Максвелл теңдеулері: Классикалық электромагнетизм негіздері

Максвелл теңдеулері: классикалық электромагнетизм, оптика, электр тізбектерінің математикалық моделі. Жарық – электромагниттік құбылыс екенін ашады.

9 мин оқу

100%

Дереккөз: Maxwell's equations — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Классикалық электромагнетизмді сипаттайтын теңдеулер – Максвелл теңдеулері немесе Максвелл-Хевисайд теңдеулері – Лоренц күшінің заңымен бірге классикалық электромагнетизмнің, классикалық оптиканың, электрлік және магниттік тізбектердің негізін құрайтын жұптастырылған бөлшектік дифференциалдық теңдеулер жиынтығы. Теңдеулер электр, оптикалық және радио технологияларға, мысалы, электр қуатын өндіруге, электр қозғалтқыштарына, сымсыз байланысқа, линзаларға, радарға және тағы басқаларға математикалық модель береді. Олар электр және магнит өрістерінің зарядтар, токтар және өрістердің өзгеруі арқылы қалай туындайтынын сипаттайды. Физик және математик Джеймс Клерк Максвеллдің есімімен аталған теңдеулер 1861 және 1862 жылдары Лоренц күшінің заңы енгізілген теңдеулердің алғашқы нұсқасын жариялады. Максвелл алғаш рет теңдеулерді жарық электромагниттік құбылыс екенін тұжырымдау үшін қолданды. Теңдеулердің ең көп таралған пішіміндегі қазіргі заманғы нұсқасы Оливер Хевисайдке тиесілі. Максвелл теңдеулерін электромагниттік өрістердегі (толқындардағы) ауытқулардың вакуумде тұрақты жылдамдықпен, c (299792458) таралатынын көрсету үшін біріктіруге болады. Электромагниттік сәулелену деп аталатын бұл толқындар әртүрлі толқын ұзындығында пайда болып, радио толқындардан гамма сәулелеріне дейінгі сәулелену спектрін құрайды. Бөлшектік дифференциалдық теңдеулер түрінде және SI бірліктерінде Максвеллдің микроскопиялық теңдеулерін былай жазуға болады:

Equations describing classical electromagnetism

Maxwell's equations, or Maxwell–Heaviside equations, are a set of coupled partial differential equations that, together with the Lorentz force law, form the foundation of classical electromagnetism, classical optics, electric and magnetic circuits. The equations provide a mathematical model for electric, optical, and radio technologies, such as power generation, electric motors, wireless communication, lenses, radar, etc. They describe how electric and magnetic fields are generated by charges, currents, and changes of the fields. The equations are named after the physicist and mathematician James Clerk Maxwell, who, in 1861 and 1862, published an early form of the equations that included the Lorentz force law. Maxwell first used the equations to propose that light is an electromagnetic phenomenon. The modern form of the equations in their most common formulation is credited to Oliver Heaviside. Maxwell's equations may be combined to demonstrate how fluctuations in electromagnetic fields (waves) propagate at a constant speed in vacuum, c (299792458). Known as electromagnetic radiation, these waves occur at various wavelengths to produce a spectrum of radiation from radio waves to gamma rays. In partial differential equation form and SI units, Maxwell's microscopic equations can be written as

With the electric field, the magnetic field, the electric charge density and the current density. is the vacuum permittivity and the vacuum permeability. The equations have two major variants:
The microscopic equations have universal applicability but are unwieldy for common calculations. They relate the electric and magnetic fields to total charge and total current, including the complicated charges and currents in materials at the atomic scale. The macroscopic equations define two new auxiliary fields that describe the large scale behaviour of matter without having to consider atomic scale charges and quantum phenomena like spins. However, their use requires experimentally determined parameters for a phenomenological description of the electromagnetic response of materials. The term "Maxwell's equations" is often also used for equivalent alternative formulations. Versions of Maxwell's equations based on the electric and magnetic scalar potentials are preferred for explicitly solving the equations as a boundary value problem, analytical mechanics, or for use in quantum mechanics. The covariant formulation (on spacetime rather than space and time separately) makes the compatibility of Maxwell's equations with special relativity manifest. Maxwell's equations in curved spacetime, commonly used in high energy and gravitational physics, are compatible with general relativity. In fact, Albert Einstein developed special and general relativity to accommodate the invariant speed of light, a consequence of Maxwell's equations, with the principle that only relative movement has physical consequences. The publication of the equations marked the unification of a theory for previously separately described phenomena: magnetism, electricity, light, and associated radiation. Since the mid 20th century, it has been understood that Maxwell's equations do not give an exact description of electromagnetic phenomena, but are instead a classical limit of the more precise theory of quantum electrodynamics.

