Введение
Заявление, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами. Первая теорема Эмми Нётер, выводящая сохраняющиеся величины из симметрий.
Emmy Noether's first theorem, which derives conserved quantities from symmetries
Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии действия физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения. Это первая из двух теорем (см. вторую теорему Нётер), доказанная математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликованная в 1918 году. Действие физической системы — это интеграл по времени функции Лагранжа, из которой поведение системы может быть определено принципом наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям физического пространства. Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении. Она раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения. Она также заставила современных теоретических физиков уделять гораздо больше внимания симметриям физических систем. Являясь обобщением формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно), она неприменима к системам, которые нельзя смоделировать только с помощью лагранжиана (например, к системам с функцией диссипации Рэлея). В частности, диссипативные системы с непрерывной симметрией не обязаны иметь соответствующий закон сохранения.
Основные иллюстрации и фоновые изображения
В качестве иллюстрации, если физическая система ведет себя одинаково независимо от ее ориентации в пространстве (то есть является инвариантной), ее лагранжиан симметричен относительно непрерывных вращений: из этой симметрии, согласно теореме Нётер, следует, что угловой момент системы сохраняется как следствие ее законов движения. Сама физическая система не обязана быть симметричной; например, неровный астероид, вращающийся в пространстве, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Симметричны именно законы его движения. В качестве другого примера, если физический процесс дает одинаковые результаты независимо от места или времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных сдвигов в пространстве и времени соответственно: теорема Нётер утверждает, что эти симметрии обуславливают законы сохранения линейного импульса и энергии в этой системе. Теорема Нётер важна как с точки зрения понимания законов сохранения, так и как практический вычислительный инструмент. Она позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины (инварианты) на основе наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, она позволяет ученым рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы.
Примеры
I. Инвариантность времени
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Для иллюстрации рассмотрим лагранжиан, который не зависит от времени, то есть является инвариантным (симметричным) при преобразованиях t → t + δt, без изменения координат q. В этом случае N = 1, T = 1 и Q = 0; соответствующая сохраняющаяся величина – полная энергия H.
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
II. Инвариантность относительно сдвигов
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Рассмотрим лагранжиан, который не зависит от ("неучитываемой", как указано выше) координаты qk; следовательно, он инвариантен (симметричен) при преобразованиях qk → qk + δqk. В этом случае N = 1, T = 0 и Qk = 1; сохраняющаяся величина – соответствующий линейный импульс pk (это будет выведено в следующем разделе).
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
III. Инвариантность относительно вращений
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Сохранение углового момента L = r × p аналогично сохранению линейного импульса. Это называется током Ноэтера, связанным с данной симметрией. Уравнение непрерывности говорит нам, что если мы проинтегрируем этот ток по пространственному сечению, мы получим сохраняющуюся величину, называемую зарядом Ноэтера (при условии, конечно, что если M некомпактно, токи должны убывать достаточно быстро на бесконечности).
For illustration, consider a Lagrangian that does not depend on time, i. e., that is invariant (symmetric) under changes t → t + δt, without any change in the coordinates q. In this case, N = 1, T = 1 and Q = 0; the corresponding conserved quantity is the total energy H
II. Translational invariance
Consider a Lagrangian which does not depend on an ("ignorable", as above) coordinate qk; so it is invariant (symmetric) under changes qk → qk + δqk. In that case, N = 1, T = 0, and Qk = 1; the conserved quantity is the corresponding linear momentum pk(this will be derived in the next section). III. Rotational invariance
The conservation of the angular momentum L = r × p is analogous to its linear momentum counterpart. which is called the Noether current associated with the symmetry. The continuity equation tells us that if we integrate this current over a space like slice, we get a conserved quantity called the Noether charge (provided, of course, if M is noncompact, the currents fall off sufficiently fast at infinity).
Комментарии
Теорема Нётер — это теорема, справедливая на массовой оболочке: она опирается на использование уравнений движения, то есть классической траектории. Она отражает связь между граничными условиями и вариационным принципом. При условии отсутствия граничных членов в действии, теорема Нётер подразумевает, что квантовые аналоги теоремы Нётер, включающие в себя средние значения (например, ), также являются идентичностями Уорда — Такахаси.
The quantum analogs of Noether's theorem involving expectation values (e. g., ) probing off shell quantities as well are the Ward–Takahashi identities.