Уравнения Максвелла: Основы классической электромагнетизма

Уравнения Максвелла: основа классической электромагнетики. Описывают связь электричества, магнетизма и света. Применение в технологиях связи и оптике.

10 мин чтения

100%

Источник: Maxwell's equations — Wikipedia

Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.

Содержание

Введение

Уравнения, описывающие классический электромагнетизм

Уравнения Максвелла, или уравнения Максвелла–Хевисайда, представляют собой набор связанных частных дифференциальных уравнений, которые вместе с законом силы Лоренца образуют основу классического электромагнетизма, классической оптики, электрических и магнитных цепей. Эти уравнения предоставляют математическую модель для электрических, оптических и радиотехнологий, таких как генерация электроэнергии, электродвигатели, беспроводная связь, линзы, радары и т. д. Они описывают, как электрические и магнитные поля генерируются зарядами, токами и изменениями этих полей. Уравнения названы в честь физика и математика Джеймса Клерка Максвелла, который в 1861 и 1862 годах опубликовал раннюю форму уравнений, включавшую закон силы Лоренца. Максвелл впервые использовал эти уравнения, чтобы предположить, что свет является электромагнитным явлением. Современная форма уравнений в их наиболее распространенной формулировке приписывается Оливеру Хевисайду. Уравнения Максвелла можно объединить, чтобы показать, как колебания электромагнитных полей (волн) распространяются с постоянной скоростью в вакууме, c (299792458). Эти волны, известные как электромагнитное излучение, возникают на различных длинах волн, образуя спектр излучения от радиоволн до гамма-лучей. В форме частных дифференциальных уравнений и в системе СИ микроскопические уравнения Максвелла могут быть записаны как:

где – электрическое поле, – магнитное поле, – плотность электрического заряда и – плотность тока. – диэлектрическая проницаемость вакуума и – магнитная проницаемость вакуума. Уравнения имеют два основных варианта:
Микроскопические уравнения обладают универсальной применимостью, но сложны для обычных вычислений. Они связывают электрические и магнитные поля с полным зарядом и полным током, включая сложные заряды и токи в материалах на атомном уровне. Макроскопические уравнения вводят два новых вспомогательных поля, которые описывают поведение материи в больших масштабах, не требуя учета зарядов атомного масштаба и квантовых явлений, таких как спин. Однако их использование требует экспериментально определенных параметров для феноменологического описания электромагнитного отклика материалов. Термин "уравнения Максвелла" часто используется также для обозначения эквивалентных альтернативных формулировок. Версии уравнений Максвелла, основанные на электрических и магнитных скалярных потенциалах, предпочтительны для явного решения уравнений как краевой задачи, аналитической механики или для использования в квантовой механике. Ковариантная формулировка (основанная на пространстве-времени, а не на пространстве и времени по отдельности) явно демонстрирует совместимость уравнений Максвелла со специальной теорией относительности. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени, обычно используемые в физике высоких энергий и гравитации, совместимы с общей теорией относительности. Фактически, Альберт Эйнштейн разработал специальную и общую теорию относительности, чтобы учесть инвариантную скорость света – следствие уравнений Максвелла – и принцип, согласно которому только относительное движение имеет физические последствия. Публикация уравнений ознаменовала объединение теории для ранее отдельно описываемых явлений: магнетизма, электричества, света и связанного с ними излучения. С середины 20-го века стало понятно, что уравнения Максвелла не дают точного описания электромагнитных явлений, а являются классическим пределом более точной теории квантовой электродинамики.

