Введение

В математике фильтр или фильтр порядка — это специальное подмножество частично упорядоченного множества (посета), описывающее "большие" или "в конечном итоге" элементы. Фильтры встречаются в теории порядка и решёток, а также в топологии, откуда они и происходят. Понятие, двойственное фильтру, — это порядок-идеал. Особые случаи фильтров включают ультрафильтры, которые нельзя расширить, и которые описывают неконструктивные методы в математической логике. Фильтры на множествах были введены Анри Картаном в 1937 году. Никола Бурбаки в своей книге "Topologie Générale" популяризировали фильтры как альтернативу понятию сети, предложенному Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году; фильтры порядка обобщают это понятие из конкретного случая булеана по включению на произвольные частично упорядоченные множества. Тем не менее, теория фильтров булеана сохраняет интерес сама по себе, отчасти благодаря значительным приложениям в топологии.

Мотивация

Определим частично упорядоченное множество (посеть) P. Интуитивно, фильтр F является подмножеством P, элементы которого достаточно велики, чтобы удовлетворять некоторому критерию. Например, если x ∈ P, то множество элементов, больших x, является фильтром, называемым главным фильтром в x. (Если x и y – несравнимые элементы P, то ни главный фильтр в x, ни главный фильтр в y не содержится в другом.) Аналогично, фильтр на множестве S содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы содержать некоторый заданный объект. Например, если S – это вещественная прямая и x ∈ S, то семейство множеств, содержащих x во внутренней области, является фильтром, называемым фильтром окрестностей в x. В этом случае объект немного больше, чем x, но все равно не содержит никакой другой конкретной точки прямой. Вышеизложенные соображения мотивируют требование восходящего замыкания в определении ниже: "достаточно большие" объекты всегда можно сделать еще больше. Чтобы понять два других условия, поменяйте местами роли и рассматривайте F как "схему поиска" для нахождения x. В этой интерпретации осуществляется поиск в некотором пространстве X, и ожидается, что F описывает те подмножества X, которые содержат искомый объект. Искомый объект должен быть где-то расположен; таким образом, пустое множество ∅ никогда не может входить в F. И если два подмножества содержат искомый объект, то следует "сузить" их общую область. Ультрафильтр описывает "идеальную схему поиска", где каждый компонент схемы предоставляет новую информацию (либо "искать здесь", либо "искать в другом месте"). Компактность – это свойство, согласно которому "каждый поиск успешен", или, другими словами, "каждая схема поиска заканчивается результатом". Распространенное применение фильтров – определение свойств, которым удовлетворяют "типичные" элементы некоторого топологического пространства. Это применение обобщает "схему поиска" для нахождения точек, которые может быть трудно задать явно.

Основания фильтров

Подмножество S множества F является базой или основой для F, если верхнее множество, порожденное S (то есть наименьшее множество, замкнутое относительно взятия верхних границ, содержащее S), совпадает со всем множеством F. Каждый фильтр является базой для самого себя. Более того, если B ⊆ P не пусто и направлено вниз, то B порождает верхнее множество F, которое является фильтром (для которого B является базой). Такие множества называются префильтрами, а также базой фильтра, и говорят, что F порождено или охватывается B. Префильтр является собственным тогда и только тогда, когда он порождает собственный фильтр. Для любого p ∈ P множество является наименьшим фильтром, содержащим p, и иногда записывается как ↑p. Такой фильтр называется главным фильтром; p называется главным элементом F или порождает F.

Уточнение

Предположим, B и C — два предфильтра на P, и для каждого c ∈ C существует b ∈ B, такое что b ≤ c. Тогда мы говорим, что B тоньше (или уточняет) C; аналогично, C грубее (или укрупняет) B. Уточнение является предпорядком на множестве предфильтров. В самом деле, если C также уточняет B, то B и C называются эквивалентными, поскольку они порождают один и тот же фильтр. Таким образом, переход от предфильтра к фильтру является примером перехода от предпорядка к связанному с ним частичному порядку.

Особые случаи

Исторически, фильтры обобщались на упорядоченные решетки раньше, чем на произвольные частичные порядки. В случае решеток, направление вниз можно выразить как замкнутость относительно конечных пересечений: для всех x, y ∈ F, выполняется x ∧ y ∈ F.

