Введение
Центр тяжести материального тела
В физике центр тяжести материального тела — это точка, которую можно использовать для обобщенного описания гравитационных взаимодействий. В однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести. Это очень хорошее приближение для тел небольшого размера вблизи поверхности Земли, поэтому на практике часто нет необходимости различать "центр тяжести" и "центр масс" в большинстве приложений, таких как инженерия и медицина. В неоднородном поле гравитационные эффекты, такие как потенциальная энергия, сила и момент силы, нельзя рассчитать, используя только центр масс. В частности, неоднородное гравитационное поле может создавать момент силы, действующий на объект, даже относительно оси, проходящей через центр масс. Центр тяжести призван объяснить этот эффект. Формально, центр тяжести — это точка приложения равнодействующей силы тяжести к телу. Такая точка может не существовать, и если она существует, то она не является единственной. Можно определить единственную точку центра тяжести, аппроксимируя поле как параллельное или сферически симметричное. Концепция центра тяжести, отличная от центра масс, редко используется на практике, даже в небесной механике, где важны неоднородные поля. Поскольку центр тяжести зависит от внешнего поля, определить его движение сложнее, чем движение центра масс. Распространенным методом учета гравитационных моментов сил является теория поля.
In physics, a center of gravity of a material body is a point that may be used for a summary description of gravitational interactions. In a uniform gravitational field, the center of mass serves as the center of gravity. This is a very good approximation for smaller bodies near the surface of Earth, so there is no practical need to distinguish "center of gravity" from "center of mass" in most applications, such as engineering and medicine. In a non uniform field, gravitational effects such as potential energy, force, and torque can no longer be calculated using the center of mass alone. In particular, a non uniform gravitational field can produce a torque on an object, even about an axis through the center of mass. The center of gravity seeks to explain this effect. Formally, a center of gravity is an application point of the resultant gravitational force on the body. Such a point may not exist, and if it exists, it is not unique. One can further define a unique center of gravity by approximating the field as either parallel or spherically symmetric. The concept of a center of gravity as distinct from the center of mass is rarely used in applications, even in celestial mechanics, where non uniform fields are important. Since the center of gravity depends on the external field, its motion is harder to determine than the motion of the center of mass. The common method to deal with gravitational torques is a field theory.
Центр массы
Одним из способов определения центра тяжести тела является уникальная точка внутри тела, если таковая существует, удовлетворяющая следующему условию: для любого положения тела в действующем на него поле сил крутящий момент относительно этой точки равен нулю. Центр тяжести существует только при условии однородности поля сил, в этом случае он совпадает с центром масс. Этот подход восходит к Архимеду.
Центр тяжести в поле
Когда на тело действует неоднородное внешнее гравитационное поле, иногда можно определить центр тяжести относительно этого поля, который будет служить точкой приложения гравитационной силы. В учебниках, таких как "Лекции Фейнмана по физике", центр тяжести характеризуется как точка, относительно которой крутящий момент равен нулю. Иными словами, центр тяжести – это точка приложения равнодействующей силы. В рамках этой формулировки центр тяжести r<sub>cg</sub> определяется как точка, удовлетворяющая уравнению
где F и τ – это суммарная сила и крутящий момент, действующие на тело под действием силы тяжести. Одно из затруднений, связанных с r<sub>cg</sub>, заключается в том, что его определяющее уравнение, как правило, не имеет решения. Если F и τ не ортогональны, то решения не существует: сила тяжести не имеет равнодействующей и не может быть заменена одной силой, приложенной в какой-либо точке. Существуют важные частные случаи, когда ортогональность F и τ гарантирована, например, когда все силы лежат в одной плоскости или направлены к одной точке. Если уравнение разрешимо, возникает еще одна сложность: его решения не являются единственными. Вместо этого существует бесконечно много решений; множество всех решений известно как линия действия силы. Эта линия параллельна весу F. В общем случае невозможно выбрать конкретную точку в качестве единственного центра тяжести. Однако в некоторых частных случаях можно выбрать единственную точку, например, когда гравитационное поле параллельно или сферически симметрично. Эти случаи рассматриваются ниже.
Параллельные поля
Некоторые из неоднородностей гравитационного поля могут быть смоделированы переменным, но параллельным полем: **g**(r) = g(r) * **n**, где **n** – некоторый постоянный единичный вектор. Хотя неравномерное гравитационное поле не может быть строго параллельным, это приближение допустимо, если тело достаточно мало. Центр тяжести можно определить как определенное взвешенное среднее координат частиц, составляющих тело. В то время как центр масс усредняет массы каждой частицы, центр тяжести усредняет веса каждой частицы:
где wᵢ – (скалярный) вес i-й частицы, а W – (скалярный) общий вес всех частиц. Это уравнение всегда имеет единственное решение, и в приближении параллельного поля оно согласуется с требованием отсутствия крутящего момента. Типичный пример – Луна в гравитационном поле Земли. Используя определение взвешенного среднего, центр тяжести Луны находится ниже (ближе к Земле), чем её центр масс, поскольку на её нижнюю часть сильнее действует гравитация Земли. Это в конечном итоге привело к тому, что Луна всегда обращена к Земле одной и той же стороной – явление, известное как приливная синхронизация.
Сферически симметричные поля
Если внешнее гравитационное поле сферически симметрично, то оно эквивалентно полю точечной массы M в центре симметрии 'r'. В этом случае центр тяжести можно определить как точку, в которой суммарная сила, действующая на тело, описывается законом Ньютона:
где G – гравитационная постоянная, а m – масса тела. До тех пор, пока суммарная сила не равна нулю, это уравнение имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию отсутствия крутящего момента. Удобство этого определения заключается в том, что если само тело сферически симметрично, то 'r'cg совпадает с его центром масс. В общем случае, с увеличением расстояния между 'r' и телом, центр тяжести приближается к центру масс. Другой подход к этому определению – рассмотреть гравитационное поле тела; тогда 'r'cg является кажущимся источником гравитационного притяжения для наблюдателя, находящегося в точке 'r'. По этой причине 'r'cg иногда называют центром тяжести массы M относительно точки 'r'. Когда необходимо учитывать гравитационный крутящий момент, удобнее представлять гравитацию как силу, действующую в центре масс, плюс момент сил, зависящий от ориентации. Последний лучше всего рассматривать, анализируя гравитационный потенциал как поле.