Введение
Метод образов (также известный как метод зеркальных зарядов) — основной инструмент для решения задач в классической электростатике. Название происходит от замены определенных элементов исходной конфигурации на фиктивные заряды, которые воспроизводят граничные условия задачи (см. граничные условия Дирихле или Неймана). Обоснование метода образов опирается на следствие из теоремы единственности, утверждающей, что электрический потенциал в объеме V однозначно определяется, если заданы как объемная плотность заряда во всей области, так и значение электрического потенциала на всех границах. Альтернативно, применение этого следствия к дифференциальной форме закона Гаусса показывает, что в объеме V, окруженном проводниками и содержащем заданную плотность заряда ρ, электрическое поле однозначно определяется, если известен суммарный заряд на каждом проводнике. Зная либо электрический потенциал, либо электрическое поле и соответствующие граничные условия, мы можем заменить рассматриваемое распределение заряда на другое, с конфигурацией, которую легче анализировать, при условии, что оно удовлетворяет уравнению Пуассона в интересующей области и принимает правильные значения на границах.
The method of image charges (also known as the method of images and method of mirror charges) is a basic problem solving tool in electrostatics. The name originates from the replacement of certain elements in the original layout with imaginary charges, which replicates the boundary conditions of the problem (see Dirichlet boundary conditions or Neumann boundary conditions). The validity of the method of image charges rests upon a corollary of the uniqueness theorem, which states that the electric potential in a volume V is uniquely determined if both the charge density throughout the region and the value of the electric potential on all boundaries are specified. Alternatively, application of this corollary to the differential form of Gauss' Law shows that in a volume V surrounded by conductors and containing a specified charge density ρ, the electric field is uniquely determined if the total charge on each conductor is given. Possessing knowledge of either the electric potential or the electric field and the corresponding boundary conditions we can swap the charge distribution we are considering for one with a configuration that is easier to analyze, so long as it satisfies Poisson's equation in the region of interest and assumes the correct values at the boundaries.
Отражение в плоском диаэлектрическом интерфейсе
Аналогично проводящей плоскости, можно рассмотреть случай плоского интерфейса между двумя различными диэлектрическими средами. Если точечный заряд помещен в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε₁, то на интерфейсе (с диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε₂) возникнет связанный заряд поляризации. Можно показать, что результирующее электрическое поле внутри диэлектрика, содержащего заряд, изменяется таким образом, что его можно описать с помощью зеркального заряда в другом диэлектрике. Однако внутри другого диэлектрика зеркального заряда нет. В отличие от случая с металлом, зеркальный заряд не является точно противоположным по знаку реальному заряду: он может даже иметь тот же знак, если заряд помещен в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью (заряды отталкиваются от областей с меньшей диэлектрической проницаемостью). Это следует из формулы.
Способ инверсии
Метод изображений для сферы непосредственно приводит к методу инверсии. Если у нас есть гармоническая функция от положения, где — сферические координаты положения, то образ этой гармонической функции в сфере радиуса R с центром в начале координат будет
Если потенциал возникает из набора зарядов величины в положениях , то потенциал изображения будет результатом серии зарядов величины в положениях . Следовательно, если потенциал возникает из плотности заряда , то потенциал изображения будет результатом плотности заряда .