Линейные фильтры

Линейный (ультра)фильтр — это (ультра)фильтр на решётке векторных подпространств заданного векторного пространства, упорядоченной по включению. В частности, линейный фильтр на векторном пространстве X — это семейство векторных подпространств X, такое что если A принадлежит фильтру и C — векторное подпространство X, содержащее A, то C также принадлежит фильтру. Линейный фильтр называется собственным, если он не содержит всё векторное пространство X.

Фильтры в комплекте; подставы

Для заданного множества S, его булеановое множество (или множество всех подмножеств) частично упорядочено включением множеств; фильтры на этом частично упорядоченном множестве часто просто называют "фильтрами на S", что является некоторой неточностью в терминологии. Для таких частично упорядоченных множеств, направленность вниз и восходящее замыкание сводятся к следующему:

Замыкание относительно конечных пересечений: Если A, B ∈ F, то A ∩ B ∈ F.
Изотония: Если A ∈ F и A ⊆ B ⊆ S, то B ∈ F.

Несобственный (или невырожденный) фильтр – это фильтр, не содержащий пустого множества, и эти три условия (включая невырожденность) являются исходным определением фильтра, данным Анри Картаном. Хотя это и не является универсальным требованием, часто требуют, чтобы фильтры на множествах были несобственными (вне зависимости от точки зрения на фильтры на частично упорядоченных множествах); мы же снова откажемся от этого соглашения. Префильтры на множестве являются несобственными тогда и только тогда, когда они не содержат пустого множества. Для любого подмножества T существует наименьший фильтр F, содержащий T. Как и в случае префильтров, говорят, что T порождает или охватывает F; основанием для F является множество U, состоящее из всех конечных пересечений элементов T. Множество T называется фильтровой подбазой, если F (и, следовательно, U) является несобственным. Несобственные фильтры на множествах обладают свойством конечного пересечения. Если S = ∅, то S допускает только несобственный фильтр.

Свободные фильтры

Фильтр называется свободным, если пересечение его элементов пусто. Собственный главный фильтр не является свободным. Поскольку пересечение любого конечного числа элементов фильтра также является элементом фильтра, ни один собственный фильтр на конечном множестве не свободен и, фактически, является главным фильтром, порожденным общим пересечением всех его элементов. Однако неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно свободен: фильтр свободен тогда и только тогда, когда он включает в себя фильтр Фреше (см.).

Примеры

См. изображение в верхней части этой статьи для простого примера фильтров на конечном частично упорядоченном множестве, пространства функций, принимающих вещественные значения на , упорядоченном поточечным сравнением. Тогда множество функций, "больших на бесконечности", является фильтром на . Эту конструкцию можно обобщить весьма далеко, компактифицируя область определения и выполняя дополнение области значений: если X — множество с выделенным подмножеством S, а Y — частично упорядоченное множество с выделенным элементом m, то является фильтром в X → Y. В более общем случае, если D — любое направленное множество, то является фильтром в , называемым хвостовым фильтром. Аналогично, любая сеть порождает фильтр окрестностей. Хвостовой фильтр является фильтром окрестностей для . Фильтр Фреше на бесконечном множестве X определяется как . Если (X, μ) — пространство с мерой, то множество является фильтром. Если , то также является фильтром; фильтр Фреше — это частный случай, когда μ — счетная мера. Для заданного ординала a подмножество a называется клубом, если оно замкнуто в топологии порядка на a, но имеет предел по сетям, равный a. Клубы a образуют фильтр: фильтр клубов, ♣(a). Предыдущая конструкция обобщается следующим образом: любой клуб C также является коллекцией плотных подмножеств (в ординальной топологии) a, и ♣(a) пересекается с каждым элементом C. Заменяя C произвольной коллекцией C̃ плотных множеств, "обычно" существует фильтр, пересекающийся с каждым элементом C̃, называемый универсальным фильтром. Для счетной C̃ лемма Расиовы — Сикорского подразумевает, что такой фильтр должен существовать; для "маленькой" несчетной C̃ существование такого фильтра можно установить с помощью аксиомы Мартина. Пусть P обозначает множество частичных порядков ограниченной кардинальности, с точностью до изоморфизма. Частично упорядочим P следующим образом: A ≤ B, если существует строго возрастающее отображение f : A → B. Тогда подмножество неатомарных частичных порядков образует фильтр. Аналогично, если I — множество инъективных модулей над некоторым заданным коммутативным кольцом, ограниченной кардинальности, с точностью до изоморфизма модулей, то частичный порядок на I определяется следующим образом: A ≤ B, если существует инъективное линейное отображение f : A → B. Для любого бесконечного кардинала κ модули в I, которые нельзя породить менее чем κ элементами, образуют фильтр. Каждая однородная структура на множестве X является фильтром на X × X.