мұндағы – электр өрісі, – магнит өрісі, – электр зарядының тығыздығы және – ток тығыздығы. – вакуумдық диэлектрлік тұрақтысы және – вакуумдық магниттік тұрақтысы. Теңдеулердің екі негізгі түрі бар: Микроскопиялық теңдеулердің әмбебап қолданылуы бар, бірақ олар жиі кездесетін есептеулер үшін ыңғайсыз. Олар электр және магнит өрістерін жалпы зарядқа және жалпы токқа, соның ішінде материалдардағы күрделі зарядтар мен токтарға атомдық деңгейде байланыстырады. Макроскопиялық теңдеулер атомдық деңгейдегі зарядтар мен спин сияқты кванттық құбылыстарды ескермей, материяның ірі масштабты мінез-құлқына сипаттама беретін екі жаңа көмекші өрісті анықтайды. Алайда, оларды қолдану үшін материалдардың электромагниттік жауабын феноменологиялық түрде сипаттау үшін эксперименттік жолмен анықталатын параметрлер қажет. "Максвелл теңдеулері" термині көбінесе эквивалентті баламалы формулалар үшін де қолданылады. Теңдеулерді шекаралық мән проблемасы ретінде, аналитикалық механикада немесе кванттық механикада нақты шешу үшін электрлік және магниттік скалярлық потенциалдарға негізделген Максвелл теңдеулерінің нұсқалары артықшылыққа ие. Ковариантты формулировка (кеңістік және уақытты бөлек қарастырмай, кеңістік-уақыт бойынша) Максвелл теңдеулерінің арнайы салыстырмалылық теориясымен үйлесімділігін көрсетеді. Жоғары энергиялық және гравитациялық физикада жиі қолданылатын қисық кеңістіктегі Максвелл теңдеулері жалпы салыстырмалылық теориясымен үйлесімді. Шындығында, Альберт Эйнштейн жарықтың жылдамдығының өзгермейтін болуын, Максвелл теңдеулерінің салдары ретінде, және тек салыстырмалы қозғалыстың ғана физикалық салдары бар деген қағиданы ескере отырып, арнайы және жалпы салыстырмалылықты жасады. Теңдеулердің жариялануы бұрын бөлек сипатталған құбылыстардың – магнетизмнің, электрдің, жарықтың және оған байланысты сәулеленудің – теориялық бірігуін белгіледі. 20 ғасырдың ортасынан бері Максвелл теңдеулері электромагниттік құбылыстарды толық сипаттамайтыны, керісінше кванттық электродинамиканың классикалық лимиті екені түсінілді.

Гаустың заңы

Гаусс заңы электр өрісі мен электр зарядтары арасындағы қатынасты сипаттайды: электр өрісі оң зарядтардан шығып, теріс зарядтарға қарай бағытталады, ал жабық беттен электр өрісінің таза сыртқа ағыны, жабық кеңістіктегі зарядқа, соның ішінде материалдың поляризациясынан туындаған байланысқан зарядқа пропорционалды. Бұл пропорцияның коэффициенті – бос кеңістіктің диэлектрлік тұрақтысы.

Магнетизмнің Гаусс заңы

Гаустың магнетизм туралы заңы электр зарядтарының магниттік аналогтарының жоқтығын, оларды магниттік монопольдер деп атайды; жеке тұрған магниттік солтүстік немесе оңтүстік полюстер болмайды. Материалдың магнит өрісі дипольге байланысты болады, ал жабық беттен магнит өрісінің жалпы шығуы нөлге тең. Магниттік дипольдер ток тізбектері немесе ажырамас, тең және қарама-қарсы "магниттік зарядтар" жұптары ретінде бейнеленеді. Нақтырақ айтқанда, Гаусс беті арқылы өтетін жалпы магниттік ағын нөлге тең, ал магнит өрісі – соленоидты векторлық өріс.

