Кіріспе
Өлшемдік азайту - бұл компактты өлшемнің мөлшері нөлге баратын компактты теорияның шегі. Физикада D кеңістіктегі теорияны d өлшемдерінің төменгі санымен қайта анықтауға болады, бұл барлық өрістерді қосымша D - d өлшемдеріндегі орналасудан тәуелсіз деп қабылдау арқылы. Мысалы, L кезеңімен мерзімді тығыз өлшемді қарастырайық. x осы өлшемдегі координаты болсын. Кез келген өрісті келесі терминдердің қосындысы ретінде сипаттауға болады: An тұрақты. Кванттық механикаға сәйкес, мұндай терминнің x бойымен nh/L импульсі бар, мұндағы h - Планк тұрақтысы. Сондықтан L нөлге баратын болса, импульс шексізге барады, энергия да солай, егер n = 0 болмаса. Алайда n = 0 x-ке қатысты тұрақты өрісті береді. Бұл шекте, шекті энергияда, x-ге тәуелді болмайды. Бұл аргумент жалпылайды. Компакт өлшем барлық өрістерге белгілі бір шекті шарттарды жүктейді, мысалы, мерзімді өлшем жағдайында мерзімді шекті шарттар, ал басқа жағдайларда әдетте Ньюман немесе Дирихле шекаралық шарттар. Енді компакт өлшемнің өлшемі L деп есептеңіз; содан кейін осы өлшем бойынша градиент бойынша ықтимал өзіндік мәндер 1 / L бүтін немесе жарты бүтін еселі (нақты шектік жағдайларға байланысты). Кванттық механикада бұл өзіндік мән өрістің импульсі болып табылады, сондықтан оның энергиясына байланысты. L → 0 болғандықтан нөлден басқа барлық өзіндік мәндер шексізге дейін барады, энергия да солай. Сондықтан, осы шекте, шекті энергиямен, нөл компакт өлшем бойымен градиент бойынша мүмкін болатын жалғыз өзіндік мән болып табылады, яғни ештеңе бұл өлшемге байланысты емес. Өлшемдік қысқарту сонымен қатар Фейнман диаграммасындағы айырмашылықтарды нақты жоюды білдіреді. Оны 1976 жылы "тұзғыру экспансиясындағы барлық реттер үшін қысқа аралықтағы алмасуы және кездейсоқ сөндірілген өрісі бар d өлшемді (4 < d < 6) жүйесіндегі сыншы экспоненттер (d 2) өлшемді таза жүйедегідей" екенін дәлелдеген Амнон Ахарони, Йозеф Имри және Шан Кенг Ма ұсынды. Олардың дәлелдері "Қиындық жағдай үшін жетекші сингулярлық мінез-құлықты беретін Фейнман диаграммалары екі өлшемге аз таза жағдай үшін сәйкес келетін Фейнман диаграммаларына комбинаторлық факторлардан басқа бірдей тең" екенін көрсетті. Бұл өлшемдік қысқартуды Лангевиннің стохастикалық дифференциалдық теңдеулерінің суперсимметриялық теориясы аясында Джорджо Паризи мен Николас Сурлас зерттеді. Олар "ең көп инфрақызыл дивергентті диаграммалар кездейсоқ көздің ең көп санды енгізілгендері екенін байқады. Егер басқа диаграммалар назардан тыс қалса, кездейсоқ көздер болған жағдайда классикалық өріс теориясы үшін диаграммалық кеңейту қалдырылады.
with An a constant. According to quantum mechanics, such a term has momentum nh/L along x, where h is Planck's constant. Therefore, as L goes to zero, the momentum goes to infinity, and so does the energy, unless n = 0. However n = 0 gives a field which is constant with respect to x. So at this limit, and at finite energy, will not depend on x. This argument generalizes. The compact dimension imposes specific boundary conditions on all fields, for example periodic boundary conditions in the case of a periodic dimension, and typically Neumann or Dirichlet boundary conditions in other cases. Now suppose the size of the compact dimension is L; then the possible eigenvalues under gradient along this dimension are integer or half integer multiples of 1/L (depending on the precise boundary conditions). In quantum mechanics this eigenvalue is the momentum of the field, and is therefore related to its energy. As L → 0 all eigenvalues except zero go to infinity, and so does the energy. Therefore, at this limit, with finite energy, zero is the only possible eigenvalue under gradient along the compact dimension, meaning that nothing depends on this dimension. Dimensional reduction also refers to a specific cancellation of divergences in Feynman diagrams. It was put forward by Amnon Aharony, Yoseph Imry, and Shang keng Ma who proved in 1976 that "to all orders in perturbation expansion, the critical exponents in a d dimensional (4 < d < 6) system with short range exchange and a random quenched field are the same as those of a (d–2) dimensional pure system." Their arguments indicated that the "Feynman diagrams which give the leading singular behavior for the random case are identically equal, apart from combinatorial factors, to the corresponding Feynman diagrams for the pure case in two fewer dimensions." This dimensional reduction was investigated further in the context of supersymmetric theory of Langevin stochastic differential equations by Giorgio Parisi and Nicolas Sourlas who "observed that the most infrared divergent diagrams are those with the maximum number of random source insertions, and, if the other diagrams are neglected, one is left with a diagrammatic expansion for a classical field theory in the presence of random sources Parisi and Sourlas explained this dimensional reduction by a hidden supersymmetry."