Кіріспе
Материалдық дененің ауырлық орталығы Физикада материалдық дененің ауырлық орталығы – гравитациялық әрекеттесулерді қысқаша сипаттауға қолданылатын нүкте. Біркелкі гравитациялық өрісте масса орталығы ауырлық орталығы рөлін атқарады. Бұл Жер бетіндегі кіші денелер үшін өте жақсы жуықтау, сондықтан инженерлік және медицина сияқты көптеген қолданыстарда "ауырлық орталығын" және "масса орталығын" ажыратудың қажеті жоқ. Біркелкі емес өрісте потенциалдық энергия, күш және момент сияқты гравитациялық әсерлерді тек масса орталығын пайдаланып есептеу мүмкін емес. Атап айтқанда, біркелкі емес гравитациялық өріс, тіпті масса орталығынан өтетін ось бойынша да, дененің айналу моментін тудыруы мүмкін. Ауырлық орталығы осы әсерді түсіндіруге көмектеседі. Формальды түрде, ауырлық орталығы – дененің үстінен өтетін жалпы ауырлық күшінің қолданылу нүктесі. Мұндай нүкте болуы мүмкін, ал болса, бірегей емес. Өрісті параллель немесе сфералық симметриялы деп жуықтап есептеу арқылы бірегей ауырлық орталығын анықтауға болады. Масса орталығынан өзгеше ауырлық орталығының түсінігі, тіпті аспан механикасында, біркелкі емес өрістер маңызды болған жағдайларда да, қолданыстарда сирек қолданылады. Ауырлық орталығы сыртқы өріске тәуелді болғандықтан, оның қозғалысын масса орталығының қозғалысынан анықтау қиынырақ. Гравитациялық айналу моменттерін қарастырудың әдеттегі әдісі – өріс теориясы.
In physics, a center of gravity of a material body is a point that may be used for a summary description of gravitational interactions. In a uniform gravitational field, the center of mass serves as the center of gravity. This is a very good approximation for smaller bodies near the surface of Earth, so there is no practical need to distinguish "center of gravity" from "center of mass" in most applications, such as engineering and medicine. In a non uniform field, gravitational effects such as potential energy, force, and torque can no longer be calculated using the center of mass alone. In particular, a non uniform gravitational field can produce a torque on an object, even about an axis through the center of mass. The center of gravity seeks to explain this effect. Formally, a center of gravity is an application point of the resultant gravitational force on the body. Such a point may not exist, and if it exists, it is not unique. One can further define a unique center of gravity by approximating the field as either parallel or spherically symmetric. The concept of a center of gravity as distinct from the center of mass is rarely used in applications, even in celestial mechanics, where non uniform fields are important. Since the center of gravity depends on the external field, its motion is harder to determine than the motion of the center of mass. The common method to deal with gravitational torques is a field theory.
Массалық орталығы
Дененің ауырлық орталығын анықтаудың бір жолы – егер ол бар болса, дененің ішіндегі бірегей нүкте ретінде, келесі талапты қанағаттандырады: денені күш өрісінде қандай да бір жағдайда орналастырғанда, бұл нүктеге қатысты еңкейту моменті болмайды. Бұл ауырлық орталығы күш біркелкі болған жағдайда ғана бар, және бұл жағдайда ол масса орталығымен сәйкес келеді. Бұл тәсіл Архимедке дейін жетеді.
Даладағы ауырлық орталықтары
Дененің біркелкі емес сыртқы гравитациялық өрісіне түскен кезде, кейде сол өріске қатысты гравитациялық күш қолданылатын нүкте ретінде әрекет ететін ауырлық орталығын анықтау мүмкін. Физика бойынша Фейнман дәрістері сияқты оқулықтар ауырлық орталығын айналу моменті жоқ нүкте ретінде сипаттайды. Басқаша айтқанда, ауырлық орталығы – бұл нәтижелескен күштің қолданылу нүктесі. Осы тұжырымдама бойынша, 'r'cg ауырлық орталығы 'F' және 'τ' күштерінің гравитациялық әсерінен туындаған жалпы күш және моментті қанағаттандыратын нүкте ретінде анықталады. 'r'cg-ге қатысты бір қиындық – оны анықтайтын теңдеудің жалпы жағдайда шешімі болмайды. Егер 'F' және 'τ' өзара перпендикуляр болмаса, онда шешім жоқ; гравитация күші нәтижелі емес және оны кез келген нүктеде бір күшпен алмастыруға болмайды. 'F' және 'τ' өзара перпендикуляр болады деп кепілдік берілген маңызды ерекше жағдайлар бар, мысалы, егер барлық күштер бір жазықтықта немесе бір нүктеге қарай бағытталған болса. Егер теңдеу шешілсе, тағы бір қиындық бар: оның шешімдері бірегей емес. Керісінше, шексіз көп шешімдер бар; барлық шешімдердің жиынтығы күштің әсер ету сызығы деп аталады. Бұл сызық 'F' салмағына параллель. Жалпы алғанда, ауырлық орталығының ерекше нүктесін таңдауға мүмкіндік жоқ. Бір нүкте кейбір ерекше жағдайларда ғана таңдалуы мүмкін, мысалы, егер гравитациялық өріс параллель немесе сфералық симметриялы болса. Бұл жағдайлар төменде қарастырылады.