Фарадей заңы

Фарадейдің индукция заңының Максвелл-Фарадей нұсқасы, уақыт бойынша өзгеретін магнит өрісінің электр өрісінің айналуымен (curl) қалай сәйкес келетінін сипаттайды. Осының салдары ретінде, ол айналмалы магнит өрісінің өзгеретін электр өрісімен бірге пайда болатынын болжайды. Тағы бір салдары – бос кеңістікте таралатын, өзін-өзі сақтайтын электромагниттік толқындардың болуы. Электромагниттік толқындар үшін есептелген жылдамдық, зарядтар мен токтар бойынша жүргізілген тәжірибелерден болжауға болатын жылдамдыққа тең келеді, ол – жарық жылдамдығы; шындығында, жарық – электромагниттік сәулеленудің бір түрі (Х-сәулелері, радио толқындары және басқалары сияқты). Максвелл 1861 жылы электромагниттік толқындар мен жарық арасындағы байланысты түсіндіріп, электромагнетизм мен оптика теорияларын біріктірді.

Электрлік және магниттік өрістер бойынша формула (микроскопиялық немесе вакуумдық нұсқа)

Электр және магнит өрістерін сипаттауда берілген заряд және ток таралуы үшін өрістерді анықтайтын төрт теңдеу бар. Табиғаттың жеке заңы – Лоренц күші заңы – электр және магнит өрістерінің зарядталған бөлшектер мен токтарға қалай әсер ететінін сипаттайды. Дәстүр бойынша, бұл заңның Максвеллдің бастапқы теңдеулеріндегі нұсқасы енді қолданылмайды. Оливер Хевисайдтың төмендегі векторлық есептеу формализмі қалыпты стандартқа айналды. Ол бұрылу инвариантты, сондықтан математикалық тұрғыдан Максвеллдің x, y, z компоненттеріндегі бастапқы 20 теңдеуінен гөрі түсінікті. Релятивистік формулалар көбірек симметриялы және Лоренц инвариантты. Тензорлық есептеу немесе дифференциалдық формаларды қолдану арқылы берілген теңдеулер үшін, дифференциалдық және интегралдық сипаттамалар математикалық жағынан эквивалентті; екеуі де пайдалы. Интегралдық сипаттама кеңістіктің бір аймағындағы өрістерді оның шекарасындағы өрістермен байланыстырады және көбінесе зарядтар мен токтардың симметриялық таралуынан өрістерді жеңілдету және тікелей есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Ал дифференциалдық теңдеулер таза жергілікті болып табылады және күрделі (кем симметриялық) жағдайларда өрістерді есептеу үшін, мысалы, шекті элементтер әдісін қолдану үшін, табиғи бастапқы нүкте болып табылады.

Дифференциалдық және интегралды формулалар арасындағы байланыс

Дифференциалдық және интегралдық түрлердің баламалығы Гаусс дивергенция теоремасы және Келвин-Стокс теоремасының нәтижесі болып табылады.

