Электростатикадағы есептеу әдісі: көзге көрінбейтін зарядтарды қолдану арқылы шешім табу. Гаусс заңы, Пуассон теңдеуі және бірегейлік теоремасы қарастырылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Классикалық электростатика үшін есептеу техникасы
Calculation technique for classical electrostatics
Кескін зарядтары әдісі (кейде сурет әдісі және айна зарядтары әдісі деп те аталады) электростатикадағы негізгі мәселелерді шешу құралы болып табылады. Бұл әдістің атауы бастапқы схемадағы белгілі бір элементтерді жойылған зарядтармен алмастырудан туындайды, бұл мәселенің шекаралық шарттарын қайта жасайды (Дирихле шекаралық шарттарын немесе Нейман шекаралық шарттарын қараңыз). Кескін зарядтары әдісінің дұрыстығы бірегейлік теоремасының салдарына негізделеді, ол V көлеміндегі электр потенциалы, егер аймақтағы заряд тығыздығы және барлық шекаралардағы электр потенциалының мәні белгілі болса, бірегей түрде анықталады деп мәлімдейді. Гаусс заңының дифференциалдық түріне осы салдарды қолдану, өткізгіштермен оралған және белгілі бір ρ заряд тығыздығын қамтитын V көлемінде электр өрісінің әрбір өткізгіштегі жалпы заряд белгілі болған жағдайда бірегей түрде анықталатынын көрсетеді. Электр потенциалы немесе электр өрісі және сәйкес шекаралық шарттар туралы біліміміз болғанда, біз қарастырып отырған зарядтық таралуды, егер ол қызығушылық тудыратын аймақта Пуассон теңдеуін қанағаттандырса және шекараларда дұрыс мәндерге ие болса, талдауға ыңғайлырақ болатын конфигурациямен алмастыра аламыз.
The method of image charges (also known as the method of images and method of mirror charges) is a basic problem solving tool in electrostatics. The name originates from the replacement of certain elements in the original layout with imaginary charges, which replicates the boundary conditions of the problem (see Dirichlet boundary conditions or Neumann boundary conditions). The validity of the method of image charges rests upon a corollary of the uniqueness theorem, which states that the electric potential in a volume V is uniquely determined if both the charge density throughout the region and the value of the electric potential on all boundaries are specified. Alternatively, application of this corollary to the differential form of Gauss' Law shows that in a volume V surrounded by conductors and containing a specified charge density ρ, the electric field is uniquely determined if the total charge on each conductor is given. Possessing knowledge of either the electric potential or the electric field and the corresponding boundary conditions we can swap the charge distribution we are considering for one with a configuration that is easier to analyze, so long as it satisfies Poisson's equation in the region of interest and assumes the correct values at the boundaries.
Диэлектрлік жазық интерфейстегі шағылысу
Өткізуші жазықтыққа ұқсас, екі түрлі диэлектрлік орта арасындағы жазық интерфейсті қарастыруға болады. Егер диэлектрлік тұрақтысы ε болатын диэлектрикке нүктелік заряд q қойылса, онда интерфейс (ε диэлектрлік тұрақтысы бар диэлектрикпен) байланысқан поляризациялық зарядты дамытады. Бұл диэлектриктің ішіндегі электр өрісінің, екінші диэлектриктегі бейне заряд арқылы сипатталатын түрде өзгеретінін көрсетуге болады. Дегенмен, екінші диэлектриктің ішінде бейне заряд болмайды. Металл жағдайынан айырмашылығы, бейне заряд q нақты зарядқа толыққанды қарсы емес: егер заряд күшті диэлектрлік материалдың ішіне орналасса, онда ол бірдей таңбаға ие болмауы мүмкін (зарядтар төмен диэлектрлік тұрақты аймақтардан тебіледі). Бұл формуладан көрінеді.
Similar to the conducting plane, the case of a planar interface between two different dielectric media can be considered. If a point charge is placed in the dielectric that has the dielectric constant , then the interface (with the dielectric that has the dielectric constant ) will develop a bound polarization charge. It can be shown that the resulting electric field inside the dielectric containing the particle is modified in a way that can be described by an image charge inside the other dielectric. Inside the other dielectric, however, the image charge is not present. Unlike the case of the metal, the image charge is not exactly opposite to the real charge: It may not even have the same sign, if the charge is placed inside the stronger dielectric material (charges are repelled away from regions of lower dielectric constant). This can be seen from the formula.
Инверсия әдісі
Сфера үшін суреттер әдісі тікелей инверсия әдісіне алып келеді. Егер бізде орнының сфералық координаттары болған гармоникалық функциясы болса, онда осы гармоникалық функцияның радиус R болатын сферадағы бейнесі былай болады:
The method of images for a sphere leads directly to the method of inversion. If we have a harmonic function of position where are the spherical coordinates of the position, then the image of this harmonic function in a sphere of radius R about the origin will be
Егер потенциал позицияларындағы шамалы зарядтар жиынтығынан туындаса, онда бейне потенциалы позицияларындағы шамалы зарядтар тізбегінің нәтижесі болады. Осыдан, егер потенциал заряд тығыздығынан туындаса, онда бейне потенциалы заряд тығыздығының нәтижесі болады.
If the potential arises from a set of charges of magnitude at positions , then the image potential will be the result of a series of charges of magnitude at positions It follows that if the potential arises from a charge density , then the image potential will be the result of a charge density .