Кіріспе
Математикада, бөлшекті реттелген жиынның арнайы кіші жиыны жиынтарды сүзгілейді. Математикада, сүзгі немесе реттік сүзгі – бөлшекті реттелген жиынның (посеттік) "үлкен" немесе "соңғы" элементтерін сипаттайтын арнайы кіші жиыны. Сүзгілер реттік және тор теориясында, сондай-ақ топологияда қолданылады, осы саладан олар пайда болған. Сүзгіге қарама-қарсы ұғым – идеалдық тәртіп. Сүзгілердің ерекше жағдайларына кеңейтілмейтін сүзгілер – ультрафильтрлер жатады, олар математикалық логикадағы конструкциялық емес әдістерді сипаттайды. Жиынтардағы сүзгілерді 1937 жылы Анри Картан енгізді. Николас Бурбаки өзінің "Topologie Générale" кітабында сүзгілерді Э. Х. Мур мен Герман Л. Смиттің 1922 жылғы желі түсінігіне балама ретінде танымал етті; реттік сүзгілер бұл ұғымды кіріктірілген қуат жиынтығының нақты жағдайынан кез келген ішінара реттелген жиынға дейін жалпылайды. Дегенмен, қуат жиынтығы сүзгілерінің теориясы өздігінен қызығушылық тудырады, әсіресе топологиядағы маңызды қолданыстары үшін.
filters on sets
In mathematics, a filter or order filter is a special subset of a partially ordered set (poset), describing "large" or "eventual" elements. Filters appear in order and lattice theory, but also topology, whence they originate. The notion dual to a filter is an order ideal. Special cases of filters include ultrafilters, which are filters that cannot be enlarged, and describe nonconstructive techniques in mathematical logic. Filters on sets were introduced by Henri Cartan in 1937. Nicolas Bourbaki, in their book Topologie Générale, popularized filters as an alternative to E. H. Moore and Herman L. Smith's 1922 notion of a net; order filters generalize this notion from the specific case of a power set under inclusion to arbitrary partially ordered sets. Nevertheless, the theory of power set filters retains interest in its own right, in part for substantial applications in topology.
Мотивация
Ішінара реттелген жиынтықты (посетті) P қарастырайық. Интуитивті түрде, сүзгі F – бұл P жиынының кіші жиыны, оның мүшелері белгілі бір критерийді қанағаттандыру үшін жеткілікті үлкен элементтер болып табылады. Мысалы, егер x ∈ P болса, онда x-тен жоғары элементтер жиыны x-тегі негізгі сүзгі деп аталатын сүзгі болады. (Егер x және y P жиынының салыстыруға келмейтін элементтері болса, онда x-тегі негізгі сүзгі де, y-тегі негізгі сүзгі де бір-біріне кірмейді.) Сол сияқты, S жиынындағы сүзгіде белгілі бір объектіні қамту үшін жеткілікті үлкен кіші жиынтықтар болады. Мысалы, егер S – нақты түзу және x ∈ S болса, онда ішкі бөлігінде x бар жиынтықтардың жиыны x-тегі маңай сүзгісі деп аталатын сүзгі болады. Бұл жағдайда, объект x-тен сәл үлкен, бірақ түзудің басқа ешқандай нақты нүктесін қамтамайды. Жоғарыда айтылғандар төмендегі анықтамадағы жоғары қарай жабылу талабын негіздейді: «жеткілікті үлкен» объектілерді әрқашан үлкен етуге болады. Қалған екі шартты түсіну үшін рөлдерді ауыстырып, F-ті x табуға арналған «орналастыру схемасы» ретінде қарастырайық. Бұл түсіндірмеде X кеңістігінде іздеу жүргізіледі және F мақсатты қамтитын X-тің кіші жиынтықтарын сипаттайды деп күтіледі. Мақсат бір жерде болуы керек; демек, бос жиын ∅ ешқашан F-ке кірмейді. Егер екі кіші жиынның екеуінде де мақсат болса, онда олардың ортақ бөлігіне «жақындау» керек. Ультрафильтр – бұл «жетілдірілген орналастыру схемасы», онда схеманың әрбір компоненті жаңа ақпарат береді («мұнда қараңыз» немесе «басқа жерде қараңыз»). Компакттылық – бұл «әрбір іздеу жемісті» қасиеті, яки «әрбір орналастыру схемасы іздеу нәтижесімен аяқталады». Сүзгіні жиі қолданылатын тәсіл – кейбір топологиялық кеңістіктің «типикалық» элементтері қанағаттандыратын қасиеттерді анықтау. Бұл қолданба «орналастыру схемасын» нақты жазу қиын болатын нүктелерді табу үшін жалпылайды.
