Аксиомалық жиын теориясы: Zermelo–Fraenkel жүйесі

Кіріспе

Аксиомалық жиынтық теориясының стандартты жүйесі

Жиынтық теориясында, математиктер Эрнст Зермело және Абрахам Френкельдің есімдерімен аталатын Зермело-Френкель жиынтық теориясы – ХХ ғасырдың басында Расселдің парадоксы сияқты парадокстардан мүлдем құтылу мақсатымен жасалған аксиомалық жүйе. Бүгінде Зермело-Френкель жиынтық теориясы, тарихи тұрғыдан даулы болған таңдау аксиомасымен (AC) қоса алғанда, аксиомалық жиынтық теориясының стандартты түрі болып саналады және математиканың ең көп қолданылатын негізі болып табылады. Зермело-Френкель жиынтық теориясы, таңдау аксиомасымен бірге ZFC деп белгіленеді, мұнда C – «таңдауды» білдіреді, ал ZF – таңдау аксиомасы жоқ Зермело-Френкель жиынтық теориясының аксиомаларын көрсетеді. Формальды түрде, Зермело-Френкель жиынтық теориясы бір ғана бастапқы ұғымды – мұрагерлік жақсы негізделген жиынтықты формализацияуға бағытталған, сондықтан әңгімелесу саласындағы барлық объектілер осындай жиынтықтар болып табылады. Осылайша, Зермело-Френкель жиынтық теориясының аксиомалары тек таза жиынтықтарға қатысты және оның модельдерінде жиынтықтардың өзі жиынтық болмайтын элементтерінің (урелементтер) болуына жол бермейді. Сонымен қатар, нақты сыныптар (мүшелері ортақ қасиетке ие математикалық объектілердің жиынтығы, бірақ жиынтықтар жиынтығы ретінде қарастырылуы мүмкін емес, өте үлкен болғандықтан) тек жанама түрде қарастырылуы мүмкін. Атап айтқанда, Зермело-Френкель жиынтық теориясы барлық жиынтықтарды қамтитын әмбебап жиынтықтың болуына және шексіз түсінікке жол бермейді, осылайша Расселдің парадоксынан сақталады. Фон-Нойманн-Бернайс-Гёдель жиынтық теориясы (NBG) – Зермело-Френкель жиынтық теориясының кеңінен қолданылатын консервативті кеңейтімі, ол нақты сыныптарды тікелей қарастыруға мүмкіндік береді. Зермело-Френкель жиынтық теориясының аксиомаларының көптеген эквивалентті формулировкалары бар. Көптеген аксиомалар басқа жиынтықтардан анықталатын нақты жиынтықтың бар екендігін көрсетеді. Мысалы, жұптастыру аксиомасы кез келген екі жиынтық берілген жағдайда, оларды қамтитын жаңа жиынтықтың бар екенін айтады. Басқа аксиомалар жиынтыққа қатыстылықтың қасиеттерін сипаттайды. Аксиомалардың мақсаты – әрбір аксиоманың фон Нейман ғаламындағы (жинақтаушы иерархия деп те аталады) барлық жиынтықтар жиынтығына қатысты мәлімдеме ретінде қарастырылғанда дұрыс болуын қамтамасыз ету. Зермело-Френкель жиынтық теориясының метаматематикасы жан-жақты зерттелген. Бұл саладағы маңызды нәтижелер таңдау аксиомасының қалған Зермело-Френкель аксиомаларынан (қараңыз) және ZFC-ден алынған континуум гипотезасынан логикалық тәуелсіздігін көрсетті. Гёдельдің екінші толық емес теоремасы көрсеткендей, ZFC сияқты теорияның дәйектілігі теорияның өзінде дәлелдене алмайды.