Шекті заряд және ток

Электр өрісі диэлектрлік материалға қолданылғанда, оның молекулалары микроскопиялық электр дипольдарын қалыптастырып жауап береді. Олардың атом ядролары өріс бағытында өте аз қашықтыққа жылжыса, электрондары кері бағытта сол сияқты аз қашықтыққа жылжысады. Бұл, барлық зарядтар жеке молекулаларға байланған болса да, материалда макроскопиялық байланған зарядты тудырады. Мысалы, егер әрбір молекула суретте көрсетілгендей бірдей жауап берсе, зарядтың осы кішкентай жылжулары материалдың бір жағында оң байланған зарядтың қабатын, ал екінші жағында теріс зарядтың қабатын құрастырып біріктіреді. Байланған заряд материалдың поляризациясы "P" арқылы, яғни оның көлем бірлігіне шаққандағы диполь моменті арқылы ең ыңғайлы түрде сипатталады. Егер "P" біркелкі болса, зарядтың макроскопиялық бөлінуі тек "P" материалға кіретін және шығатын жерлерде ғана пайда болады. "P" біркелкі емес болса, заряд көлемде де пайда болады. Осыған ұқсас, барлық материалдардағы құраушы атомдар магниттік моменттерді көрсетеді, олар атомдардың құрамдас бөліктерінің бұрыштық импульсімен, әсіресе электрондарымен тығыз байланысты. Бұрыштық импульсқа байланыстылық микроскопиялық ток тізбектерінің жиынтығын ұсынады. Материалдың сыртында, мұндай микроскопиялық ток тізбектерінің жиынтығы материалдың бетімен айналатын макроскопиялық токтан ешқандай айырмашылығы жоқ, тіпті ешбір жеке заряд үлкен қашықтыққа жылжуы мүмкін емес. Бұл байланған токтарды магниттеу "M" арқылы сипаттауға болады. Сондықтан, өте күрделі және ұсақ байланған зарядтар мен байланған токтарды макроскопиялық масштабта "P" және "M" арқылы көрсетуге болады, бұл зарядтар мен токтарды жеткілікті үлкен көлемде орташалайды, жеке атомдардың ұсақтығын байқамай, бірақ олар материалдағы орналасуына қарай өзгеретіндей етіп. Осылайша, Максвеллдің макроскопиялық теңдеулері, кейбір қолайлы көлемде орташаланған өрістерді есептеу арқылы, жалпы масштабтағы мәселелерді түсіну үшін маңызды емес болатын ұсақ масштабтағы көптеген егжей-тегжейлі мәліметтерді ескермейді.

When an electric field is applied to a dielectric material its molecules respond by forming microscopic electric dipoles – their atomic nuclei move a tiny distance in the direction of the field, while their electrons move a tiny distance in the opposite direction. This produces a macroscopic bound charge in the material even though all of the charges involved are bound to individual molecules. For example, if every molecule responds the same, similar to that shown in the figure, these tiny movements of charge combine to produce a layer of positive bound charge on one side of the material and a layer of negative charge on the other side. The bound charge is most conveniently described in terms of the polarization 'P' of the material, its dipole moment per unit volume. If 'P' is uniform, a macroscopic separation of charge is produced only at the surfaces where 'P' enters and leaves the material. For non uniform 'P', a charge is also produced in the bulk. Somewhat similarly, in all materials the constituent atoms exhibit magnetic moments that are intrinsically linked to the angular momentum of the components of the atoms, most notably their electrons. The connection to angular momentum suggests the picture of an assembly of microscopic current loops. Outside the material, an assembly of such microscopic current loops is not different from a macroscopic current circulating around the material's surface, despite the fact that no individual charge is traveling a large distance. These bound currents can be described using the magnetization 'M'. The very complicated and granular bound charges and bound currents, therefore, can be represented on the macroscopic scale in terms of 'P' and 'M', which average these charges and currents on a sufficiently large scale so as not to see the granularity of individual atoms, but also sufficiently small that they vary with location in the material. As such, Maxwell's macroscopic equations ignore many details on a fine scale that can be unimportant to understanding matters on a gross scale by calculating fields that are averaged over some suitable volume.