Сүзгі негіздері
F-тің S ішкі жиыны, егер S-тен туындаған жоғарғы жиынтық (яғни, S-ті қамтитын ең кіші жоғары жабық жиын) F-тің өзі болса, F үшін база немесе негіз болып табылады. Кез келген сүзгі өзі үшін база болып табылады. Сонымен қатар, егер B ⊆ P бос емес және төмен қарай бағытталған болса, онда B сүзгі болып табылатын жоғарғы жиын F-ті жасайды (мұнда B база болып табылады). Мұндай жиынтар алдын ала сүзгілер деп аталады, сондай-ақ жоғарыда аталған сүзгі базасы/негізі, ал F жиыны B арқылы туындайды немесе жайылады делінеді. Алдын ала сүзгі, тек қана дұрыс сүзгі жасағанда ғана дұрыс болып табылады. Егер p ∈ P берілген болса, онда p-ні қамтитын ең кіші сүзгі ↑ p деп белгіленеді. Мұндай сүзгі негізгі сүзгі деп аталады; p, F-тің негізгі элементі болып табылады немесе F-ті тудырады.
Тазарту
Болсын, B және C – P-дегі екі алдын ала сүзгілер, және әрбір c ∈ C үшін b ∈ B бар, онда b ≤ c. Онда біз B, C-ден ұсақ (немесе C-ні тазартады) дейміз; сәйкесінше, C, B-ден (немесе B-ні ірілендіреді) ірірек. Тазарту – алдын ала сүзгілер жиынындағы алдын ала реттеу. Шындығында, егер C сонымен қатар B-ні тазартатын болса, онда B мен C эквивалентті деп аталады, себебі олар бірдей сүзгіні тудырады. Осылайша, алдын ала сүзгіден сүзгіге өту – алдын ала реттеуден байланысты ішінара реттеуге өтудің бір мысалы болып табылады.
Ерекше жағдайлар
Тарихи тұрғыдан алғанда, сүзгілер кездейсоқ ішінара тәртіптерге дейін теориялық торларды жалпылауға дамыды. Торлар жағдайында, төмен бағытты шекті түйісу бойынша жабылу ретінде жазуға болады: кез келген x, y ∈ F үшін, x ∧ y ∈ F болады.
Сызықтық сүзгілер
Сызықтық (ультра) сүзгі — берілген векторлық кеңістіктің векторлық кіші кеңістіктер торындағы, кіріктіру бойынша реттелген (ультра) сүзгі. Нақтырақ айтқанда, X векторлық кеңістігіндегі сызықтық сүзгі — X-тің векторлық кіші кеңістіктер жиыны, егер A және C — X-тің векторлық кіші кеңістіктері болса, және C, A-ны қамтыса, онда және . Сызықтық сүзгі дұрыс емес, егер ол толық кеңістікті қамтымаса.
A linear filter is proper if it does not contain .
Жинақтағы сүзгілер; қосалқы негіздер
S жиынтығын қарастыра отырып, қуат жиынтығы жиынтықтың кіші жиыны ретінде ішінара реттелген; осы тордағы сүзгілер көбінесе терминологияны дұрыс емес қолдану арқылы "S-тегі сүзгілер" деп аталады. Мұндай торлар үшін төменге бағытталғандық және жоғары жабылу келесідей қысқартылады:
Шектеулі қиылыстар бойынша жабылу: Егер A, B ∈ F болса, онда A ∩ B ∈ F да болады.