In set theory, Zermelo–Fraenkel set theory, named after mathematicians Ernst Zermelo and Abraham Fraenkel, is an axiomatic system that was proposed in the early twentieth century in order to formulate a theory of sets free of paradoxes such as Russell's paradox. Today, Zermelo–Fraenkel set theory, with the historically controversial axiom of choice (AC) included, is the standard form of axiomatic set theory and as such is the most common foundation of mathematics. Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice included is abbreviated ZFC, where C stands for "choice", and ZF refers to the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded. Informally, Zermelo–Fraenkel set theory is intended to formalize a single primitive notion, that of a hereditary well founded set, so that all entities in the universe of discourse are such sets. Thus the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory refer only to pure sets and prevent its models from containing urelements (elements of sets that are not themselves sets). Furthermore, proper classes (collections of mathematical objects defined by a property shared by their members where the collections are too big to be sets) can only be treated indirectly. Specifically, Zermelo–Fraenkel set theory does not allow for the existence of a universal set (a set containing all sets) nor for unrestricted comprehension, thereby avoiding Russell's paradox. Von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG) is a commonly used conservative extension of Zermelo–Fraenkel set theory that does allow explicit treatment of proper classes. There are many equivalent formulations of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. Most of the axioms state the existence of particular sets defined from other sets. For example, the axiom of pairing says that given any two sets and there is a new set containing exactly and Other axioms describe properties of set membership. A goal of the axioms is that each axiom should be true if interpreted as a statement about the collection of all sets in the von Neumann universe (also known as the cumulative hierarchy). The metamathematics of Zermelo–Fraenkel set theory has been extensively studied. Landmark results in this area established the logical independence of the axiom of choice from the remaining Zermelo Fraenkel axioms (see ) and of the continuum hypothesis from ZFC. The consistency of a theory such as ZFC cannot be proved within the theory itself, as shown by Gödel's second incompleteness theorem.

Тарих

Жинақтар теориясының қазіргі заманғы зерттеуі 1870 жылдары Георг Кантор және Рихард Дедекинд тарапынан бастау алды. Дегенмен, Расселдің парадоксы сияқты, қарапайым жинақтар теориясындағы парадокстардың табылуы, осы парадокстардан бос, қатаң формадағы жинақтар теориясын қажет етуге алып келді. 1908 жылы Эрнст Зермело алғашқы аксиомалық жинақтар теориясын ұсынды – Зермело жинақтар теориясы. Алайда, 1921 жылы Абрахам Френкельдің Зермелоға жазған хатында алғаш атап көрсеткендей, бұл теория сол кездегі көптеген жинақтар теориясы мамандарының, атап айтқанда, белгілі бір жинақтар мен кардинал сандардың бар екендігін дәлелдей алмады, мысалы, кардинал саны және кез келген шексіз жинақтың қуаты жинағы операциясы. Сонымен қатар, Зермелоның аксиомаларының бірі "белгілі" қасиет деген ұғымды қолданды, оның операциялық мағынасы нақты емес еді. 1922 жылы Френкель және Торальф Сколем тәуелсіз түрде "белгілі" қасиетті, жинақ мүшелігі мен теңдікке шектелген атомдық формулалары бар бірінші реттік логикада жақсы құрылған формула ретінде жазу арқылы іске қосуды ұсынды. Олар сондай-ақ ерекшелік аксиомалық схемасын алмастыру аксиомалық схемасымен ауыстыруды тәуелсіз ұсынды. Бұл схеманы, сондай-ақ Джон фон Нейман алғаш ұсынған реттелу аксиомасын Зермело жинақтар теориясына қосу ZF деп белгіленетін теорияны береді. ZF-қа таңдау аксиомасын (AC) немесе оған эквивалентті мәлімдемені қосу ZFC-ні береді.

Аксиомалар

ZFC аксиомаларының көптеген баламалы тұжырымдары бар; осы мәселені талқылау үшін қараңыз. Келесі аксиомалар жиынтығы бірінші реттік логиканың символикасында берілген. Ағылшын тіліндегі түсіндірмелер тек түсінуге көмектесу үшін жазылған. 1-8 аксиомалар ZF құрайды, ал 9-аксиома ZF-ты ZFC-ге айналдырады. Бұдан әрі, 9-аксиома үшін таңдау аксиомасының орнына эквивалентті жақсы реттелу теоремасын қолданамыз. ZFC-нің барлық тұжырымдары кем дегенде бір жиынның бар екенін көрсетеді. Кунен төменде келтірілген аксиомаларға қосымша, жиынның бар екенін тікелей бекітетін аксиоманы да қосады (бірақ ол мұны тек "нақтылау үшін" жасайтынын атап өтеді). Мұнда оның болмауы екі себеппен ақталады. Біріншіден, ZFC әдетте формалданатын бірінші реттік логиканың стандартты семантикасында, пікір-таластың саласы бос болмауы керек. Осылайша, бірінші реттік логиканың логикалық теоремасы болып табылады, ол бірдеңе бар екенін көрсетеді – әдетте, бірдеңе өзіне тең екенін білдіреді. Сәйкесінше, бұл әрбір бірінші реттік теорияның теоремасы болып табылады. Алайда, жоғарыда айтылғандай, ZFC-нің мақсатталған семантикасында тек жиынтар болғандықтан, осы логикалық теореманың ZFC контекстіндегі түсіндірілуі – қандай да бір жиынның бар екенін білдіреді. Сондықтан, жиынның бар екенін бекітетін жеке аксиоманың қажеті жоқ. Екіншіден, тіпті егер ZFC «еркін логика» деп аталатын түрінде формулировкаланса да, онда тек логикалық тұрғыдан бірдеңе бар екенін дәлелдеу мүмкін емес, шексіздік аксиомасы (төменде) шексіз жиынның бар екенін көрсетеді. Бұл жиынның бар екенін білдіреді, сондықтан оны бекітетін аксиоманы қосудың қажеті жоқ.