With the electric field, the magnetic field, the electric charge density and the current density. is the vacuum permittivity and the vacuum permeability. The equations have two major variants:
The microscopic equations have universal applicability but are unwieldy for common calculations. They relate the electric and magnetic fields to total charge and total current, including the complicated charges and currents in materials at the atomic scale. The macroscopic equations define two new auxiliary fields that describe the large scale behaviour of matter without having to consider atomic scale charges and quantum phenomena like spins. However, their use requires experimentally determined parameters for a phenomenological description of the electromagnetic response of materials. The term "Maxwell's equations" is often also used for equivalent alternative formulations. Versions of Maxwell's equations based on the electric and magnetic scalar potentials are preferred for explicitly solving the equations as a boundary value problem, analytical mechanics, or for use in quantum mechanics. The covariant formulation (on spacetime rather than space and time separately) makes the compatibility of Maxwell's equations with special relativity manifest. Maxwell's equations in curved spacetime, commonly used in high energy and gravitational physics, are compatible with general relativity. In fact, Albert Einstein developed special and general relativity to accommodate the invariant speed of light, a consequence of Maxwell's equations, with the principle that only relative movement has physical consequences. The publication of the equations marked the unification of a theory for previously separately described phenomena: magnetism, electricity, light, and associated radiation. Since the mid 20th century, it has been understood that Maxwell's equations do not give an exact description of electromagnetic phenomena, but are instead a classical limit of the more precise theory of quantum electrodynamics.

Закон Гаусса

Закон Гаусса описывает связь между электрическим полем и электрическими зарядами: электрическое поле расходится от положительных зарядов и сходится к отрицательным зарядам, а полный поток электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заключенному в неё заряду, включая связанный заряд, возникающий из-за поляризации материала. Коэффициент пропорциональности – это диэлектрическая проницаемость вакуума.

Закон Гаусса о магнетизме

Закон Гаусса для магнетизма утверждает, что у электрических зарядов нет магнитных аналогов, называемых магнитными монополями; не существует изолированных северных или южных магнитных полюсов. Вместо этого магнитное поле материала объясняется диполем, а суммарный поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные диполи могут быть представлены в виде контуров тока или неразделимых пар равных по величине и противоположных по знаку "магнитных зарядов". Более точно, полный магнитный поток через гауссову поверхность равен нулю, и магнитное поле является соленоидальным векторным полем.

Закон Фарадея

Версия закона электромагнитной индукции Максвелла-Фарадея описывает, как изменяющееся во времени магнитное поле связано с ротором электрического поля. Как следствие, из этого следует предсказание о том, что вращающееся магнитное поле сопровождается изменяющимся электрическим полем. Дальнейшим следствием является существование самовозбуждающихся электромагнитных волн, распространяющихся в пустом пространстве. Вычисленная скорость электромагнитных волн, которую можно было предсказать на основе экспериментов с зарядами и токами, совпадает со скоростью света; действительно, свет является одной из форм электромагнитного излучения (как и рентгеновские лучи, радиоволны и другие). Максвелл установил связь между электромагнитными волнами и светом в 1861 году, тем самым объединив теории электромагнетизма и оптики.

Формулировка с точки зрения электрических и магнитных полей (микроскопическая или вакуумная версия)

В формулировке электромагнитного поля существует четыре уравнения, определяющие поля для заданного распределения зарядов и токов. Отдельный закон природы, закон силы Лоренца, описывает, как электрические и магнитные поля воздействуют на заряженные частицы и токи. В соответствии с принятой практикой, версия этого закона, присутствовавшая в исходных уравнениях Максвелла, больше не включается. Формализм векторного исчисления, представленный ниже и разработанный Оливером Хевсайдом, стал стандартным. Он инвариантен относительно вращений и, следовательно, математически более нагляден, чем первоначальные 20 уравнений Максвелла, записанных в компонентах x, y, z. Релятивистские формулировки обладают большей симметрией и инвариантностью Лоренца. См. также уравнения, выраженные с использованием тензорного исчисления или дифференциальных форм. Дифференциальные и интегральные формулировки математически эквивалентны и оба подхода полезны. Интегральная формулировка связывает поля внутри некоторой области пространства с полями на её границе и часто позволяет упростить и непосредственно вычислить поля, создаваемые симметричными распределениями зарядов и токов. С другой стороны, дифференциальные уравнения являются чисто локальными и представляют собой более естественную отправную точку для вычисления полей в более сложных (менее симметричных) ситуациях, например, при использовании метода конечных элементов.

