Введение

Математическая задача
Задача о трёх заключённых впервые появилась в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» в журнале Scientific American в 1959 году. Она математически эквивалентна задаче Монти Холла, где автомобиль и коза заменены соответственно на свободу и казнь.

Проблема

Три заключенных, А, В и С, находятся в отдельных камерах и приговорены к смерти. Губернатор случайным образом выбрал одного из них для помилования. Начальник тюрьмы знает, кого помиловали, но не имеет права этого говорить. Заключенный А умоляет начальника тюрьмы сообщить ему имя одного из двух, которые будут казнены. "Если помилован В, назови мне имя С. Если помилован С, назови мне имя В. А если помилован я, тайно подбрось монетку, чтобы решить, кого из них назвать – В или С."

Начальник тюрьмы сообщает А, что В будет казнен. Заключенный А доволен, потому что считает, что его вероятность выжить возросла с 1/3 до 1/2, так как теперь борьба идет между ним и С. Заключенный А тайно сообщает новость С, который рассуждает, что шанс А быть помилованным остался прежним – 1/3, но он доволен, потому что его собственный шанс возрос до 2/3. Какой из заключенных прав?

Решение

Ответ заключается в том, что заключенный А не получил никакой информации о своей судьбе, поскольку он уже знал, что надзиратель назовёт ему имя кого-то другого. До того, как услышать надзирателя, заключенный А оценивает свои шансы на помилование как , такие же, как и у B и C. Поскольку надзиратель говорит, что B будет казнен, это происходит либо потому, что C будет помилован (вероятность), либо потому, что A будет помилован (вероятность), и монета, определяющая, кого назвать – B или C – выпала стороной B (вероятность; общая вероятность того, что назвали B, равна × = вероятность того, что назвали B, потому что A будет помилован). Следовательно, после того, как он узнал, что B будет казнен, оценка шансов A на помилование становится вдвое меньше шансов C. Это означает, что его шансы на помилование, зная, что B не помилован, снова составляют , а у C – вероятность на помилование.

Интуитивное объяснение

У заключенного А есть лишь шанс на помилование. Информация о том, будет ли казнен Б или С, не влияет на его шансы. Когда А узнает, что Б будет казнен, он понимает, что если его самого не помилуют, то помилование достанется только С. Это означает, что вероятность помилования С составляет 2/3. Это аналогично задаче Монти Холла.

Почему это парадокс?

Тенденция людей давать ответ 1/2, вероятно, связана с тенденцией игнорировать контекст, который может казаться несущественным. Например, формулировка вопроса, заданного начальнику тюрьмы, может повлиять на ответ. Это можно продемонстрировать, рассмотрев модифицированный случай, где всё остальное в задаче остается неизменным. Другое, вероятно, упущенное из виду предположение заключается в том, что у начальника тюрьмы есть вероятностный выбор. Определим как условную вероятность того, что начальник тюрьмы назовёт B, при условии, что C будет казнён. Тогда условную вероятность можно выразить следующим образом:

Если мы предположим, что , то есть, не будем учитывать, что начальник тюрьмы делает вероятностный выбор, то . Однако реальность такова, что начальник тюрьмы подбрасывает монету, поэтому .