Введение
Размерное уменьшение - это предел компактифицированной теории, где размер компактного измерения равен нулю. В физике теория в пространственно-временных измерениях D может быть переопределена в меньшем количестве измерений d, принимая все поля независимо от местоположения в дополнительных измерениях D − d. Например, рассмотрим периодическое компактное измерение с периодом L. Пусть x будет координатами вдоль этого измерения. Любое поле можно описать как сумму следующих терминов: с An постоянной. Согласно квантовой механике, такой термин имеет импульс nh/L вдоль x, где h - постоянная Планка. Поэтому, когда L приближается к нулю, импульс идет к бесконечности, и энергия тоже, если только n = 0. Однако n = 0 дает поле, которое является постоянным по отношению к x. Так что на этом пределе, и при конечной энергии, не будет зависеть от х. Этот аргумент обобщает. Компактное измерение налагает конкретные граничные условия на все поля, например, периодические граничные условия в случае периодического измерения, и обычно граничные условия Неймана или Дирихле в других случаях. Теперь предположим, что размер компактного измерения L; тогда возможные собственные значения под градиентом вдоль этого измерения являются целыми или полуцелыми кратными 1/L (в зависимости от точных граничных условий). В квантовой механике это собственное значение является импульсом поля, и поэтому связано с его энергией. Поскольку L → 0 все собственные значения, кроме нуля, идут к бесконечности, и энергия тоже. Поэтому, при этом пределе, при конечной энергии, ноль является единственным возможным собственным значением под градиентом вдоль компактного измерения, что означает, что ничто не зависит от этого измерения. Размерное уменьшение также относится к конкретному отмене расхождений в диаграммах Фейнмана. Это было выдвинуто Амноном Ахаронией, Йозефом Имри и Шан Кэн Ма, которые доказали в 1976 году, что "для всех порядков в расширении возмущений критические показатели в d-мерной системе (4 < d < 6) с обменом в коротком диапазоне и случайным погашенным полем такие же, как и в (d2) чистомерной системе". Их аргументы указывали на то, что "диаграммы Фейнмана, которые дают ведущее сингулярное поведение для случайного случая, идентично равны, кроме комбинаторных факторов, соответствующим диаграммам Фейнмана для чистого случая в двух меньших измерениях". Это измерение сокращения было исследовано далее в контексте суперсимметрической теории стохастических дифференциальных уравнений Лангевина Джорджио Паризи и Николасом Сурласом, которые "наблюдали, что наиболее инфракрасные дивергентные диаграммы - это те, которые имеют максимальное количество случайных вставлений источника, и, если другие диаграммы игнорируются, остается диаграмматическое расширение для классической теории поля в присутствии случайных источников. Паризи и Сурлас объяснили это измерение сокращения скрытой суперсимметрией".
with An a constant. According to quantum mechanics, such a term has momentum nh/L along x, where h is Planck's constant. Therefore, as L goes to zero, the momentum goes to infinity, and so does the energy, unless n = 0. However n = 0 gives a field which is constant with respect to x. So at this limit, and at finite energy, will not depend on x. This argument generalizes. The compact dimension imposes specific boundary conditions on all fields, for example periodic boundary conditions in the case of a periodic dimension, and typically Neumann or Dirichlet boundary conditions in other cases. Now suppose the size of the compact dimension is L; then the possible eigenvalues under gradient along this dimension are integer or half integer multiples of 1/L (depending on the precise boundary conditions). In quantum mechanics this eigenvalue is the momentum of the field, and is therefore related to its energy. As L → 0 all eigenvalues except zero go to infinity, and so does the energy. Therefore, at this limit, with finite energy, zero is the only possible eigenvalue under gradient along the compact dimension, meaning that nothing depends on this dimension. Dimensional reduction also refers to a specific cancellation of divergences in Feynman diagrams. It was put forward by Amnon Aharony, Yoseph Imry, and Shang keng Ma who proved in 1976 that "to all orders in perturbation expansion, the critical exponents in a d dimensional (4 < d < 6) system with short range exchange and a random quenched field are the same as those of a (d–2) dimensional pure system." Their arguments indicated that the "Feynman diagrams which give the leading singular behavior for the random case are identically equal, apart from combinatorial factors, to the corresponding Feynman diagrams for the pure case in two fewer dimensions." This dimensional reduction was investigated further in the context of supersymmetric theory of Langevin stochastic differential equations by Giorgio Parisi and Nicolas Sourlas who "observed that the most infrared divergent diagrams are those with the maximum number of random source insertions, and, if the other diagrams are neglected, one is left with a diagrammatic expansion for a classical field theory in the presence of random sources Parisi and Sourlas explained this dimensional reduction by a hidden supersymmetry."