Отношения между дифференциальными и интегральными формулировками

Эквивалентность дифференциальной и интегральной постановок является следствием теоремы Гаусса о дивергенции и теоремы Кельвина — Стокса.

Ограниченный заряд и ток

Когда к диэлектрическому материалу приложено электрическое поле, его молекулы реагируют, формируя микроскопические электрические диполи – атомные ядра смещаются на небольшое расстояние в направлении поля, а электроны – на такое же расстояние в противоположном направлении. Это создает макроскопический связанный заряд в материале, несмотря на то, что все участвующие заряды связаны с отдельными молекулами. Например, если каждая молекула реагирует одинаково, как показано на рисунке, эти незначительные перемещения заряда складываются, образуя слой положительного связанного заряда на одной стороне материала и слой отрицательного заряда на другой. Связанный заряд наиболее удобно описывать через поляризацию 'P' материала – дипольный момент на единицу объема. Если 'P' однородна, макроскопическое разделение заряда возникает только на поверхностях, где 'P' входит и выходит из материала. При неоднородном 'P' заряд возникает и в объеме материала. По аналогии, во всех материалах составляющие атомы обладают магнитными моментами, которые по своей природе связаны с угловым моментом компонентов атомов, прежде всего их электронов. Эта связь с угловым моментом наводит на мысль об изображении в виде совокупности микроскопических контуров тока. Вне материала такая совокупность микроскопических контуров тока неотличима от макроскопического тока, циркулирующего по поверхности материала, несмотря на то, что ни один отдельный заряд не проходит значительное расстояние. Эти связанные токи можно описать с помощью намагниченности 'M'. Таким образом, очень сложные и зернистые связанные заряды и связанные токи могут быть представлены в макроскопическом масштабе через 'P' и 'M', которые усредняют эти заряды и токи в масштабе, достаточно большом, чтобы не учитывать зернистость отдельных атомов, но достаточно малом, чтобы они менялись в зависимости от местоположения в материале. Следовательно, макроскопические уравнения Максвелла игнорируют многие детали на микроскопическом уровне, которые могут быть несущественны для понимания явлений в крупном масштабе, вычисляя поля, усредненные по некоторому подходящему объему.

When an electric field is applied to a dielectric material its molecules respond by forming microscopic electric dipoles – their atomic nuclei move a tiny distance in the direction of the field, while their electrons move a tiny distance in the opposite direction. This produces a macroscopic bound charge in the material even though all of the charges involved are bound to individual molecules. For example, if every molecule responds the same, similar to that shown in the figure, these tiny movements of charge combine to produce a layer of positive bound charge on one side of the material and a layer of negative charge on the other side. The bound charge is most conveniently described in terms of the polarization 'P' of the material, its dipole moment per unit volume. If 'P' is uniform, a macroscopic separation of charge is produced only at the surfaces where 'P' enters and leaves the material. For non uniform 'P', a charge is also produced in the bulk. Somewhat similarly, in all materials the constituent atoms exhibit magnetic moments that are intrinsically linked to the angular momentum of the components of the atoms, most notably their electrons. The connection to angular momentum suggests the picture of an assembly of microscopic current loops. Outside the material, an assembly of such microscopic current loops is not different from a macroscopic current circulating around the material's surface, despite the fact that no individual charge is traveling a large distance. These bound currents can be described using the magnetization 'M'. The very complicated and granular bound charges and bound currents, therefore, can be represented on the macroscopic scale in terms of 'P' and 'M', which average these charges and currents on a sufficiently large scale so as not to see the granularity of individual atoms, but also sufficiently small that they vary with location in the material. As such, Maxwell's macroscopic equations ignore many details on a fine scale that can be unimportant to understanding matters on a gross scale by calculating fields that are averaged over some suitable volume.

