындыларын қамтитын терминдер енгізіледі, ал бұл қосымша еркіндік дәрежесі толық өзгермелі 5D салыстырмалылықтың математикасын өте күрделі етеді. Стандартты 4D физика осы «цилиндрлік жағдайды» және онымен бірге қарапайым математиканы көрсетеді. 1926 жылы Оскар Клейн Калузаның классикалық бес өлшемді теориясына Гейзенберг пен Шредингердің жақындағы жаңалықтарына сәйкес кванттық интерпретация берді. Клейн цилиндрлік жағдайды түсіндіру үшін бесінші өлшемді иілген және микроскопиялық деп болжады. Клейн қосымша бесінші өлшемнің геометриясы шеңбер пішінде болуы мүмкін деп ұсынды, оның радиусы e = 30-ға тең. Нақтырақ айтқанда, шеңберлік өлшемнің радиусы Планк ұзындығынан 23 есе артық, ал Планк ұзындығының өзі e = 33 шамасында. Тири Францияда Лихнерович басшылығымен диссертациясын қорғады; Джордан, Людвиг және Мюллер Германияда, Паули мен Фиерцтің сындық ескертулерімен; ал Шеррер Швейцарияда жеке жұмыс істеді. Джорданның жұмысы Бранс–Дикке скалярлық-тензорлық теориясына әкелді; Бранс пен Дикке Тири мен Шеррер туралы білмеген көрінеді. Цилиндрлік жағдайдағы Калузаның толық теңдеулері өте күрделі, ал көптеген ағылшын тіліндегі шолулар, сондай-ақ Тиридің ағылшын тіліндегі аудармаларында кейбір қателер бар. Калуза теңдеулерінің толық қисықтық тензорлары 2015 жылы тензорлық алгебра бағдарламалық құралын қолдану арқылы есептелді, Феррари және Кокеро & Эспозито Фарезе нәтижелерін растады. Энергия-импульс көздерінің терминдерінің 5D ковариантты формасы Уильямспен қарастырылды.
In physics, Kaluza–Klein theory (KK theory) is a classical unified field theory of gravitation and electromagnetism built around the idea of a fifth dimension beyond the common 4D of space and time and considered an important precursor to string theory. In their setup, the vacuum has the usual 3 dimensions of space and one dimension of time but with another microscopic extra spatial dimension in the shape of a tiny circle. Gunnar Nordström had an earlier, similar idea. But in that case, a fifth component was added to the electromagnetic vector potential, representing the Newtonian gravitational potential, and writing the Maxwell equations in five dimensions. The five dimensional (5D) theory developed in three steps. The original hypothesis came from Theodor Kaluza, who sent his results to Einstein in 1919 and published them in 1921. Kaluza presented a purely classical extension of general relativity to 5D, with a metric tensor of 15 components. Ten components are identified with the 4D spacetime metric, four components with the electromagnetic vector potential, and one component with an unidentified scalar field sometimes called the "radion" or the "dilaton". Correspondingly, the 5D Einstein equations yield the 4D Einstein field equations, the Maxwell equations for the electromagnetic field, and an equation for the scalar field. Kaluza also introduced the "cylinder condition" hypothesis, that no component of the five dimensional metric depends on the fifth dimension. Without this restriction, terms are introduced that involve derivatives of the fields with respect to the fifth coordinate, and this extra degree of freedom makes the mathematics of the fully variable 5D relativity enormously complex. Standard 4D physics seems to manifest this "cylinder condition" and, along with it, simpler mathematics. In 1926, Oskar Klein gave Kaluza's classical five dimensional theory a quantum interpretation, to accord with the then recent discoveries of Heisenberg and Schrödinger. Klein introduced the hypothesis that the fifth dimension was curled up and microscopic, to explain the cylinder condition. Klein suggested that the geometry of the extra fifth dimension could take the form of a circle, with the radius of e= 30. More precisely, the radius of the circular dimension is 23 times the Planck length, which in turn is of the order of e= 33. Thiry, working in France on his dissertation under Lichnerowicz; Jordan, Ludwig, and Müller in Germany, with critical input from Pauli and Fierz; and Scherrer working alone in Switzerland. Jordan's work led to the scalar–tensor theory of Brans–Dicke; Brans and Dicke were apparently unaware of Thiry or Scherrer. The full Kaluza equations under the cylinder condition are quite complex, and most English language reviews, as well as the English translations of Thiry, contain some errors. The curvature tensors for the complete Kaluza equations were evaluated using tensor algebra software in 2015, verifying results of Ferrari and Coquereaux & Esposito Farese. The 5D covariant form of the energy–momentum source terms is treated by Williams.
Геометриялық түсіндіру
Калуза-Клейн теориясы геометриялық тұрғыдан өте әдемі түрде баяндалады. Бір жағынан, ол бос кеңістіктегі қалыпты гравитация сияқты көрінеді, бірақ төрт өлшемнің орнына бес өлшемде түйінделген.
The Kaluza–Klein theory has a particularly elegant presentation in terms of geometry. In a certain sense, it looks just like ordinary gravity in free space, except that it is phrased in five dimensions instead of four.
Максвелл теңдеулері
Керісінше, электромагнетизмді сипаттайтын Максвелл теңдеулерін негізгі U(1) бундельінің немесе U(1) талшықты шеңбер бундельінің Ходж теңдеулері ретінде қарастыруға болады. Яғни, электромагниттік өріс – дифференциалданатын 2-формалар кеңістігіндегі гармониялық 2-форма. Зарядтар мен токтар болмаған жағдайда, еркін өріс Максвелл теңдеулері келесідей болады:
By contrast, the Maxwell equations describing electromagnetism can be understood to be the Hodge equations of a principal U(1) bundle or circle bundle with fiber U(1). That is, the electromagnetic field is a harmonic 2 form in the space of differentiable 2 forms on the manifold In the absence of charges and currents, the free field Maxwell equations are
мұндағы – Ходж жұлдызы операторы.
where is the Hodge star operator.
