Введение

Стандартная система аксиоматической теории множеств

В теории множеств теория множеств Цермело — Френкеля, названная в честь математиков Эрнста Цермело и Авраама Френкеля, является аксиоматической системой, предложенной в начале двадцатого века для формулирования теории множеств, свободной от парадоксов, таких как парадокс Рассела. Сегодня теория множеств Цермело — Френкеля, с включённой исторически спорной аксиомой выбора (AC), является стандартной формой аксиоматической теории множеств и, как таковая, наиболее распространенным основанием математики. Теория множеств Цермело — Френкеля с включённой аксиомой выбора обозначается ZFC, где C означает «выбор», а ZF — аксиомами теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора. Неформально, теория множеств Цермело — Френкеля предназначена для формализации единого примитивного понятия — наследственно хорошо упорядоченного множества, так что все объекты во вселенной рассуждений являются такими множествами. Таким образом, аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля относятся только к чистым множествам и не допускают, чтобы их модели содержали урелементы (элементы множеств, которые сами не являются множествами). Кроме того, собственные классы (коллекции математических объектов, определяемых свойством, общим для всех их элементов, при этом коллекции слишком велики, чтобы быть множествами) могут рассматриваться только косвенно. В частности, теория множеств Цермело — Френкеля не допускает существования универсального множества (множества, содержащего все множества) и неограниченного выделения, тем самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG) — широко используемое консервативное расширение теории множеств Цермело — Френкеля, допускающее явное рассмотрение собственных классов. Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело — Френкеля. Большинство аксиом утверждают существование определенных множеств, определенных на основе других множеств. Например, аксиома парности утверждает, что для любых двух множеств существует новое множество, содержащее ровно эти два множества. Другие аксиомы описывают свойства принадлежности к множеству. Цель аксиом состоит в том, чтобы каждая из них была истинной, если её интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств во вселенной фон Неймана (также известной как кумулятивная иерархия). Метаматематика теории множеств Цермело — Френкеля была широко изучена. Важнейшие результаты в этой области установили логическую независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело — Френкеля (см.) и гипотезы континуума от ZFC. Состоятельность теории, такой как ZFC, не может быть доказана внутри самой теории, как показала вторая теорема о неполноте Гёделя.

История

Современное изучение теории множеств было начато Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом в 1870-х годах. Однако открытие парадоксов в наивной теории множеств, таких как парадокс Рассела, привело к стремлению к более строгой форме теории множеств, свободной от этих парадоксов. В 1908 году Эрнст Зермело предложил первую аксиоматическую теорию множеств – теорию множеств Зермело. Однако, как впервые указал Абрахам Френкель в письме к Зермело в 1921 году, эта теория оказалась неспособной доказать существование определенных множеств и кардинальных чисел, существование которых большинство теоретиков множеств того времени принимало как данность, в частности, кардинального числа ℵ₀ и множества P(A), где A – любое бесконечное множество, а P обозначает операцию взятия множества степеней. Более того, одна из аксиом Зермело использовала понятие "определенного" свойства, операционный смысл которого оставался неясным. В 1922 году Френкель и Торальф Сколем независимо друг от друга предложили операционализировать "определенное" свойство как свойство, которое можно сформулировать в виде корректной формулы в логике первого порядка, атомные формулы которой ограничены отношением принадлежности и тождеством. Они также независимо предложили заменить аксиоматическую схему спецификации аксиоматической схемой замены. Добавление этой схемы, а также аксиомы регулярности (впервые предложенной Джоном фон Нейманом), к теории множеств Зермело дает теорию, обозначаемую ZF. Добавление к ZF либо аксиомы выбора (AC), либо утверждения, эквивалентного ей, дает ZFC.