Решение

Уравнения Максвелла — это уравнения в частных производных, которые связывают электрическое и магнитное поля друг с другом, а также с электрическими зарядами и токами. Зачастую сами заряды и токи зависят от электрических и магнитных полей посредством уравнения силы Лоренца и конститутивных соотношений. Все это формирует систему связанных уравнений в частных производных, которые часто очень сложно решить: их решения охватывают все многообразие явлений классической электромагнетики. Далее приводятся некоторые общие замечания. Как и для любого дифференциального уравнения, для получения единственного решения необходимы граничные и начальные условия. Например, даже при отсутствии зарядов и токов в пространстве-времени существуют очевидные решения, при которых E и B равны нулю или постоянны, но также существуют нетривиальные решения, соответствующие электромагнитным волнам. В некоторых случаях уравнения Максвелла решаются для всего пространства, а граничные условия задаются в виде асимптотических пределов на бесконечности. В других случаях уравнения Максвелла решаются в конечной области пространства с соответствующими условиями на границе этой области, например, с использованием искусственной поглощающей границы, представляющей остальную часть Вселенной, или периодических граничных условий, или стенок, изолирующих небольшую область от внешнего мира (как в случае волновода или резонатора). Уравнения Ефименко (или тесно связанные потенциалы Лиенара — Вихерта) представляют собой явное решение уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей, создаваемых любым заданным распределением зарядов и токов. Они предполагают определенные начальные условия для получения так называемого "запаздывающего решения", при котором присутствуют только поля, созданные зарядами. Однако уравнения Ефименко не подходят для ситуаций, когда сами заряды и токи испытывают воздействие создаваемых ими полей. Для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла, когда точные решения невозможны, могут использоваться численные методы решения дифференциальных уравнений. К ним относятся метод конечных элементов и метод конечных разностей во временной области. Более подробную информацию можно найти в разделе "Вычислительная электромагнетика".

Maxwell's equations are partial differential equations that relate the electric and magnetic fields to each other and to the electric charges and currents. Often, the charges and currents are themselves dependent on the electric and magnetic fields via the Lorentz force equation and the constitutive relations. These all form a set of coupled partial differential equations which are often very difficult to solve: the solutions encompass all the diverse phenomena of classical electromagnetism. Some general remarks follow. As for any differential equation, boundary conditions and initial conditions are necessary for a unique solution. For example, even with no charges and no currents anywhere in spacetime, there are the obvious solutions for which E and B are zero or constant, but there are also non trivial solutions corresponding to electromagnetic waves. In some cases, Maxwell's equations are solved over the whole of space, and boundary conditions are given as asymptotic limits at infinity. In other cases, Maxwell's equations are solved in a finite region of space, with appropriate conditions on the boundary of that region, for example an artificial absorbing boundary representing the rest of the universe, or periodic boundary conditions, or walls that isolate a small region from the outside world (as with a waveguide or cavity resonator). Jefimenko's equations (or the closely related Liénard–Wiechert potentials) are the explicit solution to Maxwell's equations for the electric and magnetic fields created by any given distribution of charges and currents. It assumes specific initial conditions to obtain the so called "retarded solution", where the only fields present are the ones created by the charges. However, Jefimenko's equations are unhelpful in situations when the charges and currents are themselves affected by the fields they create. Numerical methods for differential equations can be used to compute approximate solutions of Maxwell's equations when exact solutions are impossible. These include the finite element method and finite difference time domain method. For more details, see Computational electromagnetics.