Жалпылау
Жоғарыда айтылғандай, циклдің мөлшері гравитациялық және электромагниттік өрістер арасындағы байланыс тұрақтысы ретінде әрекет етеді. Егер базалық кеңістік төрт өлшемді болса, Калуза-Клейн кеңістігі P бес өлшемді болады. Бесінші өлшем – тығыз кеңістік, және оны тығыз өлшем деп атайды. Жоғары өлшемді коллектор алу үшін тығыз өлшемдерді енгізу тәсілі компактификация деп аталады. Компактификация, өте нақты жағдайларды қоспағанда, хиральды фермиондарға топтық әрекеттерді тудырмайды: жалпы кеңістіктің өлшемдері 2 mod 8 болуы керек, ал тығыз кеңістіктің Дирак операторының G индексі нөлден өзгеше болуы керек. Жоғарыдағы осы даму U(1) орнына кез келген Lie тобы G қолданылғанда, жалпы негізгі G жиындықтарына шамалы өзгерістермен жалпыланады. Мұндай жағдайда теория көбінесе Янг-Миллс теориясы деп аталады және кейде осымен теңестіріледі. Егер негізгі кеңістік суперсимметриялы болса, нәтижедегі теория суперсимметриялы Янг-Миллс теориясы болады.
In the above, the size of the loop acts as a coupling constant between the gravitational field and the electromagnetic field. If the base manifold is four dimensional, the Kaluza–Klein manifold P is five dimensional. The fifth dimension is a compact space and is called the compact dimension. The technique of introducing compact dimensions to obtain a higher dimensional manifold is referred to as compactification. Compactification does not produce group actions on chiral fermions except in very specific cases: the dimension of the total space must be 2 mod 8, and the G index of the Dirac operator of the compact space must be nonzero. The above development generalizes in a more or less straightforward fashion to general principal G bundles for some arbitrary Lie group G taking the place of U(1). In such a case, the theory is often referred to as a Yang–Mills theory and is sometimes taken to be synonymous. If the underlying manifold is supersymmetric, the resulting theory is a super symmetric Yang–Mills theory.
Эмпирикалық сынақтар
Артық өлшемдердің эксперименталды немесе байқау арқылы анықталған белгілері ресми түрде хабарланбаған. Калуза-Клейн резонанстарын анықтау үшін көптеген теориялық іздеу әдістері ұсынылды, олар мұндай резонанстардың топ кваркімен массалық байланыстарын пайдаланады. 2010 жылдың желтоқсанындағы LHC нәтижелерінің талдауы үлкен артық өлшемдерге ие теорияларды қатты шектейді. LHC-де Хиггс бозонына ұқсас бөлшектің табылуы Калуза-Клейн резонанстарын және суперсимметриялық бөлшектерді іздеуге қолданылатын жаңа эмпирикалық сынақ құрады. Хиггс өзара әрекеттесуіндегі циклдық Фейнман диаграммалары электр заряды мен массасы бар кез келген бөлшектің мұндай циклде жүруіне мүмкіндік береді. Стандартты модель бөлшектері, топ кваркі мен W бозонынан басқа, H → γγ ыдырауында байқалатын қимаға елеулі үлес қоспайды, бірақ егер Стандартты модельден тыс жаңа бөлшектер болса, олар болжамды Стандартты модельдің H → γγ қимасы мен эксперименттік байқалатын қима арақатынасын өзгерте алады. Сондықтан, Стандартты модель болжаған H → γγ қимасының кез келген күрт өзгеруін өлшеу, одан тыс физиканы зерттеу үшін маңызды. 2018 жылдың шілдесінде жарияланған мақала бұл теорияға үміт береді; мақалада гравитацияның бран теориясындағыдай жоғары өлшемдерге ағып кетуі жоқ екендігі дәлелденеді. Дегенмен, мақалада электромагнетизм мен гравитацияның өлшемдерінің саны бірдей екендігі көрсетілді, бұл факт Калуза-Клейн теориясын қолдайды; өлшемдер саны шынымен 3 + 1, әлде 4 + 1 болатындығы тағы да талқылауға ашық.
No experimental or observational signs of extra dimensions have been officially reported. Many theoretical search techniques for detecting Kaluza–Klein resonances have been proposed using the mass couplings of such resonances with the top quark. An analysis of results from the LHC in December 2010 severely constrains theories with large extra dimensions. The observation of a Higgs like boson at the LHC establishes a new empirical test which can be applied to the search for Kaluza–Klein resonances and supersymmetric particles. The loop Feynman diagrams that exist in the Higgs interactions allow any particle with electric charge and mass to run in such a loop. Standard Model particles besides the top quark and W boson do not make big contributions to the cross section observed in the H → γγ decay, but if there are new particles beyond the Standard Model, they could potentially change the ratio of the predicted Standard Model H → γγ cross section to the experimentally observed cross section. Hence a measurement of any dramatic change to the H → γγ cross section predicted by the Standard Model is crucial in probing the physics beyond it. An article from July 2018 gives some hope for this theory; in the article they dispute that gravity is leaking into higher dimensions as in brane theory. However, the article does demonstrate that electromagnetism and gravity share the same number of dimensions, and this fact lends support to Kaluza–Klein theory; whether the number of dimensions is really 3 + 1 or in fact 4 + 1 is the subject of further debate.