Изотония: Егер A ∈ F және A ⊆ B ⊆ S болса, онда B ∈ F болады.
Closure under finite intersections If A, B ∈ F, then so too is A ∩ B ∈ F.
Isotony If A ∈ F and A ⊆ B ⊆ S, then B ∈ F.
Дұрыс/дегенерацияланбаған сүзгі — бұл ∅ жиынтығын қамтымайтын сүзгі, және осы үш шарт (дегенерацияланбауды қоса алғанда) Анри Картанның сүзгінің бастапқы анықтамасы болып табылады. Жиынтықтардағы сүзгілердің дұрыс болуы жиі кездеседі, бірақ міндетті емес (тордағы сүзгілерге қатысты қандай көзқарас болса да); біз бұл конвенцияны қайтадан елемейміз. Жинақтың алдын ала сүзгілері дұрыс болады, егер және тек қана олар ∅ жиынтығын қамтымаса. Кез келген T кіші жиынтығы үшін, T жиынтығын қамтитын ең кіші сүзгі F бар. Алдын ала сүзгілер сияқты, T жиынтығы F сүзгісін тудырады немесе жабады; F үшін база — T жиынтығының барлық шектеулі қиылыстарының U жиынтығы. T жиынтығы, егер F (және, демек, U) дұрыс болса, сүзгінің кіші базасы деп аталады. Жиынтықтардағы дұрыс сүзгілер шектеулі қиылысу қасиетіне ие. Егер , онда S тек қана дұрыс емес сүзгіні қабылдайды.
Бос сүзгілер
Егер оның мүшелерінің қиылысы бос жиын болса, сүзгі еркін деп аталады. Дұрыс негізгі сүзгі еркін емес. Сүзгінің кез келген шекті санының мүшелерінің қиылысы да сүзгінің мүшесі болғандықтан, шекті жиынтақтағы ешқандай дұрыс сүзгі еркін емес, және шындығында, оның барлық мүшелерінің ортақ қиылысымен туындайтын негізгі сүзгі болып табылады. Бірақ шексіз жиынтақтағы негізгі емес сүзгі міндетті түрде еркін болмайды: сүзгі еркін болу үшін, және тек қана оның құрамында Фреше сүзгісі болуы керек (қараңыз).
Мысалдар
Бұл мақаланың жоғарғы жағындағы суретте шекті жиынтықтағы сүзгілердің қарапайым мысалы көрсетілген. Толық реттелген жиынтықты қарастырыңыз, оны нүктелік салыстыру арқылы нақты мәнді функциялар кеңістігі ретінде реттеңіз. Содан кейін "шексіздікте үлкен" функциялар жиыны – бұл жиынтықтағы сүзгі. Бұл құрылысты доменді тығыздау және кодоменді толықтыру арқылы кеңінен жалпылауға болады: егер X – ерекшеленген S жиынтығы бар жиын болса, ал Y – ерекшеленген m элементі бар реттелген жиын болса, онда X → Y сүзгі болады. Жиынтық – бұл жиынтықтағы сүзгі. Көбірек, егер D – кез келген бағытталған жиын болса, онда ол сүзгі болып табылады, оны "құйрық сүзгісі" деп атайды. Сол сияқты, кез келген тор "мүмкіндік сүзгісін" жасайды. Құйрық сүзгісі – шексіз жиын X-тегі Фреше сүзгісі үшін мүмкіндік сүзгісі. Егер (X, μ) өлшемді кеңістік болса, онда жиынтық сүзгі болады. Егер , онда ол да сүзгі; Фреше сүзгісі – μ өлшемі санаулы өлшемге тең болғандағы жағдай. Ординал a берілген болса, a жиынының ішкі жиыны, егер ол a реттелген топологиясында жабық болса және торлық лимит a-ға тең болса, "клуб" деп аталады. a жиынының клубтары сүзгі құрайды: клуб сүзгісі, ♣(a). Жоғарыдағы құрылым былай жалпыланады: кез келген клуб C сонымен қатар a ординалдық топологиясындағы тығыз жиынтықтардың жиыны болып табылады және ♣(a) C жиынының әрбір элементімен қиылысады. C-ді тығыз жиынтықтардың кез келген жиыны C̃-мен алмастырса, "әдетте" C̃ жиынының әрбір элементімен қиылысатын сүзгі болады, оны "жалпы сүзгі" деп атайды. Саналатын C̃ үшін Расиова-Сикорский леммасы мұндай сүзгінің болуын білдіреді; "кішкентай" санағысыз C̃ үшін мұндай сүзгінің болуын Мартин аксиомасы арқылы мәжбүрлеуге болады. P – шектеулі