Переопределение уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла кажутся переопределенными, поскольку они включают в себя шесть неизвестных (три компоненты "E" и "B"), но восемь уравнений (один для каждого из двух законов Гаусса, три векторные компоненты для каждого из законов Фарадея и Ампера). (Токи и заряды не являются неизвестными, поскольку они могут быть свободно заданы при условии сохранения заряда.) Это связано с определенной ограниченной избыточностью в уравнениях Максвелла: можно доказать, что любая система, удовлетворяющая закону Фарадея и закону Ампера, автоматически также удовлетворяет двум законам Гаусса, при условии, что начальное состояние системы это удовлетворяет, и при условии сохранения заряда и отсутствия магнитных монополей. Это объяснение было впервые предложено Джулиусом Адамсом Страттоном в 1941 году. Хотя в численном алгоритме можно просто игнорировать два закона Гаусса (за исключением начальных условий), несовершенная точность вычислений может приводить к постоянно возрастающим нарушениям этих законов. Вводя вспомогательные переменные, характеризующие эти нарушения, четыре уравнения перестают быть переопределенными. Полученная формулировка может привести к более точным алгоритмам, учитывающим все четыре закона. Обе тождественности, сводящие восемь уравнений к шести независимым, являются истинной причиной переопределенности. Эквивалентно, переопределенность можно рассматривать как подразумевающую сохранение электрического и магнитного заряда, поскольку они требуются в описанном выше выводе, но вытекают из двух законов Гаусса. Для линейных алгебраических уравнений можно сформулировать "удобные" правила для переписывания уравнений и неизвестных. Уравнения могут быть линейно зависимыми. Но в дифференциальных уравнениях, и особенно в частных дифференциальных уравнениях (PDEs), необходимы соответствующие граничные условия, которые зависят от уравнений не столь очевидным образом. Более того, если переписать уравнения в терминах векторного и скалярного потенциалов, они становятся неопределенными из-за выбора калибровки.

Уравнения Максвелла и квантовая механика

Уравнения Максвелла справедливы как в классической, так и в квантовой области. В представлении Гейзенберга квантовой механики уравнения операторов E и B точно соответствуют уравнениям Максвелла. Разумеется, поскольку поля являются квантовыми операторами, многие их свойства отличаются от свойств классических полей. Например, поле E действует как канонически сопряжённый импульс к пространственным компонентам векторного потенциала A. Это, в свою очередь, приводит к тому, что многие аспекты квантового электромагнитного поля отличаются от классических полей, но они по-прежнему подчиняются тем же уравнениям эволюции, что и классическое поле. Однако, как только рассматривается влияние электромагнитных полей на заряженную материю, и эти эффекты, в свою очередь, изменяют электромагнитное поле, уравнения поля становятся нелинейными, и квантовое поведение нелинейного поля может существенно отличаться от классического поведения нелинейных полей. Тем не менее, это не отменяет того факта, что при рассмотрении линейного режима поля подчиняются уравнениям Максвелла.

Вариации

Популярные модификации уравнений Максвелла как классической теории электромагнитных полей встречаются относительно редко, поскольку стандартные уравнения на удивление хорошо выдержали проверку временем.

Магнитные монополи

Уравнения Максвелла постулируют существование электрического заряда, но отсутствие магнитного заряда (также называемого магнитными монополями) во Вселенной. Действительно, несмотря на многочисленные поиски, магнитный заряд никогда не был обнаружен и, возможно, не существует. Если бы магнитные монополи существовали, потребовалось бы изменить как закон Гаусса для магнетизма, так и закон Фарадея, и в результате четыре уравнения стали бы полностью симметричными относительно взаимозамены электрических и магнитных полей.

Современные методы лечения

Электромагнетизм (гл. 11), Б. Кроуэлл, Fullerton College. Лекционный курс: Теория относительности и электромагнетизм, Р. Фицпатрик, Техасский университет в Остине. Электромагнитные волны из уравнений Максвелла на Project PHYSNET. Серия видеолекций MIT (36 лекций по 50 минут) (в формате mp4) – Электричество и магнетизм, читаемые профессором Уолтером Левином.