Отношение к идеалам

Двойственным к фильтру понятием — то есть понятием, полученным путем обращения всех ≤ и замены ∧ на ∨ — является порядок-идеал. Благодаря этой двойственности любой вопрос о фильтрах можно механически перевести в вопрос об идеалах и наоборот; в частности, простой или максимальный фильтр — это фильтр, соответствующий (соответственно) простому или максимальному идеалу. Фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда соответствующий идеал минимален.

В теории моделей

Для каждого фильтра F на множестве S, функция множества, определяемая , является конечно-аддитивной – своего рода "мерой", если понимать этот термин в широком смысле. Более того, меры, построенные таким образом, определены всюду, если F является ультрафильтром. Следовательно, утверждение можно рассматривать как несколько аналогичное утверждению о том, что φ выполняется "почти везде". Эта интерпретация принадлежности к фильтру используется (для мотивации, а не для строгих доказательств) в теории ультрапроизведений в теории моделей, области математической логики.

В топологии

В общей топологии и анализе фильтры используются для определения сходимости аналогично роли последовательностей в метрическом пространстве. Они унифицируют понятие предела для широкого разнообразия произвольных топологических пространств. Чтобы понять необходимость фильтров, начнем с эквивалентного понятия сети. Последовательность обычно индексируется натуральными числами, которые являются вполне упорядоченным множеством. Сети обобщают понятие последовательности, заменяя натуральные числа произвольным направленным множеством. В определенных категориях топологических пространств, таких как первое счетное пространство, последовательности характеризуют большинство топологических свойств, но это неверно в общем случае. Однако сети – как и фильтры – всегда характеризуют эти топологические свойства. Фильтры не включают в себя никаких множеств, отличных от самого топологического пространства X, в то время как последовательности и сети опираются на другие направленные множества. По этой причине, множество всех фильтров на X всегда является множеством, а множество всех сетей со значениями в X является собственным классом.

Базы в окрестностях

Любая точка x в топологическом пространстве X определяет фильтр окрестностей или систему окрестностей: а именно, семейство всех множеств, содержащих x во внутренности. Система окрестностей точки x называется базой окрестностей в x, если она порождает фильтр окрестностей точки x. Эквивалентно, множество S ⊆ X является окрестностью точки x тогда и только тогда, когда существует окрестность N такая, что N ⊆ S.

Конвергентные фильтры и точки кластера

Предварительный фильтр B сходится к точке x, что записывается как B → x, тогда и только тогда, когда B генерирует фильтр F, содержащий окрестностный фильтр – а именно, для каждого окрестности U точки x существует некоторое V ∈ B такое, что V ⊆ U. Менее формально, B → x тогда и только тогда, когда B уточняет , и любое базисное покрытие окрестностей точки x может быть использовано вместо в этом условии. Очевидно, что любое базисное покрытие окрестностей точки x сходится к x. Фильтр F (который генерирует сам себя) сходится к x, если . Вышесказанное можно также обратить, чтобы охарактеризовать окрестностный фильтр: он является наитончайшим фильтром, более грубым, чем каждый фильтр, сходящийся к x. Если B → x, то x называется предельной точкой B. Предварительный фильтр B называется кластеризующимся в x (или имеющим x в качестве точки кластеризации), если и только если каждый элемент B имеет непустое пересечение с каждой окрестностью x. Каждая предельная точка является точкой кластеризации, но обратное не всегда верно. Однако, каждая точка кластеризации ультрафильтра является предельной точкой.