Аксиомы

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом ZFC; обсуждение этого можно найти в Далее приведённый набор аксиом выражен символикой логики первого порядка. Сопровождающий английский текст предназначен лишь для облегчения интуитивного понимания. Аксиомы 1–8 составляют ZF, а добавление аксиомы 9 превращает ZF в ZFC. В соответствии с , мы используем эквивалентную теорему о хорошем упорядочении вместо аксиомы выбора для аксиомы 9. Все формулировки ZFC подразумевают существование хотя бы одного множества. Кунен включает аксиому, которая непосредственно утверждает существование множества, в дополнение к приведённым ниже аксиомам (хотя он отмечает, что делает это лишь "для акцента"). Отсутствие этой аксиомы здесь можно обосновать двумя причинами. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область определения должна быть непустой. Следовательно, в логике первого порядка существует логическая теорема о том, что что-то существует, обычно выражаемая утверждением, что что-то тождественно самому себе. Таким образом, существование чего-либо является теоремой для любой теории первого порядка. Однако, как было отмечено выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC существуют только множества, то интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC заключается в том, что существует некоторое множество. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей существование множества. Во-вторых, даже если ZFC сформулирована в так называемой свободной логике, в которой само по себе существование чего-либо не доказывается из логики, аксиома бесконечности (приведённая ниже) утверждает существование бесконечного множества. Это подразумевает существование множества, и, следовательно, повторное включение аксиомы, утверждающей то же самое, излишне.

6. Схема аксиом замены

Аксиома схемы замещения утверждает, что образ множества под любой определяемой функцией также будет принадлежать множеству. Формально, пусть φ(x, y) будет любая формула на языке ZFC, свободные переменные которой включают x и y, при этом y не является свободной переменной в φ. Тогда:

(Уникальный экзистенциальный квантор обозначает существование ровно одного элемента, удовлетворяющего заданному утверждению. Подробнее см. в разделе квантификации уникальности.) Иными словами, если отношение φ(x, y) представляет собой определяемую функцию f, x – её область определения, а для каждого x существует y такое, что φ(x, y) истинно, то множество всех y является подмножеством некоторого множества. Форма, представленная здесь, в которой это множество может быть больше необходимого, иногда называется аксиомой схемы собирания.

9. Аксиома правильного упорядочения (выбор)

Последняя аксиома, обычно известная как аксиома выбора, представлена здесь как свойство хорошо упорядоченных множеств: для любого множества существует бинарное отношение, которое хорошо упорядочивает это множество. Это означает, что это отношение является линейным порядком на данном множестве, таким, что каждое непустое подмножество этого множества имеет минимальный элемент. При данных аксиомах 1–8 многие утверждения эквивалентны аксиоме 9. Наиболее распространенное из них формулируется следующим образом: пусть задано множество, все элементы которого непусты. Тогда существует функция из этого множества в объединение его элементов, называемая "функцией выбора", такая, что для любого элемента из исходного множества соответствующий элемент функции выбора принадлежит соответствующему непустому множеству. Третья эквивалентная версия аксиомы – лемма Зорна. Поскольку существование функции выбора для конечного множества легко доказывается из аксиом 1–8, аксиома выбора имеет значение только для определенных бесконечных множеств. Аксиома выбора характеризуется как неконструктивная, поскольку она утверждает существование функции выбора, но не указывает, как эта функция должна быть "построена".

Мотивация через кумулятивную иерархию

Одной из мотиваций аксиом ZFC является кумулятивная иерархия множеств, введенная Джоном фон Нейманом. С этой точки зрения вселенная теории множеств строится поэтапно, с одной стадией для каждого ординального числа. На стадии 0 множеств еще нет. На каждом последующем этапе множество добавляется во вселенную, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустое множество добавляется на стадии 1, а множество, содержащее пустое множество, – на стадии 2. Совокупность всех множеств, полученных таким образом на всех стадиях, известна как V. Множества в V можно упорядочить в иерархию, присваивая каждому множеству первую стадию, на которой оно было добавлено к V. Доказуемо, что множество принадлежит V тогда и только тогда, когда оно чистое и вполне основанное. И V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов обладает соответствующими свойствами отражения. Например, предположим, что множество x добавляется на стадии α, что означает, что каждый элемент x был добавлен на стадии, предшествующей α. Тогда каждое подмножество x также добавляется на (или до) стадии α, поскольку все элементы любого подмножества x также были добавлены до стадии α. Это означает, что любое подмножество x, которое может быть построено аксиомой выделения, добавляется на (или до) стадии α, и что булеан (множество степеней) x будет добавлено на следующей стадии после α. Полное доказательство того, что V удовлетворяет ZFC, можно найти в… Изображение вселенной множеств, стратифицированной в кумулятивную иерархию, характерно для ZFC и связанных аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса — Келли. Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как «Новые основания». Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов подмножества добавлялись только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, которая дает конструктивную вселенную L, также удовлетворяющую всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. Независимо от аксиом ZFC, верно ли, что V = L. Хотя структура L более регулярна и хорошо упорядочена, чем структура V, немногие математики утверждают, что V = L следует добавить к ZFC в качестве дополнительной «аксиомы конструктивности».