кардиналдылықтағы изоморфизм бойынша ішінара реттелген жиындар жиынтығын белгілейік. P жиынын былай реттейміз: A ≤ B егер A-дан B-ға қатаң өсетін f: A → B функциясы болса. Содан кейін атомдық емес ішінара реттелген жиындар жиыны сүзгі құрайды. Сол сияқты, егер I – берілген коммутативті сақинадағы инъективті модульдер жиыны болса, шектеулі кардиналдылықтағы изоморфизм бойынша, онда I жиынындағы ішінара реттелу: A ≤ B егер A-дан B-ға инъективті сызықтық функция f: A → B болса. Кез келген шексіз кардинал κ берілген болса, I жиынындағы κ элементінен аз элементтермен туындатылмайтын модульдер сүзгі құрайды. Жиын X-тегі әрбір біртекті құрылым X × X жиынында сүзгі болып табылады.
Partially order , the space of real valued functions on , by pointwise comparison. Then the set of functions "large at infinity,"is a filter on One can generalize this construction quite far by compactifying the domain and completing the codomain: if X is a set with distinguished subset S and Y is a poset with distinguished element m, then is a filter in X → Y. The set is a filter in More generally, if D is any directed set, thenis a filter in , called the tail filter. Likewise any net generates the eventuality filter A tail filter is the eventuality filter for
The Fréchet filter on an infinite set X isIf (X, μ) is a measure space, then the collection is a filter. If , then is also a filter; the Fréchet filter is the case where μ is counting measure. Given an ordinal a, a subset of a is called a club if it is closed in the order topology of a but has net theoretic limit a. The clubs of a form a filter: the club filter, ♣(a). The previous construction generalizes as follows: any club C is also a collection of dense subsets (in the ordinal topology) of a, and ♣(a) meets each element of C. Replacing C with an arbitrary collection C̃ of dense sets, there "typically" exists a filter meeting each element of C̃, called a generic filter. For countable C̃, the Rasiowa–Sikorski lemma implies that such a filter must exist; for "small" uncountable C̃, the existence of such a filter can be forced through Martin's axiom. Let P denote the set of partial orders of limited cardinality, modulo isomorphism. Partially order P by:
A ≤ B if there exists a strictly increasing f : A → B. Then the subset of non atomic partial orders forms a filter. Likewise, if I is the set of injective modules over some given commutative ring, of limited cardinality, modulo isomorphism, then a partial order on I is:
A ≤ B if there exists an injective linear map f : A → B. Given any infinite cardinal κ, the modules in I that cannot be generated by fewer than κ elements form a filter. Every uniform structure on a set X is a filter on X × X.
Идеалдармен қарым-қатынасы
Фильтрге қатысты екі ұғым – яғни, барлық ≤ белгілерін кері аудару және ∧ пен ∨ алмастыру арқылы алынған түсінік – тәртіптік идеал болып табылады. Осы екілік қағиданың арқасында, кез келген фильтр туралы сұрақ идеалдар туралы сұраққа, ал идеалдар туралы сұрақ фильтрлер туралы сұраққа механикалық түрде ауыстырылуы мүмкін; атап айтқанда, жай немесе максималды фильтр – сәйкес идеалдары жай немесе максималды болатын фильтр. Фильтр, сәйкес идеал минималды болса және тек сонда ғана ультрафильтр болып табылады.