6. Ауыстыру аксиомалық схемасы

Ауыстыру аксиомалық схемасы кез келген анықталатын функция бойынша жиынның бейнесі де бір жиынға жатады деп тұжырымдайды. Формальды түрде, ZFC тіліндегі, еркін айнымалылары ішінде болатын кез келген формула болсын, атап айтқанда, онда:

(Бірден-бір экзистенциалдық квантор нақты бір сөйлемге сәйкес келетін дәл бір элементтің бар екенін көрсетеді. Толығырақ бірегей сандық өлшем туралы қараңыз.) Басқаша айтқанда, егер қатынас анықталатын функцияны, оның доменін білдірсе, және әрбір үшін жиын болса, онда функцияның мәндер жиыны кейбір жиынның ішкі жиыны болады. Бұл формада, мүмкін болатыннан артық жиын қолданылса, ол жинақтау аксиомалық схемасы деп аталады.

9. Жақсы реттелген аксиома (талап)

Соңғы аксиома, әдетте таңдау аксиомасы деп аталады, мұнда жақсы реттелген жиындар туралы қасиет ретінде ұсынылады, яғни кез келген жиын үшін оны жақсы реттейтін екілік қатынас бар. Бұл дегеніміз, жиынның әрбір бос емес ішкі жиынында ең кіші мүше болады. 1–8 аксиомалары берілген жағдайда, көптеген тұжырымдар 9-аксиомаға эквивалентті. Олардың ең көп таралғаны былай: Барлық мүшелері бос емес жиын болсын. Онда, осы жиынның мүшелерінің бірігуіне функция бар, ол "таңдау функциясы" деп аталады, және кез келген жиын үшін, оның мүшесіндегі таңдау функциясы болады. Аксиоманың үшінші нұсқасы да эквивалентті, ол Зорн леммасы. Жиын шекті болғанда таңдау функциясының бар екендігі 1–8 аксиомаларынан оңай дәлелденеді, сондықтан AC тек белгілі бір шексіз жиындар үшін ғана маңызды. AC конструкциялық емес деп сипатталады, өйткені ол таңдау функциясының бар екенін көрсетеді, бірақ осы таңдау функциясын қалай "құруға" болатыны туралы ештеңе айтпайды.

Жинақталған иерархия арқылы ынталандыру

ZFC аксиомаларының бірі – Джон фон Нейман енгізген жиынтардың жиындық иерархиясы. Осы көзқарас бойынша, жиын теориясының әлемі әрбір реттік санға сәйкес кезеңдерге бөлініп құрылады. 0-шы кезеңде әлі ешбір жиын жоқ. Әрбір келесі кезеңде, жиынның барлық элементтері бұрынғы кезеңдерде қосылған болса, ол жиын әлемге қосылады. Осылайша, бос жиын 1-ші кезеңде, ал бос жиынды қамтитын жиын 2-ші кезеңде қосылады. Осылайша алынған барлық жиындардың жиынтығы V деп аталады. V-дегі жиындарды әрбір жиынға V-ге қосылған алғашқы кезеңді тағайындау арқылы иерархиялық түрде орналастыруға болады. Жиынның таза және жақсы негізделген болғаны ғана, оның V-ге жататынын көрсетеді. Ординалдар класының тиісті рефлексиялық қасиеттері болса, V ZFC аксиомаларының барлығын қанағаттандырады. Мысалы, x жиыны α кезеңінде қосылды делік, яғни x-тің әрбір элементі α-дан бұрынғы кезеңде қосылған. Онда x-тің кез келген ішкі жиыны да α кезеңінде (немесе одан бұрын) қосылады, себебі x-тің кез келген ішкі жиынының барлық элементтері α кезеңінен бұрын қосылған. Бұл, ажырату аксиомасы құра алатын x-тің кез келген ішкі жиыны α кезеңінде (немесе одан бұрын) қосылады, ал x-тің қуаты α кезеңінен кейінгі кезеңде қосылады дегенді білдіреді. V-дің ZFC-ге қанағаттандыратынына толық дәлел үшін қараңыз. Жиынтардың әлемін жиындық иерархияға қабаттау – ZFC-ге тән және Фон Нейман-Бернейс-Гёдель жиын теориясы (көбінесе NBG деп аталады) және Морс-Келли жиын теориясы сияқты аксиоматикалық жиын теорияларына да тән. Жиындық иерархия басқа жиын теорияларымен, мысалы, «Жаңа негіздермен» үйлесімсіз. V анықтамасын өзгертуге болады, яғни әрбір кезеңде бұрынғы кезеңдердің бірігімінің барлық ішкі жиындарын қосудың орнына, олар белгілі бір мағынада анықталған жағдайда ғана ішкі жиындар қосылады. Бұл «тар» иерархияға алып келеді, ол құрастырылатын әлемді L береді, ол да ZFC аксиомаларының барлығын, соның ішінде таңдау аксиомасын қанағаттандырады. V = L аксиомасы ZFC аксиомаларынан тәуелді емес. L-дің құрылымы V-ге қарағанда тұрақтырақ және жақсырақ болғанымен, көптеген математиктер V = L-ді ZFC-ге қосымша «құрастырылым аксиомасы» ретінде қосу қажет емес деп санайды.

