Кіріспе
Фрейлингтің симметрия аксиомасы – Крис Фрейлинг ұсынған жиындық теориялық аксиома. Ол Стюарт Дэвидсонның интуициясына негізделген, бірақ оның математикалық негізі Вацлав Сиерпинскиге дейін жетеді. Барлық функциялар жиынын (яғни, .) белгілейік. Аксиома былай тұжырымдалады:
but the mathematics behind it goes back to Wacław Sierpiński. Let denote the set of all functions from to countable subsets of (In other words, .) The axiom states:
Кез келген үшін, сондай болады және
Сиерпинскидің теоремасы ZFC жиындық теориясының шарттарында, бұл континуум гипотезасының (CH) жоқтығына тең екенін көрсетеді. Сиерпинскидің теоремасы Хьюго Штайнхаустың сұрағына жауап берді және Курт Гёдель мен Пол Коэн континуум гипотезасының тәуелсіздігін дәлелдегенге дейін көп бұрын жарияланды. Фрейлинг бұл тұжырымды ықтималдық интуициясы мықты қолдайды деп санайды, бірақ басқалар оған келіспейді. Аксиоманың бірнеше түрі бар, олардың кейбіреулері төменде талқыланады.
A theorem of Sierpiński says that under the assumptions of ZFC set theory, is equivalent to the negation of the continuum hypothesis (CH). Sierpiński's theorem answered a question of Hugo Steinhaus and was proved long before the independence of CH had been established by
Kurt Gödel and Paul Cohen. Freiling claims that probabilistic intuition strongly supports this proposition while others disagree. There are several versions of the axiom, some of which are discussed below.
Фрейлингтің аргументі
f функциясы А-да бекітілсін. Бірлік аралығына екі тілме тастауға қатысты ой-эксперимент қарастырамыз. x және y сандарының нақты мәндерін шексіз дәлдікпен физикалық тұрғыда анықтау мүмкін емес. Сондай-ақ, "y, f(x)-тің ішінде ме?" деген сұраққа физикалық есептеу арқылы жауап беруге болмайды. Дегенмен, егер f шын мәнінде функция болса, онда бұл сұрақ мағыналы болады және нақты "иә" немесе "жоқ" жауабы болады. Бірінші тілме x тасталғаннан кейін, екінші тілме y-дің f(x)-ке тию мүмкіндігін бағалаңыз. x енді бекітілгендіктен, f(x) – бекітілген саналатын жиын және Лебег өлшемі нөлге тең. Сондықтан, x бекітілген кезде бұл оқиғаның ықтималдығы нөлге тең. Фрейлинг енді екі жалпылау жасайды: бірінші тілме тасталғаннан кейін "y, f(x)-тің ішінде емес" деп дерлік сеніммен болжауға болады және бұл болжау бірінші тілме не істегеніне қарамастан жарамды болғандықтан, біз бірінші тілме тасталғанға дейін де осы болжауды жасай алуымыз керек. Бұл әлі де өлшенетін оқиға бар екенін білдірмейді, бұл болжауға болатын нәрсенің сипаты туралы сезім. "y, f(x)-тің ішінде емес" дегенінің болжамды түрде дұрыс екендігіне байланысты, тілмелер тасталған реттің симметриясы (содан "симметрия аксиомасы" деген атау пайда болды) бойынша біз "x, f(y)-тің ішінде емес" дегенін де дерлік сеніммен болжауға қабілетті болуымыз керек. Аксиома қазір осы эксперимент әр орындалған сайын болжауға болатын нәрсе, кемінде, мүмкін болуы керек деген қағидаға негізделген. Сондықтан, x және y деген екі нақты сан болуы керек, мұнда x, f(y)-тің ішінде емес, ал y, f(x)-тің ішінде емес.
Since we can predict with virtual certainty that "y is not in f(x)" after the first dart is thrown, and since this prediction is valid no matter what the first dart does, we should be able to make this prediction before the first dart is thrown. This is not to say that we still have a measurable event, rather it is an intuition about the nature of being predictable. Since "y is not in f(x)" is predictably true, by the symmetry of the order in which the darts were thrown (hence the name "axiom of symmetry") we should also be able to predict with virtual certainty that "x is not in f(y)". The axiom is now justified based on the principle that what will predictably happen every time this experiment is performed, should at the very least be possible. Hence there should exist two real numbers x, y such that x is not in f(y) and y is not in f(x).
Фрейлингтің пікіріне қарсылықтар
Фрейлингтің аргументі кеңінен қабылданбайды, себебі оның екі мәселесі бар (Фрейлинг оларды жақсы білген және мақаласында талқылаған). Фрейлинг қолданған қарапайым ықтималдық түсінігі, нақты сандардың кез келген ішкі жиынына ықтималдық тағайындаудың дұрыс тәсілі бар деп жасырын түрде болжайды. Бірақ ықтималдық ұғымының математикалық формалдауы өлшем ұғымын пайдаланады, алайда таңдау аксиомасы өлшенбейтін ішкі жиындардың бар екенін, тіпті бірлік аралығында да бар екенін көрсетеді. Мұның мысалдары – Банах-Тарский парадоксы және Витали жиындарының болуы. Оның аргументінің шағын өзгерісі, үздіксіздік гипотезасын қабылдасаңыз да, қабылдамасаңыз да, егер ықтималдықтың саналатын қосымдылығын континуумнан кіші кардиналдардың қосымдылығымен алмастырсаңыз, таңдау аксиомасымен қайшылық тудырады. (Фрейлинг Мартин аксиомасының жалған екенін дәлелдеу үшін ұқсас аргумент қолданды.) Фрейлингтің интуициясы неге осы жағдайда қолданылмауы керек, тіпті ол мүлдем қолданылса, түсініксіз. Сондықтан Фрейлингтің аргументі континуум гипотезасына қарсы, емес нақты сандарды жақсы реттеу мүмкіндігіне қарсы аргумент сияқты көрінеді.