Кіріспе
Физикалық жүйенің дифференциалдық симметрияларын консервативті шамалармен байланыстыратын мәлімдеме. Эмма Нётердің бірінші теоремасы, консервативті шамаларды симметриялардан тудырады.
Emmy Noether's first theorem, which derives conserved quantities from symmetries
Нётер теоремасы консервативті күштермен физикалық жүйенің әрекетінің кез келген үздіксіз симметриясы тиісті сақталу заңына ие екенін көрсетеді. Бұл 1915 жылы математик Эми Нётер дәлелдеген және 1918 жылы жарияланған екі теореманың біріншісі (Нётердің екінші теоремасын қараңыз). Физикалық жүйенің әрекеті – уақыт бойынша Лагранж функциясының интегралы, одан жүйенің мінез-құлқын ең аз әрекет принципі арқылы анықтауға болады. Бұл теорема тек физикалық кеңістіктің үздіксіз және тегіс симметрияларына ғана қолданылады. Нётер теоремасы теориялық физикада және вариациялық есептеулерде қолданылады. Ол физикалық жүйенің симметриясы мен сақталу заңдары арасындағы негізгі байланысты ашады. Бұл сонымен қатар қазіргі заманғы теориялық физиктерін физикалық жүйелердің симметриясына көбірек назар аударуға итермеледі. Лагранж және Гамильтон механикасындағы қозғалыс тұрақтылары туралы формулалардың (1788 және 1833 жылдары жасалған) жалпыламасы, тек Лагранжмен модельдеуге болмайтын жүйелерге (мысалы, Рейлидің диссипациялық функциясы бар жүйелерге) қолданылмайды. Атап айтқанда, үздіксіз симметриясы бар диссипативтік жүйелерде міндетті түрде тиісті сақталу заңы болуы қажет емес.
Негізгі суреттер мен фон
Мысал ретінде, егер физикалық жүйенің қалай орналасқанына қарамастан қасиеттері өзгермесе (яғни, ол инвариант болса), оның Лагранжианы үздіксіз айналымдарға қатысты симметриялы болады: осы симметриядан Ноэтер теоремасы жүйенің бұрыштық импульсі сақталуын, оның қозғалыс заңдарының салдары ретінде анықтайды. Физикалық жүйенің өзі симметриялы болуы міндетті емес; ғарышта құлаудағы бейінді астероид өзінің асимметриясына қарамастан бұрыштық импульсін сақтайды. Оның қозғалыс заңдары симметриялы болады. Тағы бір мысал келтірейік, егер физикалық процестің нәтижесі орын мен уақытқа тәуелсіз болса, онда оның Лагранжианы сәйкесінше орын және уақыт бойынша үздіксіз ауысуларға қатысты симметриялы болады: Ноэтер теоремасы бойынша, осы симметриялар жүйедегі сызықтық импульс пен энергияның сақталу заңдарын қамтамасыз етеді. Ноэтер теоремасы маңызды, себебі ол сақталу заңдарына түсінік береді, сонымен қатар ол практикалық есептеу құралы болып табылады. Ол зерттеушілерге физикалық жүйенің байқалатын симметрияларынан сақталатын шамаларды (инварианттарды) анықтауға мүмкіндік береді. Керісінше, зерттеушілерге берілген инварианттарға ие гипотетикалық Лагранжиандардың толық кластарын қарастырып, физикалық жүйені сипаттауға болады.
Мысалдар
I. Уақыт инварианттылығы
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Мысал ретінде, уақытқа тәуелді емес, яғни t → t + δt өзгерістері кезінде координаттардың q өзгерісіз инвариантты (симметриялық) болатын Лагранждықты қарастырайық. Бұл жағдайда N = 1, T = 1 және Q = 0; сәйкес сақталатын шама – жалпы энергия H.
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
II. Трансляциялық инварианттылық
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
qk ("көрсетілмейтін", жоғарыда айтылғандай) координатына тәуелді емес Лагранждықты қарастырайық; демек, ол qk → qk + δqk өзгерістері кезінде инвариантты (симметриялық) болады. Бұл жағдайда N = 1, T = 0, және Qk = 1; сақталатын шама – сәйкес сызықтық импульс pk (бұл келесі бөлімде шығарылады).
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
III. Айналу инварианттылығы
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Бұрыштық импульстің L = r × p сақталуы оның сызықтық импульс аналогына ұқсас, бұл симметриямен байланысты Нотер тогы деп аталады. Ұзындық теңдеуі бізге егер біз осы токты кеңістіктік қима бойынша интегралдасақ, Нотер заряды деп аталатын сақталатын шама алатынымызды айтады (әрине, егер M шексіз болмаса, токтар шексіздікте жеткілікті түрде тез жоғалады).
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Ескертпелер
Ноэтер теоремасы – қабықшадағы теорема: ол қозғалыс теңдеулерін – классикалық траекторияны пайдалануға сүйенді. Ол шекаралық шарттар мен вариациялық принцип арасындағы байланысты көрсетеді. Әрекетте шекаралық мүшелер болмаса, Ноэтер теоремасы мынаны білдіреді:
Кванттық аналогтары, мысалы, күтілетін мәндер (мысалы, ) қабықшадан тыс шамаларды зерттейтін Уорд-Такахаши тождестемелері болып табылады.