One motivation for the ZFC axioms is the cumulative hierarchy of sets introduced by John von Neumann. In this viewpoint, the universe of set theory is built up in stages, with one stage for each ordinal number. At stage 0, there are no sets yet. At each following stage, a set is added to the universe if all of its elements have been added at previous stages. Thus the empty set is added at stage 1, and the set containing the empty set is added at stage 2. The collection of all sets that are obtained in this way, over all the stages, is known as V. The sets in V can be arranged into a hierarchy by assigning to each set the first stage at which that set was added to V.

It is provable that a set is in V if and only if the set is pure and well founded. And V satisfies all the axioms of ZFC if the class of ordinals has appropriate reflection properties. For example, suppose that a set x is added at stage α, which means that every element of x was added at a stage earlier than α. Then, every subset of x is also added at (or before) stage α, because all elements of any subset of x were also added before stage α. This means that any subset of x which the axiom of separation can construct is added at (or before) stage α, and that the powerset of x will be added at the next stage after α. For a complete argument that V satisfies ZFC see
The picture of the universe of sets stratified into the cumulative hierarchy is characteristic of ZFC and related axiomatic set theories such as Von Neumann–Bernays–Gödel set theory (often called NBG) and Morse–Kelley set theory. The cumulative hierarchy is not compatible with other set theories such as New Foundations. It is possible to change the definition of V so that at each stage, instead of adding all the subsets of the union of the previous stages, subsets are only added if they are definable in a certain sense. This results in a more "narrow" hierarchy, which gives the constructible universe L, which also satisfies all the axioms of ZFC, including the axiom of choice. It is independent from the ZFC axioms whether V = L. Although the structure of L is more regular and well behaved than that of V, few mathematicians argue that V = L should be added to ZFC as an additional "axiom of constructibility".

Виртуалды сыныптар

Дұрыс кластар (мүшелері ортақ қасиетке ие математикалық объектілердің жиынтығы, олар жиындықтардан әлдеқайда үлкен) ZF (және, демек, ZFC) жүйесінде тек жанама түрде қарастырылуы мүмкін. ZF және ZFC шеңберінде дұрыс кластарға балама ретінде виртуалды кластық жазба конструкциясы енгізілді, онда бүкіл конструкция y ∈ { x | Fx } жай ғана Fy ретінде анықталады. Бұл жиындықтарды қамтуға болатын, бірақ олардың өзі жиындық болуы міндетті емес кластар үшін қарапайым жазбаны қамтамасыз етеді, сонымен бірге кластардың онтологиясына мойын бұрмауға мүмкіндік береді (өйткені жазбаны тек жиындықтарды қолданатын түріне синтаксистік түрде түрлендіруге болады). Куиннің тәсілі бұрынғы виртуалды кластар тәсіліне негізделген, және ол , , сондай-ақ ZFC-нің Metamath іске асырылуында қолданылады.