Шешімдер

Максвелл теңдеулері – электр және магнит өрістерін бір-бірімен және электр зарядтары мен токтармен байланыстыратын бөлшектік дифференциалдық теңдеулер. Көбінесе зарядтар мен токтардың өзі Лоренц күш теңдеуі мен құралымдық қатынастар арқылы электр және магнит өрістеріне тәуелді болады. Бұлардың барлығы біріктірілген бөлшектік дифференциалдық теңдеулер жиынтығын құрайды, оларды шешу өте қиын: шешімдер классикалық электромагнетизмнің барлық алуантүрлі құбылыстарын қамтиды. Кейбір жалпы ескертулер. Кез келген дифференциалдық теңдеудегідей, бірегей шешім үшін шекаралық және бастапқы шарттар қажет. Мысалы, тіпті кеңістік-уақытта зарядтар мен токтардың жоқтығында да, E және B нөлге тең немесе тұрақты болатын айқын шешімдер бар, бірақ электромагниттік толқындарға сәйкес келетін тривиальды емес шешімдер де бар. Кейбір жағдайларда Максвелл теңдеулері бүкіл кеңістікте шешіледі, ал шекаралық шарттар шексіздіктегі асимптотикалық лимиттер ретінде беріледі. Басқа жағдайларда Максвелл теңдеулері кеңістіктің шектеулі аймағында, сол аймақтың шекарасында тиісті шарттармен, мысалы, қалған ғаламды бейнелейтін жасанды сіңіретін шекарамен, немесе периодты шекаралық шарттармен, немесе кішкентай аймақты сыртқы әлемнен оқшаулайтын қабырғалармен (толқын жетекші немесе қуыс резонатор сияқты) шешіледі. Жефименко теңдеулері (немесе оған тығыз байланысты Лиенард-Вихерт потенциалдары) – кез келген берілген зарядтар мен токтар таралуынан туындаған электр және магнит өрістері үшін Максвелл теңдеулерінің нақты шешімі. Ол "кешіктірілген шешім" деп аталатын, зарядтар тудырған өрістер ғана болатын нақты бастапқы шарттарды қабылдайды. Дегенмен, Жефименко теңдеулері зарядтар мен токтардың өздері тудырған өрістерге әсер ететін жағдайларда тиімсіз. Дифференциалдық теңдеулердің сандық әдістері Максвелл теңдеулерінің нақты шешімдері болмағанда, олардың жуықталған шешімдерін есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Бұларға шекті элементтер әдісі және шекті айырмашылықтар уақыт домені әдісі кіреді. Толығырақ мәліметтер үшін, Есептеу электромагнетизміне қараңыз.

Maxwell's equations are partial differential equations that relate the electric and magnetic fields to each other and to the electric charges and currents. Often, the charges and currents are themselves dependent on the electric and magnetic fields via the Lorentz force equation and the constitutive relations. These all form a set of coupled partial differential equations which are often very difficult to solve: the solutions encompass all the diverse phenomena of classical electromagnetism. Some general remarks follow. As for any differential equation, boundary conditions and initial conditions are necessary for a unique solution. For example, even with no charges and no currents anywhere in spacetime, there are the obvious solutions for which E and B are zero or constant, but there are also non trivial solutions corresponding to electromagnetic waves. In some cases, Maxwell's equations are solved over the whole of space, and boundary conditions are given as asymptotic limits at infinity. In other cases, Maxwell's equations are solved in a finite region of space, with appropriate conditions on the boundary of that region, for example an artificial absorbing boundary representing the rest of the universe, or periodic boundary conditions, or walls that isolate a small region from the outside world (as with a waveguide or cavity resonator). Jefimenko's equations (or the closely related Liénard–Wiechert potentials) are the explicit solution to Maxwell's equations for the electric and magnetic fields created by any given distribution of charges and currents. It assumes specific initial conditions to obtain the so called "retarded solution", where the only fields present are the ones created by the charges. However, Jefimenko's equations are unhelpful in situations when the charges and currents are themselves affected by the fields they create. Numerical methods for differential equations can be used to compute approximate solutions of Maxwell's equations when exact solutions are impossible. These include the finite element method and finite difference time domain method. For more details, see Computational electromagnetics.