Үлгі теориясында
S жиынтығындағы F кез келген сүзгі үшін, арқылы анықталған жиынтық функция шекті түрде қосылады – егер бұл термин кең мағынада түсіндірілсе, ол «өлшем» болып табылады. Сонымен қатар, егер F ультрафильтр болса, онда осылай құрастырылған өлшемдер барлық жерде анықталады. Сондықтан, бұл мәлімдеме φ «денеуір барлық жерде» деп айтылғанға ұқсас деп қарастырылуы мүмкін. Фильтрге жататындықты түсіндірудің осы тәсілі математикалық логиканың бір саласы – модель теориясындағы ультракөбейтімдер теориясында қолданылады (нақты дәлелдер үшін емес, түсінік беру үшін).
Топологияда
Жалпы топология мен талдауда сүзгілер метрикалық кеңістіктегі тізбектердің атқаратын рөліне ұқсас конвергенцияны анықтау үшін қолданылады. Олар кез келген топологиялық кеңістіктердің кең ауқымында лимит ұғымын біріктіреді. Сүзгілердің қажеттілігін түсіну үшін, эквивалентті тор ұғымынан бастайық. Тізбек әдетте табиғи сандармен индексиленеді, олар толығымен реттелген жиын. Торлар, бағытталған жиынтықты ауыстыру арқылы тізбек ұғымын жалпылайды. Топологиялық кеңістіктердің кейбір категорияларында, мысалы, бірінші санаулы кеңістіктерде, тізбектер көптеген топологиялық қасиеттерді сипаттайды, бірақ бұл жалпы жағдайда дұрыс емес. Дегенмен, торлар – және сүзгілер де – әрқашан осы топологиялық қасиеттерді сипаттайды. Сүзгілер X топологиялық кеңістігінен тысқандай да жиынтықты қамтымайды, ал тізбектер мен торлар басқа бағытталған жиынтықтарға тәуелді. Осы себепті, X-тегі барлық сүзгілер жиынтығы әрқашан жиын болып табылады, ал барлық X-мәнді торлар жиынтығы – нақты сынып.
Көршілдік базалар
Кез келген x нүктесі топологиялық кеңістік X-те көршілік сүзгісін немесе жүйесін анықтайды: атап айтқанда, ішкі бөлігінде x нүктесін қамтитын барлық жиынтардың жиыны. x нүктесінің көршіліктері жиыны, егер ол көршіліктерді тудырса, x нүктесіндегі көршілік базасы болып табылады. Басқаша айтқанда, S жиыны X-ке кіретін болса, ол x нүктесінің көршілігі болып табылады, егер және тек қана N жиыны S жиынына кіретіндей элемент табылатын болса.
Конвергентті сүзгілер мен кластерлік нүктелер
B префильтрі x нүктесіне жақынсаса, B → x деп жазылады, егер және тек қана B, x-тің әрбір көршілігі U үшін V ⊆ U болатын V ∈ B сүзгісін F тудырса. Аз анық айтқанда, B → x егер және тек қана B тазартса, және x нүктесіндегі кез келген көршілік базасы осы шартта алмастырыла алады. Әрине, x нүктесіндегі әрбір көршілік базасы x-ке жақынсады. Жоғарыда айтылғандарды көршілік сүзгісін сипаттау үшін кері қайтаруға болады: x-ке жақынсаған әрбір сүзгіден жуан сүзгінің ең жоғары деңгейі. Егер B → x болса, онда x – B-нің лиміті (нүктесі) деп аталады. B префильтрі x нүктесінде кластерленеді (немесе x – кластерлік нүкте) егер және тек қана B-нің әрбір элементі x-тің әрбір көршілігімен бос емес жиын құраса. Әрбір лимит нүктесі кластерлік нүкте болып табылады, бірақ керісіне, жалпы жағдайда, дұрыс емес. Дегенмен, ультрафильтрдің әрбір кластерлік нүктесі лимит нүктесі болып табылады.