Виртуальные классы

Соответствующие классы (коллекции математических объектов, определяемые свойством, общим для их элементов, которые слишком велики, чтобы быть множествами) могут рассматриваться только косвенно в ZF (и, следовательно, ZFC). Альтернативой соответствующим классам, оставаясь в рамках ZF и ZFC, является конструкция виртуального класса, введенная , где вся конструкция y ∈ { x | Fx } просто определяется как Fy. Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать множества, но не обязаны сами быть множествами, не постулируя онтологию классов (поскольку эта нотация может быть синтаксически преобразована в запись, использующую только множества). Подход Куайна, основанный на более раннем подходе , также используется в , , и в реализации ZFC в Metamath.

Окончательная аксиоматизация

Схемы аксиом замены и выделения содержат бесконечно много экземпляров. В работу вошел результат, впервые доказанный в его докторской диссертации 1957 года: если ZFC непротиворечива, то невозможно аксиоматизировать ZFC, используя лишь конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG) может быть аксиоматизирована конечным числом аксиом. Онтология NBG включает в себя как собственные классы, так и множества; множество — это любой класс, который может быть элементом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями множеств в том смысле, что любая теорема, не содержащая упоминаний о классах и доказуемая в одной из теорий, может быть доказана и в другой.

Последовательность

Вторая теорема о неполноте Гёделя утверждает, что рекурсивно аксиоматизируемая система, способная интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать свою собственную непротиворечивость только в том случае, если она противоречива. Более того, арифметику Робинсона можно интерпретировать в общей теории множеств, которая является небольшим фрагментом ZFC. Следовательно, непротиворечивость ZFC не может быть доказана внутри самой ZFC (если она на самом деле не противоречива). Таким образом, в той мере, в которой ZFC отождествляется с обычной математикой, непротиворечивость ZFC не может быть продемонстрирована средствами обычной математики. Непротиворечивость ZFC следует из существования слабо недоступного кардинала, что недоказуемо в ZFC, если ZFC непротиворечива. Тем не менее, считается маловероятным, что ZFC содержит скрытое противоречие; широко распространено мнение, что если бы ZFC была противоречивой, этот факт был бы обнаружен к настоящему времени. Это достоверно: ZFC не подвержена классическим парадоксам наивной теории множеств, таким как парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти и парадокс Кантора. Исследовалась подтеория ZFC, состоящая из аксиом экстенсиональности, объединения, power set, замены и выбора. Используя модели, они доказали, что эта подтеория непротиворечива, и показали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и power set независима от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эту подтеорию дополнить аксиомой бесконечности, то каждая из аксиом объединения, выбора и бесконечности становится независимой от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют не вполне обоснованные модели, удовлетворяющие каждой аксиоме ZFC, за исключением аксиомы регулярности, эта аксиома независима от остальных аксиом ZFC. Если ZFC непротиворечива, она не может доказать существование недоступных кардиналов, необходимых теории категорий. Множества столь огромного размера возможны, если ZF дополнить аксиомой Тарского. Предполагается, что эта аксиома превращает аксиомы бесконечности, power set и выбора (7–9 выше) в теоремы.

Предлагаемые дополнения

Проект объединения теоретиков множеств вокруг дополнительных аксиом для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических неопределённостей иногда называют "программой Гёделя". Математики в настоящее время спорят о том, какие аксиомы наиболее правдоподобны или "самоочевидны", какие аксиомы наиболее полезны в различных областях и в какой степени следует жертвовать правдоподобностью ради полезности; некоторые теоретики множеств, придерживающиеся концепции "мультивселенной", утверждают, что полезность должна быть единственным и окончательным критерием при выборе аксиом для принятия. Одно направление мысли опирается на расширение "итеративного" представления о множестве для построения теоретической вселенной множеств с интересной, сложной, но достаточно управляемой структурой, используя принудительные аксиомы; другое направление выступает за более стройную и менее перегруженную вселенную, возможно, сосредоточенную на "ядерной" внутренней модели.