Максвелл теңдеулерінің шамадан тыс анықталуы

Максвелл теңдеулері шектен тыс анықталған сияқты, себебі олар алты белгісізді ('E' және 'B' үш компоненті) қамтиды, бірақ сегіз теңдеу (Гаусс заңдарының әрқайсысы үшін біреу, Фарадей және Ампер заңдарының әрқайсысы үшін үш векторлық компонент). (Токтар мен зарядтар белгісіз емес, олар зарядтың сақталуына сәйкес еркін анықталады.) Бұл Максвелл теңдеулеріндегі белгілі бір шектеулі артықтықпен байланысты: Фарадей заңы мен Ампер заңына қанағаттандыратын кез келген жүйе, жүйенің бастапқы шарты орындалса және зарядтың сақталуы мен магниттік монопольдердің болмауы ескерілсе, автоматты түрде екі Гаусс заңына да қанағаттандырады. Бұл түсіндірмені алғаш рет 1941 жылы Джулиус Адамс Страттон енгізді. Сандық алгоритмде екі Гаусс заңын елемеуге болады (бастапқы шарттардан басқа), бірақ есептеулердің жетілмейтін дәлдігі осы заңдардың бұзылуына әкелуі мүмкін. Осы бұзушылықтарды сипаттайтын қосымша айнымалыларды енгізу арқылы, төрт теңдеу енді шектен тыс анықталмайды. Нәтижесінде, барлық төрт заңды ескеретін дәлірек алгоритмдерге қол жеткізуге болады. Осы екі тепе-теңдік, сегіз теңдеуді алты тәуелсізге дейін азайтады, шамадан тыс анықталудың нақты себебі осы. Балама ретінде, шамадан тыс анықталу электр және магниттік зарядтың сақталуын білдіреді деп қарастыруға болады, себебі олар жоғарыда сипатталған туындыда қажет, бірақ екі Гаусс заңынан туындайды. Сызықтық алгебралық теңдеулер үшін, теңдеулер мен белгісіздерді қайта жазу үшін «жақсы» ережелер жасауға болады. Теңдеулер сызықтық тәуелді болуы мүмкін. Бірақ дифференциалдық теңдеулерде, әсіресе, дербес дифференциалдық теңдеулерде (ДДТ), теңдеулерге емес, түсініксіз байланысты болатын тиісті шекаралық шарттар қажет. Одан да көп, егер оларды векторлық және скалярлық потенциалдар тұрғысынан қайта жазсақ, теңдеулер калибрлеуден кейін анықталмайды.

Максвелл теңдеулері мен кванттық механика

Максвелл теңдеулері классикалық және кванттық әлемдерде де қолданылады. Кванттық механиканың Гейзенберг бейнелеуінде E және B операторларының теңдеулері дәл Максвелл теңдеулерімен сәйкес келеді. Әрине, өрістер кванттық операторлар болғандықтан, классикалық өрістерден көптеген ерекшеліктері бар. Мысалы, E өрісі векторлық потенциалдың кеңістіктік компоненттеріне қатысты импульс конъюгаты рөлінде әрекет етеді. Бұл, әрине, кванттық электромагниттік өрістің классикалық өрістерден өзгеше көптеген аспектілеріне алып келеді, бірақ олар классикалық өріс сияқты бірдей эволюция теңдеулеріне бағынады. Әрине, электромагниттік өрістің зарядталған материяға тигізетін әсерін және осы әсерлердің электромагниттік өрісті өзгертетінін қарастырғанда, өріс теңдеулері сызықтық емес болады, ал сызықтық емес өрістің кванттық мінез-құлқы сызықтық емес өрістің классикалық мінез-құлқынан мүлдем өзгеше болуы мүмкін. Дегенмен, егер сызықтық режимде қалып отырсақ, өрістер Максвелл теңдеулеріне бағынады деген факт өзгеріссіз қалады.

Вариациялар

Максвелл теңдеулерінің электромагниттік өрістердің классикалық теориясы ретіндегі танымал түрлері салыстырмалы түрде сирек кездеседі, себебі стандартты теңдеулер уақыттың сынағынан өте жақсы өтті.

Магниттік монополдар

Максвелл теңдеулері ғаламда электр заряды бар екенін, бірақ магниттік зарядтың (немесе магниттік монопольдер) жоқ екенін көрсетеді. Шындығында, магниттік заряд кең ауқымды іздеулерге қарамастан ешқашан байқалған жоқ және оның болуы мүмкін емес. Егер олар болғанда, магнетизмге қатысты Гаусс заңы мен Фарадей заңы өзгертілуі керек болар еді, соның нәтижесінде шыққан төрт теңдеу электр және магнит өрістерін алмастырғанда толық симметриялы болар еді.

Қазіргі заманғы емдер

Электромагнетизм (11-тарау), Б. Кроуэлл, Фуллертон колледжі. Лекциялар сериясы: Салыстырмалылық және электромагнетизм, Р. Фицпатрик, Техас университеті, Остин. PHYSNET жобасындағы Максвелл теңдеулерінен электромагниттік толқындар. MIT видеодәрістер сериясы (36 × 50 минуттық лекциялар) (mp4 форматында) – Электр және магнетизм. Профессор Уолтер Левин оқыған.