where 'F' and 'τ' are the total force and torque on the body due to gravity. One complication concerning 'r'cg is that its defining equation is not generally solvable. If 'F' and 'τ' are not orthogonal, then there is no solution; the force of gravity does not have a resultant and cannot be replaced by a single force at any point. There are some important special cases where 'F' and 'τ' are guaranteed to be orthogonal, such as if all forces lie in a single plane or are aligned with a single point. If the equation is solvable, there is another complication: its solutions are not unique. Instead, there are infinitely many solutions; the set of all solutions is known as the line of action of the force. This line is parallel to the weight 'F'. In general, there is no way to choose a particular point as the unique center of gravity. A single point may still be chosen in some special cases, such as if the gravitational field is parallel or spherically symmetric. These cases are considered below.
Параллель өрістер
Гравитациялық өрістегі біртектіліктердің бір бөлігін өзгермелі, бірақ параллель өріс арқылы модельдеуге болады: 1 = 'g'('r') = g('r')'n', мұндағы 'n' – белгілі бір тұрақты бірлік вектор. Біркелкі емес гравитациялық өріс нақты параллель бола алмаса да, дене жеткілікті кішкентай болса, бұл жуықтау қолданылуы мүмкін. Осы жағдайда, ауырлық орталығы денені құрайтын бөлшектердің орналасқан жерлерінің салмақталған орташасы ретінде анықталады. Масса орталығы әр бөлшектің массасы бойынша орташа есептелсе, ал ауырлық орталығы әр бөлшектің салмағы бойынша орташа есептеледі:
мұнда wi – i-інші бөлшектің (скалярлық) салмағы, ал W – барлық бөлшектердің (скалярлық) жалпы салмағы. Бұл теңдеудің әрқашан бірегей шешімі бар, және параллель өріс жуықтауында ол айналу моментінің талабына сай келеді. Көрініс берілуге тиіс мысал – Жердің өрісіндегі Ай. Салмақталған орташа анықтамасын қолдану арқылы, Айдың ауырлық орталығы оның массалық орталығынан төмен (Жерге жақын) орналасқан, себебі оның төменгі бөлігі Жердің гравитациясына күштірек әсер етеді. Бұл нәтижесінде Ай әрқашан бір бетін көрсетіп тұрады, бұл құбылыс құлияттық құлыптану деп аталады.
Сфералық симметриялы өрістер
Егер сыртқы гравитациялық өріс сфералық симметриялы болса, онда ол симметрия орталығындағы М нүктелік массасының өрісіне тең болады. Бұл жағдайда, ауырлық орталығы денеге әсер ететін жалпы күштің Ньютон заңымен берілген нүкте ретінде анықталады:
мұнда G – гравитациялық тұрақты, m – дененің массасы. Жалпы күш нөлден өзгеше болғанда, бұл теңдеудің бірегей шешімі болады және ол айналу моментінің талабын қанағаттандырады. Бұл анықтаманың ыңғайлы ерекшелігі – егер дененің өзі сфералық симметриялы болса, онда 'r'cg оның массалық орталығында орналасады. Жалпы алғанда, "r" мен дене арасындағы қашықтық артқан сайын, ауырлық орталығы массалық орталыққа жақындайды. Бұл анықтаманы қарастырудың тағы бір жолы – дененің гравитациялық өрісін қарастыру; сонда 'r'cg – "r" нүктесінде орналасқан бақылаушы үшін гравитациялық тартымның көрінетін көзі болады. Осы себепті 'r'cg кейде "r" нүктесіне қатысты М ауырлық орталығы деп аталады. Гравитациялық айналу моментін ескеру қажет болғанда, гравитацияны массалық орталықта әрекет ететін күш ретінде, сондай-ақ бағдарға тәуелді момент ретінде көрсету оңайырақ. Соңғысына гравитациялық потенциалды өріс ретінде қарастыру арқылы қол жеткізуге болады.