Кіріспе

Математикалық есеп. Үш тұтқынның мәселесі 1959 жылы Мартин Гарднердің «Математикалық ойындар» бағанында «Scientific American» журналында жарияланды. Бұл есеп математикалық тұрғыдан Монти Холл мәселесімен теңдес келеді, онда көлік пен ешкі орнына тиісінше еркіндік пен өлім жазасы қолданылған.

Мәселе

Үш тұтқын – А, В және С – бөлек камераларда өлім жазасына кесілген. Губернатор олардың біреуін кездейсоқ таңдап, кешірім берген. Түрме бастығы кімнің кешірілгенін біледі, бірақ оны айтуға құқығы жоқ. А тұтқыны түрме бастығынан өлім жазасына кесілетін екі адамның біреуін атауын өтінеді. "Егер В-ге кешірім берілсе, маған С-нің есімін айтыңыз. Егер С-ке кешірім берілсе, маған В-нің есімін айтыңыз. Ал егер маған кешірім берілсе, құпия түрде тиянақтап, В немесе С-тің атын атауға шешім қабылдаңыз."

Түрме бастығы А-ға В-нің өлім жазасына кесілетінін хабарлайды. А тұтқыны қуанышқа бөленеді, өйткені оның өмірге шансы артқан деп ойлайды, енді бәрі оның және С-нің арасында. А тұтқыны құпия түрде С-ке жаңалықты жеткізеді, ол А-ның кешірім алу мүмкіндігі өзгермегенін, әлі де 1/3 екенін есептейді, бірақ оның өзінің шансы артқан, енді ол 1/2-ге тең. Қай тұтқын дұрыс?

Шешім

Жауап: А тұтқыны өзінің тағдыры туралы ешқандай жаңа ақпарат алмады, өйткені ол түрме бастығы өзге біреудің есімін айтатынын білген. Түрме бастығынан жауап алмас бұрын, А тұтқыны өзінің кешірім алу мүмкіндігін , Б және С тұтқындарына тең деп бағалаған. Түрме бастығы Б-ның жазаланатынын айтқаннан кейін, бұл екі нәрсенің бірін білдіреді: С кешіріледі (мүмкіндік) немесе А кешіріледі (мүмкіндік), содан кейін түрме бастығы Б немесе С есімін таңдау үшін тиянақтаған монета Б-ны көрсетті (мүмкіндік; А кешірілгендіктен Б есімі таңдалды деген жалпы мүмкіндік × = ). Осылайша, B-ның жазаланатынын естігеннен кейін, А-ның кешірім алу мүмкіндігі С-тің мүмкіндігінің жартысына тең болады. Яғни, енді B-ның жазаланбайтынын білгеннен кейін, оның кешірім алу мүмкіндігі қайтадан , ал С-тің кешірім алу мүмкіндігі бар.

Интуитивті түсіндірме

"А" тұтқынының ғана кешірім алу мүмкіндігі бар. "Б" немесе "С"-нің өлім жазасына кесілетінін білу оның кешірім алу мүмкіндігін өзгертпейді. "Б" өлім жазасына кесілетінін естігеннен кейін, "А" тұтқыны егер өзі кешірім алмаса, онда кешірім тек "С"-ге ғана тиесілі екенін түсінеді. Яғни, "С"-нің кешірім алуының ықтималдығы 2/3-ке тең. Бұл Монти Холл мәселесімен салыстыруға болады.

Бұл неге қарама-қайшылық?

Адамдардың 1/2 жауабын беруге бейімділігі, ықпалсыз көрінетін контексті назардан тыс қалдыруға байланысты болуы мүмкін. Мысалы, сұрақ түрме бастығына қалай қойылса, жауапқа солай әсер етеді. Бұл, проблеманың қалған барлық аспектісі өзгеріссіз қалған, өзгертілген жағдайды қарастыру арқылы көрсетілуі мүмкін. Тағы бір жиі ескерілмейтін болжам – түрме бастығының ықтималдық негізде таңдау жасауы. Егер "С" атқылануға тағайындалса, түрме бастығының "В" есімін атау ықтималдығын анықтайық. Осы шартты ықтималдылықты былай өрнектеуге болады:

Егер біз , яғни түрме бастығының ықтималдық таңдау жасауын ескермесек, онда . Алайда, мәселенің нақты жағдайында түрме бастығы монета лақтырып отыр, сондықтан .