Түпкілегі аксиомалық

Аксиомалық алмастыру және бөлу схемаларының әрқайсысы шексіз көп мысалдарды қамтиды. Оның ішінде 1957 жылғы Ph. D. диссертациясында алғаш дәлелденген нәтиже бар: егер ZFC дәйекті болса, ZFC-ні тек шекті сандағы аксиомаларды пайдаланып аксиомалау мүмкін емес. Екінші жағынан, фон Нейман–Бернейс–Гёдель жиын теориясы (NBG) шекті түрде аксиоматизациялануы мүмкін. NBG онтологиясы жиынтармен қатар нақты кластарды да қамтиды; жиын – басқа кластың мүшесі бола алатын кез келген класс. NBG және ZFC – класс есімдерін қамтамайтын және бір теорияда дәлелденген кез келген теорема екінші теорияда да дәлелдене алатын эквивалентті жиын теориялары.

Бірқалыптылық

Гёдельдің екінші толық еместік теоремасы, Робинсон арифметикасын түсіндіре алатын рекурсивті аксиоматизацияланатын жүйе өзінің дәйектілігін тек қана дәйекті болмаса дәлелдей алады дестейді. Сонымен қатар, Робинсон арифметикасы жалпы жиын теориясында, ZFC-нің шағын фрагменті ретінде түсіндірілуі мүмкін. Сондықтан ZFC-нің дәйектілігі ZFC-нің өзінде дәлелдене алмайды (егер ол шын мәнінде дәйекті болмаса). Осылайша, ZFC қарапайым математикамен теңестірілгендіктен, ZFC-нің дәйектілігі қарапайым математикада көрсетілмейді. ZFC-нің дәйектілігі әлсіз қолжетімсіз кардиналдың болуынан туындайды, бірақ бұл ZFC-де дәлелденбейді, егер ZFC дәйекті болса. Дегенмен, ZFC-де күтпеген қайшылық бар деген күмән аз; егер ZFC дәйекті болмаса, онда бұл факт қазірге дейін анықталған болар деген кең пікір бар. Бір нәрсе анық – ZFC наивтік жиын теориясының классикалық парадокстарына – Расселдің парадоксына, Бурали-Форти парадоксына және Кантордың парадоксына – қарсы тұрады. Олар экстенсионалдылық, біріктіру, қуат жиыны, алмастыру және таңдау аксиомаларынан тұратын ZFC-нің ішкі теориясын зерттеді. Модельдерді қолданып, олар осы ішкі теорияның дәйекті екенін дәлелдеді және экстенсионалдылық, алмастыру және қуат жиыны аксиомаларының әрқайсысы осы ішкі теорияның қалған төрт аксиомасынан тәуелсіз екенін көрсетті. Егер бұл ішкі теория шексіздік аксиомасымен толықтырылса, онда біріктіру, таңдау және шексіздік аксиомаларының әрқайсысы қалған бес аксиомадан тәуелсіз болады. ZFC аксиомаларының әрқайсысын қанағаттандыратын, бірақ реттелу аксиомасын қанағаттандырмайтын модельдер болғандықтан, реттелу аксиомасы қалған ZFC аксиомаларынан тәуелсіз. Егер ZFC дәйекті болса, онда ZFC категориялық теорияның қажет ететін қолжетімсіз кардиналдардың бар екенін дәлелдей алмайды. Мұндай үлкен жиындар ZF Тарски аксиомасымен толықтырылса мүмкін. Бұл аксиоманы қабылдау шексіздік, қуат жиыны және таңдау аксиомаларын (жоғарыдағы 7–9) теоремаларға айналдырады.

Ұсынылған толықтырулар

Континуум гипотезасын немесе басқа метаматематикалық беймәлімдіктерді шешу үшін жиын теориясын қосымша аксиомалардың артында біріктіру жобасы кейде "Гёдель бағдарламасы" деп аталады. Математиктер қазір қай аксиомалардың ең сенімді немесе "өздігінен түсінікті" екендігі, қай аксиомалардың түрлі салаларда ең тиімді екендігі және тиімділік пен сенімділіктің арасында қандай шарттармен келісімге келу керектігін талқылайды; кейбір "көпқанатты" жиын теорияшылары тиімділік аксиомаларды қабылдаудағы жалғыз түпкі критерий болуы керек деп санайды. Бір пікір ағымы жиынның "итеративтік" түсінігін кеңейтуге негізделген, бұл қызықты және күрделі, бірақ салыстырмалы түрде қарапайым құрылымды жиын теориялық әлемді құруға мүмкіндік береді, осы үшін мәжбүрлеу аксиомаларын қабылдау қажет; екінші пікір ағымы жинақырақ, бұзылмаған әлемді жақтаушы, мүмкін "негізгі" ішкі модельге баса назар аударады.